Bayesian Nash Equilibrium - กลยุทธ์แบบผสม

วิธีที่ถูกต้องในการแก้ BNE ในกลยุทธ์ผสมคืออะไร? ฉันพบวิธีการขัดแย้งสองวิธีที่ใช้

ผู้เล่นสองคน ผู้เล่นที่ 1 รู้ว่าเกมที่จะถูกเล่น 2 ผู้เล่นรู้ว่าเป็นเกมที่ได้รับการแต่งตั้งด้วยความน่าจะμ $\mu$

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline L & 1, 1 & 0, 0 \\ \hline R & 0, 0 & 0, 0 \end{array}$

หรือ

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline L & 0, 0 & 0, 0 \\ \hline R & 0, 0 & 2, 2 \end{array}$

ดังนั้นสำหรับกลยุทธ์ที่บริสุทธิ์ฉันกำลังค้นหาวิธีการที่สอดคล้องกัน สร้างเกมรูปแบบปกติ:

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline LL & \mu, \mu & 0, 0 \\ \hline LR & \mu, \mu & 2\mu, 2\mu \\ \hline RL & 0, 0 & 0, 0 \\ \hline RR & 0, 0 & 2\mu,2\mu \end{array}$

สิ่งนี้ช่วยให้เราค้นหาโซลูชันกลยุทธ์บริสุทธิ์โดยใช้แบบฟอร์มปกติ เราจะคำนวณกลยุทธ์แบบผสมได้อย่างไร

ฉันเห็นสองวิธีที่ต่างกัน

1: ดูการผสม (L, R) ในเกม 1 ที่มีความน่าจะเป็น (a, 1-a) และ (L, R) ในเกม 2 ที่มีความน่าจะเป็น (b, 1-b)

ดูการผสมข้าม (LL, LR, RL, RR) ด้วยความน่าจะเป็น (a, b, c, 1-abc)

คำแนะนำ / การอ่านใด ๆ ที่ชื่นชมมาก

game-theory bayesian-game

— ไบรอัน
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ฉันเชื่อว่าคำตอบที่ได้รับจาก @denesp นั้นไม่ถูกต้อง วิธีที่สองเกี่ยวข้องกับการเขียนเกมในรูปแบบ "ปกติ" เชิงกลยุทธ์ ฉันเชื่อว่าวิธีแรกดีกว่า (ใช้งานง่ายกว่า) แต่ฉันคิดว่าพวกเขาสามารถใช้ได้ทั้งคู่ ในคำตอบที่ได้รับจาก @desesp คำอธิบายต่อไปนี้จะได้รับ

$a$ $b$ $c$
$a = p \cdot q, b = p \cdot (1 - q), c = (1 - p) \cdot q, 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q) .$ $a = p \cdot q, \hskip 20pt b = p \cdot (1 - q), \hskip 20pt c = (1 - p) \cdot q, \hskip 20pt 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q).$

$p$ $q$

ความแตกต่างระหว่างการกระทำและกลยุทธ์

ในคำอธิบายที่ให้ไว้ข้างต้นอาจปรากฏว่ามีการผสมกันระหว่างการกระทำ นี่ไม่ใช่การตีความที่ถูกต้อง มันไม่ถูกต้องทางเทคนิคเพราะผู้เล่นไม่ได้ปะปนกับการกระทำ แต่คลุกคลีกับกลยุทธ์ นี่เป็นเพราะผู้เล่นเลือกกลยุทธ์ไม่ใช่การกระทำ กลยุทธ์คือแผนการที่แสดงถึงการกระทำที่ผู้เล่นทำในทุก ๆ กรณี เราคิดว่ามันเป็นข้อมูลการทำแผนที่ชุดการกระทำ สิ่งนี้สำคัญเพราะเราต้องการให้การกระทำของผู้เล่น 1 ขึ้นอยู่กับสภาพของธรรมชาติ --- เราต้องการให้พวกเขาขึ้นอยู่กับเกมที่เขา / เธอกำลังเล่น

สำหรับการอ้างอิงเราสามารถค้นหาคำจำกัดความของการกระทำและกลยุทธ์ในบทแรกของหนังสือเกมและข้อมูลของ Rasmusen (ฉบับที่ 4) ข้อความที่เกี่ยวข้องได้รับที่นี่:

ชุดของกลยุทธ์ที่พิจารณาในแต่ละวิธีมีอะไรบ้าง

$a$ $b$ $c$ $1 -a-b-c$

$p$ $q$ $G_1$ $G_2$ $p$ $q$

p = P (L | G_{1}) q = P (L | G_{2}) .

$p=P(L|G_1)\\ q=P(L|G_2).$

วิธีที่ 2 ประกอบด้วยกลยุทธ์เดียวกับวิธีที่ 1 รวมถึงอีกมากมาย

$p$ $q$

$a$ $b$ $c$

\begin{aligned} p & = a + b \\ q & = a + c . \end{aligned}

$\begin{align*} p &= a + b \\ q &= a + c. \end{align*}$

$p$ $q$ $p=1/2$ $q=1/2$ $(a,b,c) = (1/2,0,0)$ $(a,b,c)=(0,1/2,1/2)$

เหตุใดวิธีที่ 2 จึงมีกลยุทธ์มากขึ้น

วิธีที่ 2 ประกอบด้วยกลยุทธ์มากขึ้นเนื่องจากช่วยให้มีความยืดหยุ่นในการระบุพฤติกรรมที่ไม่สมดุล สิ่งนี้สามารถจบลงด้วยการจับภัยคุกคามที่ไม่น่าเชื่อถือ คุณอาจจะหรืออาจไม่ต้องการรวมสิ่งเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดของดุลยภาพที่คุณใช้ หากคุณสนใจเฉพาะใน Bayesian Nash equilibria คุณต้องรวมสิ่งเหล่านี้ หากคุณสนใจเกมย่อยสมดุลแบบแนชที่สมดุลหรือสมดุลแบบเบส์ตามลำดับจากนั้นคุณก็ไม่ต้องการมัน

