ความแตกต่างของราคาของสินค้าทดแทนเมื่ออุปทานเพิ่มขึ้น?

ในตลาดการแข่งขันสินค้ามี 3 ประเภทคือ X, Y และ money (m) X และ Y เป็นสินค้าทดแทนและฟังก์ชั่นยูทิลิตี้เป็นแบบกึ่งเชิงเส้นเทียบกับเงินคือ:

U (x, y, m) = u (x, y) + m

$U(x,y,m) = u(x,y) + m$

อุปทานของ X และ Y ถูกกำหนดจากภายนอกและราคาและถูกกำหนดเช่นนั้นว่าระบบอยู่ในสมดุล (เช่นความต้องการ X และ Y เท่ากับอุปทานของพวกเขา) $p_x$ $p_y$

ตอนนี้อุปทานของ X จะเพิ่มขึ้นและสมดุลใหม่จะประสบความสำเร็จกับราคาใหม่และ Yเราจะพูดเกี่ยวกับราคาใหม่ได้อย่างไร? $p_x'$ $p_y'$

แน่นอนเนื่องจากเราต้องมีผู้บริโภครายใหม่ซื้อหน่วย X ที่พร้อมใช้งานใหม่ $p_x'<p_x$
แน่นอนตั้งแต่ X และ Y ทดแทน (เมื่อราคาของ X ลดลงความต้องการสำหรับวายอ่อนลดลงดังนั้นราคาของ Y ยังไม่ค่อยลดลง) $p_y'\leq p_y$
คำถามหลักของฉันคือเกิดอะไรขึ้นกับความแตกต่างของราคา ? $p_x-p_y$ ผมทำแบบจำลองประวัติบางส่วนและดูเหมือนว่า Yนั่นคือแม้ว่าจะมีการลดลงของราคา Y, การลดลงของราคาของ X คืออ่อนแอมากขึ้น $p_x'-p_y'\leq p_x-p_y$

ข้อสังเกตนี้ถูกต้องหรือไม่

จะเกิดอะไรขึ้นกับความแตกต่างของราคาเมื่ออุปทานเพิ่มขึ้น?

general-equilibrium consumer-theory price-theory

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา

คำถามนั้นไม่มีความหมายตามที่ระบุไว้เนื่องจากเศรษฐกิจที่มีสินค้าสองรายการมีเพียงราคาเดียวเท่านั้นไม่ใช่สอง คุณหมายถึงการสมมติว่ามีสินค้าสามรายการหรือไม่?

— Steven Landsburg

มีสินค้าและเงินสองรายการ ยูทิลิตี้สุทธิของตัวแทนคืออรรถประโยชน์ของสินค้าน้อยกว่าจำนวนเงินที่จ่ายสำหรับสินค้านั้น ฉันคิดว่านี่เรียกว่า "การตั้งค่าแบบกึ่งเส้นตรง" แต่ฉันไม่แน่ใจ

— Erel Segal-Halevi

ฉันสร้างแบบจำลองที่ดีของกรณีเฉพาะของตลาดที่อธิบายไว้ในคำถาม - กรณีที่ผู้บริโภคทุกรายมีความต้องการหน่วย: tora.us.fm/geometry/CompetitiveMarket.htmlการเล่นกับการจำลอง (โดยการเปลี่ยนแหล่งจ่ายของ X ถึง x-1 หรือ x + 1) แสดงให้เห็นว่าจริง ๆ แล้วการลดลงของราคา X นั้นใหญ่กว่าที่ Y เล็กน้อย แต่มีข้อพิสูจน์ทางเศรษฐกิจสำหรับเรื่องนี้หรือไม่?

