OLS มีอคติในการประมาณความต้องการ: ความลำเอียงประเมินค่าความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่ำกว่าเสมอหรือไม่

10

เอกสารบางฉบับยืนยันว่า OLS สามารถสร้างอคติน้อยกว่าการประมาณ IV ขึ้นอยู่กับคุณภาพของเครื่องมือของคุณ สมมติว่าเราพิจารณาสมการการประมาณความต้องการ

สมมติว่าความยืดหยุ่นของอุปสงค์เป็นลบใน OLS โดยเครื่องมือที่อ่อนแอสัญชาตญาณของฉันควรสร้างการประเมินแบบเอนเอียงไปยัง OLS แต่ก็ไม่เชิงลบ พวกคุณสร้างตัวอย่างได้ไหม? ฉันไม่เข้าใจจริงๆว่าจะนำไปสู่การประมาณค่าแบบเอนเอียงมากขึ้นด้วยการประมาณ IV ได้อย่างไร

econometrics

— จอห์นโด
แหล่งที่มา

IV มีอคติ แต่ก็สอดคล้องกันดังนั้นฉันจินตนาการว่าข้อความของคุณเป็นจริง แต่ฉันคิดว่ามันทั้งหมดขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของคุณ การทำนายและการอนุมาน

— user157623

"เอกสารบางอย่าง" (ควรเป็นบทความที่รู้จักกันดีหรือบทวิจารณ์แบบสว่าง) ที่คุณอ้างถึงในประโยคแรกของคุณคืออะไร ฉันสนใจที่จะดูพวกเขา ขอบคุณ

— Kim Jong Un

8

โดยปกติx)} ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

นั่นเป็นความจริงเว้นแต่ว่ามีความสัมพันธ์กันระหว่างเครื่องมือและคำผิดพลาดและผู้เสนอคือความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ระหว่างเครื่องมือและตัวแปรภายนอก ที่มีขนาดเล็กหารได้รับมากขึ้นอคติขวา] $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

นอกจากนี้เครื่องมืออ่อนจะไม่มีความแม่นยำดังนั้นความแปรปรวนจะมีอคติสูงขึ้น

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

ในฐานะ $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

นั่นคือสาเหตุที่หากเครื่องมือของคุณอ่อนแอคุณอาจทำงานได้ดีกว่า OLS ถดถอย

— Nox
แหล่งที่มา

ในสมการสำหรับความแปรปรวนครั้งแรกของตัวประมาณ IV ฉันเชื่อว่าความแปรปรวนของเบต้าที่ไม่มีอคติหายไปใช่ไหม? คุณกำหนดความแปรปรวนให้กับส่วนที่เกี่ยวข้องกับอคติของตัวประมาณ IV เท่านั้น หากฉันผิดโปรดอธิบายสิ่งที่ฉันหายไป

— John Doe

บรรทัดต่อไปนี้ " " ไม่ใช่ความแปรปรวนอย่างแน่นอน ตัวส่วนเป็นแบบสุ่ม (เพราะมีอยู่ภายนอก) และความแปรปรวนนั้นซับซ้อนกว่ามาก

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

6

เครื่องมือที่อ่อนแอรวมกับendogeneity เครื่องมือเล็กน้อยสามารถนำไปสู่อคติที่มีขนาดใหญ่กว่า OLS ในฐานะที่เป็นคำตอบของ Nox แสดงขีด จำกัด น่าจะเป็นของประมาณการ IV เป็นx) เมื่อแม้ว่าจะเล็กถ้ามีขนาดเล็กดังนั้นอคติอาจมีขนาดใหญ่ ดูหมายเหตุ Bound, Jaeger and Baker's (1995, JASA) ตามสมการ (7) ในหน้า 444 $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"มันเป็นที่ชัดเจนจากสมการ (7) ที่มีความสัมพันธ์ที่อ่อนแอระหว่างตัวแปรที่อาจเกิดขึ้นภายนอก , และเครื่องมือที่จะทำให้รุนแรงปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างตราสารและความผิดพลาดที่ . หากความสัมพันธ์ระหว่าง เครื่องมือและตัวแปรอธิบายภายนอกมีความอ่อนแอจากนั้นแม้ความสัมพันธ์ระหว่างเครื่องมือและข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อยก็อาจทำให้เกิดความไม่สอดคล้องกันมากขึ้นในการประมาณค่า IV ของกว่าในประมาณการ OLS " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

ฉันไม่คิดว่าอคติของตัวประมาณค่า IV (ของการแจกแจงขีด จำกัด อาจไม่มีขีด จำกัด ของความน่าจะเป็น) ที่ใหญ่กว่าความไม่สอดคล้องของ OLS

สิ่งที่จะต้องพิจารณาก็คือความแปรปรวนของประมาณการ IV โดยใช้เครื่องมือที่อ่อนแอมากอาจมีขนาดใหญ่แม้จะมีขนาดใหญ่มากและทำให้คุณอาจจะมีการประมาณการ IV เรื่องไร้สาระมากกว่า OLS สำหรับชุดข้อมูลเพียงโดยบังเอิญ $n$

— chan1142
แหล่งที่มา