นี่คือตัวอย่างของวิธีการที่ 1 สามารถพลาดความสมดุลบางอย่างได้

เกมต่อไปนี้นำมาจากหนังสือของ Rasmusen อีกครั้ง สมมติว่าในเกมนี้สมิ ธ เคลื่อนที่ก่อน

จากนั้นโจนส์จะต้องเลือกระหว่าง 4 กลยุทธ์ ในแต่ละกลยุทธ์เหล่านี้เขาระบุการกระทำของเขาในแต่ละกรณีฉุกเฉิน กลยุทธ์ทั้ง 4 อยู่ที่นี่และเกมจะแสดงในรูปแบบเชิงกลยุทธ์หรือ "ปกติ"

$E_1$ $E_2$ $E_3$ $E_2$ $E_1$ $E_3$

ฉันเชื่อว่าถ้าเราพยายามที่จะแก้ไขเกมนี้โดยใช้วิธีที่ 1 เราจะไม่สามารถระบุสมดุลทั้งสามนี้ได้

รูปแบบกลยุทธ์ "ปกติ"

ในคำถามที่คุณให้มาวิธีที่ 2 จะเปลี่ยนสิ่งนี้ให้เป็นเกมแบบคงที่ซึ่งเราพิจารณากลยุทธ์ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเรากำลังพิจารณารูปแบบ "ปกติ" ของเกม วิธีนี้ง่ายและเหมาะสมหากคุณสนใจที่จะหาสมดุลของกลยุทธ์ที่บริสุทธิ์ อาจใช้เพื่อค้นหากลยุทธ์ผสม BNE แต่อาจซับซ้อนกว่านั้นตามที่อธิบายไว้ในวิธีการ 2 สำหรับการอ้างอิงนี่คือบันทึกย่อบางส่วนในหัวข้อ หมายเหตุเหล่านี้ให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาสำหรับกลยุทธ์สมดุลของแนชโดยใช้การแปลงที่คุณได้รับ นอกจากนี้ยังแสดงวิธีแก้สมดุลของกลยุทธ์แบบผสมโดยใช้วิธีที่ 1 (ดูที่http://www.sas.upenn.edu/~ordonez/pdfs/ECON%20201/NoteBAYES.pdf )

อ้างอิงเพิ่มเติม

คุณยังสามารถใช้เครื่องมือออนไลน์นี้เพื่อทดสอบว่าวิธีการดังกล่าวสามารถให้คำตอบเดียวกันได้อย่างไร นี่เป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหาสำหรับสมดุลของแนชจาก n โดย n เกม ฉันขอแนะนำให้ใช้เครื่องมือนี้กับตัวอย่างที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้า ฉันพบเครื่องมือนี้อ้างอิงในคำถามอื่นนี้

— jmbejara
แหล่งที่มา

$p$ $q$

วิธีที่ 1 ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ถูกต้อง

$a$ $b$ $c$

a = p \cdot q, b = p \cdot (1 - q), c = (1 - p) \cdot q, 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q) .

$a = p \cdot q, \hskip 20pt b = p \cdot (1 - q), \hskip 20pt c = (1 - p) \cdot q, \hskip 20pt 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q).$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

1 - a - b - c = 0.

$1 - a - b - c = 0.$

1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q)

$1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q)$

p

$p$

q

$q$

b

$b$

c

$c$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

— Giskard
แหล่งที่มา

ฉันเชื่อว่าคำอธิบายนี้ไม่ถูกต้อง ดูคำตอบที่ฉันเขียน

— jmbejara

@ jmbejara ฉันได้อ่านเฉพาะคำตอบของคุณ แต่ฉันคิดว่าฉันเห็นว่ามันจะไปที่ไหนและฉันเห็นด้วยกับคุณคำตอบของฉันไม่ถูกต้อง คุณแนะนำอะไรฉันจะลบคำตอบหรือทิ้งไว้ที่นี่ด้วยการแก้ไขเพื่อชี้ให้เห็นว่ามันไม่ถูกต้อง?

— Giskard

ตกลง. เย็น. ใช่และฉันคิดว่าอาจมีรายละเอียดบางอย่างที่ฉันต้องทำความสะอาดในเหมืองเช่นกัน หากคุณพบสิ่งใดฉันขอขอบคุณที่คุณชี้ให้เห็น ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรกับคำถามนี้ มันขึ้นอยู่กับคุณ. มันอาจสมเหตุสมผลที่จะปล่อยให้มันมีการแก้ไข หากคุณตัดสินใจที่จะลบมันฉันไม่คิดว่าคุณจะเสียชื่อเสียงถ้ามันถูกลบ (ดูที่นี่: meta.stackexchange.com/questions/90062/ ...... )

— jmbejara

ฉันไม่พบข้อผิดพลาดใด ๆ ในคำตอบของคุณ มันเป็นคำอธิบายที่ละเอียดมาก (และค่อนข้างยาว) พร้อมการอ้างอิงที่มีประโยชน์ ฉันจะคิดเล็กน้อยเกี่ยวกับสิ่งที่จะทำอย่างไรกับคำตอบของฉันและฉันยังถามความเห็นของชุมชนในเมตาดาต้า meta.economics.stackexchange.com/questions/1440/...

— Giskard