— Erel Segal-Halevi

$i$

U (x_{i}, y_{i}, I_{i}) = α \ln x_{i} + (1 - α) \ln y_{i} + ({\bar{I}}_{i} - p_{x} x_{i} - p_{y} y_{i}) s . t . {\bar{I}}_{i} \geq p_{x} x_{i} + p_{y} y_{i}

$U(x_i,y_i,I_i) = \alpha\ln x_i +(1-\alpha)\ln y_i + (\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i)\\ s.t. \bar I_i \geq p_xx_i +p_yy_i$

กล่าวอีกนัยหนึ่งมันอาจใช้รายได้ทั้งหมดของเขากับสินค้าสองรายการ (แต่ไม่เกิน) หรืออาจเก็บไว้เป็นของอื่น ๆ ไม่ใช่แบบจำลองที่นี่ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมในข้อ จำกัด เราจำเป็นต้องใช้ตัวคูณแบบไม่ลบ Karush-Kuhn-Tucker มากกว่าตัวคูณ Lagrange ปกติ สมมติว่ารายได้คงที่ฟังก์ชั่นลากรองจ์คือ

Λ = α \ln x_{i} + (1 - α) \ln y_{i} + ({\bar{I}}_{i} - p_{x} x_{i} - p_{y} y_{i}) + λ_{i} ({\bar{I}}_{i} - p_{x} x_{i} - p_{y} y_{i})

$\Lambda = \alpha\ln x_i +(1-\alpha)\ln y_i + (\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i) +\lambda_i(\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i)$

สมมติว่ารายรับได้รับการแก้ไขเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกคือ

\frac{α}{x_{i}} - (1 + λ_{i}) p_{x} \leq 0, \frac{1 - α}{y_{i}} - (1 + λ_{i}) p_{y} \leq 0

$\frac {\alpha}{x_i} - (1+\lambda_i)p_x \leq 0,\;\; \frac {1-\alpha}{y_i} - (1+\lambda_i)p_y \leq 0$

λ ({\bar{I}}_{i} - p_{x} x_{i} - p_{y} y_{i}) = 0, x_{i} \cdot (\frac{α}{x_{i}} - (1 + λ_{i}) p_{x}) = 0, y_{i} \cdot (\frac{1 - α}{y_{i}} - (1 + λ_{i}) p_{y}) = 0

$\lambda(\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i) = 0 ,\; x_i\cdot \left(\frac {\alpha}{x_i} - (1+\lambda_i)p_x\right)=0, \; y_i\cdot \left(\frac {1-\alpha}{y_i} - (1+\lambda_i)p_y\right) =0$

มันจะตามมาด้วยความต้องการสินค้าทั้งสองอย่างที่ดีที่สุดในปริมาณที่เป็นบวกซึ่งในทางกลับกันนั้นต้องการให้อนุพันธ์อันดับหนึ่งถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ สิ่งนี้ทำให้เรา

\begin{matrix} (1) & \frac{α}{p_{x} x_{i}} = \frac{1 - α}{p_{y} y_{i}} ⟹ x_{i}^{D} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y}}{p_{x}} y_{i}^{D} \end{matrix}

$\frac {\alpha}{p_xx_i} = \frac {1-\alpha}{p_yy_i} \implies x_i^D=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_y}{p_x}y_i^D \tag{1}$

$E_i$

E_{i}^{*} = \frac{1}{1 + λ_{i}^{*}}, E_{i}^{*} \leq {\bar{I}}_{i}

$E_i^* = \frac {1}{1+\lambda_i^*} , \;\; E_i^* \leq \bar I_i$

$\lambda_i \geq 0 \implies \max E_i^* \leq 1$ $\bar I_i >1$ $\lambda_i^* =0$ $\max E_i^* \leq 1$ $\bar I_i \leq 1$ $E_i^* = \bar I_i$ $\lambda_i^* = (1-\bar I_i)/\bar I_i$

ไม่ว่าในกรณีใดความสัมพันธ์ที่ดีที่สุดจะยังคงใช้ได้ ดังนั้นสมมติว่าผู้บริโภคที่เหมือนกันด้วยความเคารพต่อการตั้งค่า (ไม่จำเป็นต้องเกี่ยวกับรายได้) รวมเราได้รับความสัมพันธ์ระดับตลาด $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & X^{D} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y}}{p_{x}} Y^{D} \end{matrix}

