ฟังก์ชั่นความต้องการแบบใดที่เป็นการผูกขาดที่อันตรายที่สุด?

พิจารณา บริษัท ที่ไม่มีต้นทุนส่วนเพิ่ม หากให้ผลิตภัณฑ์ฟรีความต้องการทั้งหมดนั้นเป็นที่พอใจและสวัสดิการสังคมจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เป็นไปได้สูงสุด โทรเพิ่มขึ้นนี้W$W$

แต่เนื่องจาก บริษัท เป็นผู้ผูกขาดจึงลดอุปสงค์และเพิ่มราคาเพื่อเพิ่มรายได้ให้สูงสุด V$V$

กําหนดการสูญเสียญาติของสวัสดิการ (ขาดทุนหนักอึ้ง) รวม: v อัตราส่วนนี้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของฟังก์ชั่นความต้องการ ดังนั้นคำถามของฉันคือ: อัตราส่วนนี้ถูกผูกไว้หรือมันใหญ่เกินไปหรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:$W/V$

• หากถูก จำกัด ขอบเขตแล้วฟังก์ชั่นความต้องการอะไรที่จะขยายใหญ่สุด$W/V$
• หากไม่ได้ถูก จำกัด ดังนั้นฟังก์ชันใดของตระกูลอุปสงค์จึงสามารถมีขนาดใหญ่ได้ตามอำเภอใจ?$W/V$

นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามจนถึงตอนนี้ ให้เป็นฟังก์ชันยูทิลิตี้สำหรับผู้บริโภค (ซึ่งเป็นฟังก์ชันความต้องการแบบผกผัน) สมมติว่ามันมี จำกัด เรียบ monotonically ลดลงและปรับให้โดเมน[0,1] ให้เป็นตัวต่อต้านอนุพันธ์ แล้ว:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , พื้นที่ทั้งหมดภายใต้ยู$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$โดยที่คือจำนวนที่ผลิตโดยการผูกขาด นี่คือพื้นที่ที่อยู่ใต้ยกเว้นส่วน "การสูญเสียน้ำหนัก"$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = ปริมาณที่เพิ่มรายได้ของผู้ผลิตสูงสุด (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ทำเครื่องหมายไว้)
• $x_m$สามารถจะคำนวณโดยใช้เงื่อนไขแรกที่สั่งซื้อ:'(x_m)$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

เพื่อให้ได้ความรู้สึกว่าทำงานอย่างไรฉันลองใช้ฟังก์ชันตระกูลต่างๆ$W/V$

ให้โดยที่เป็นพารามิเตอร์ แล้ว:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ตัน
• เงื่อนไขแรกสั่งให้:ตัน$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

เมื่อ , ดังนั้นสำหรับตระกูลนี้จะถูก จำกัด ขอบเขต$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับครอบครัวอื่น ๆ นี่เป็นอีกตัวอย่าง:

ให้โดยที่เป็นพารามิเตอร์ แล้ว:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ตัน
• เงื่อนไขแรกสั่งให้:ตัน$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

เมื่ออีกครั้งดังนั้นที่นี่อีกครั้งถูกผูกไว้$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

และตัวอย่างที่สามซึ่งฉันต้องแก้ด้วยตัวเลข:

ให้โดยที่เป็นพารามิเตอร์ แล้ว:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$U
• เงื่อนไขแรกสั่งให้:(a-x_m) นี้โดยใช้กราฟ Desmosผมพบว่า(a-1) แน่นอนทางออกนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ ; มิฉะนั้นเราจะได้รับและไม่มีการสูญเสียน้ำหนัก$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• จากการใช้กราฟเดียวกันฉันพบว่ากำลังลดลงด้วยดังนั้นค่าสูงสุดของมันคือเมื่อและมีค่าประมาณ 1.3$W/V$$a$$a=2$

มีฟังก์ชั่นอันจำกัดอีกตระกูลหนึ่งที่สามารถเติบโตได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด?$W/V$

อัตราส่วนขนาดใหญ่โดยพลการควรเกิดขึ้นกับเส้นอุปสงค์

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}${}

ราคาผูกขาดที่แต่ส่วนเกินของผู้บริโภคถ้าเป็นอนันต์เพราะพื้นที่ใต้เส้นอุปสงค์มี\$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$