$X^D=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_y}{p_x}Y^D \tag {2}$

ที่สมดุลเรามี{3} $X^D = X^S,\; Y^D = Y^S \tag{3}$

สมการและถือสำหรับการจัดหาใด ๆ ตอนนี้เราเปลี่ยนปริมาณของแต่ไม่เปลี่ยนปริมาณของการจัดทำดัชนีสถานการณ์เริ่มต้นด้วยและสถานการณ์ที่สองโดยพวกเขาถูกอธิบายโดย $(2)$ $(3)$ $X$ $Y$ $0$ $1$

\begin{matrix} (4) & X_{0}^{D} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 0}}{p_{x 0}} Y_{0}^{D}, X_{0}^{D} = X_{0}^{S}, Y_{0}^{D} = Y_{0}^{S} \end{matrix}

$X^D_0=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^D_0,\;\;X^D_0 = X^S_0,\;\; Y^D_0 = Y^S_0 \tag {4}$

\begin{matrix} (5) & X_{1}^{D} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 1}}{p_{x 1}} Y_{1}^{D}, X_{1}^{D} = X_{1}^{S} > X_{0}^{S}, Y_{1}^{D} = Y_{1}^{S} = Y_{0}^{S} \end{matrix}

$X^D_1=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^D_1,\;\;X^D_1 = X^S_1>X^S_0,\;\; Y^D_1 = Y^S_1= Y^S_0\tag {5}$

ถ้าอย่างนั้นเราก็มี

X_{1}^{D} - X_{0}^{D} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 1}}{p_{x 1}} Y_{1}^{D} - \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 0}}{p_{x 0}} Y_{0}^{D}

$X^D_1 - X^D_0 = \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^D_1 - \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^D_0$

และการใช้ความสัมพันธ์ที่หลากหลาย

⟹ X_{1}^{S} - X_{0}^{S} = \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 1}}{p_{x 1}} Y_{1}^{S} - \frac{α}{1 - α} \frac{p_{y 0}}{p_{x 0}} Y_{0}^{S} > 0

$\implies X^S_1 - X^S_0 = \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^S_1 - \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^S_0 >0$

⟹ \frac{α}{1 - α} Y_{0}^{S} \cdot [\frac{p_{y 1}}{p_{x 1}} - \frac{p_{y 0}}{p_{x 0}}] > 0

$\implies \frac {\alpha}{1-\alpha}Y^S_0\cdot \left[\frac {p_{y1}}{p_{x1}}-\frac {p_{y0}}{p_{x0}}\right] >0$

\begin{matrix} (6) & ⟹ \frac{p_{y 1}}{p_{x 1}} - \frac{p_{y 0}}{p_{x 0}} > 0 ⟹ \frac{p_{y 1}}{p_{y 0}} > \frac{p_{x 1}}{p_{x 0}} \end{matrix}

$\implies \frac {p_{y1}}{p_{x1}}-\frac {p_{y0}}{p_{x0}} >0 \implies \frac {p_{y1}}{p_{y0}}>\frac {p_{x1}}{p_{x0}} \tag{6}$

$(6)$ บอกเราว่าราคาของถ้ามันตกก็จะตกแน่นอนน้อยกว่าราคาของแต่ในแง่สัดส่วน $Y$ $X$

ปรากฏว่าในตัวอย่างเกณฑ์มาตรฐานนี้เราไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงราคาในแง่ของระดับตามที่ OP ถาม

หากระดับของราคาทั้งสองแตกต่างกันมากเราสามารถลดสัดส่วนลงสำหรับในขณะที่ในขณะเดียวกันหน่วยเงินที่ลดลงก็จะสูงขึ้น ตั้งค่าสำหรับตัวอย่างและสมมติว่าราคาของลดลงเพียง % ในขณะที่ราคาของลดลง % $p_y$ $p_{y0} = 100, p_{x0} = 1$ $Y$ $10$ $X$ $20$

ในทางกลับกันระดับราคาขึ้นอยู่กับขนาดของอุปทานของสินค้าทั้งสองด้วยซึ่งถือว่าเป็นภายนอกที่นี่

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา