การปรับให้เหมาะสมแบบไดนามิก: จะทำอย่างไรหากเงื่อนไขการสั่งซื้อที่สองไม่อยู่

พิจารณาปัญหาการเหมาะสมแบบไดนามิกต่อไปนี้

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOCs

The Hamiltonian มอบให้โดย การวางเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด หลักการ

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

สมมติว่าเป็น Maximizer คือ<0 $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ $H_{uu} < 0$

SOC

ทฤษฎีบทลูกศรที่เพียงพอกล่าวว่าการ condtions ที่จำเป็นนั้นเพียงพอแล้วหากการขยาย Hamiltonian เป็นเว้าเช่นถ้า<0

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$

x

$x$

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$

ปัญหา

สมมติว่ามีการระงับ FOCs แต่ SOC ไม่สามารถระงับได้

สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพของการแก้ปัญหา?

optimization

— ไม่รู้เรื่องรู้ราว
แหล่งที่มา

Convexity ไม่ใช่การขาดความมั่นใจ

— Michael Greinecker

ฉันลบส่วนที่ผิดออกไปฉันหวังว่าคุณจะไม่สนใจ คำตอบคือ: ไม่มากลองสิ่งอื่น (เช่นเงื่อนไขความเพียงพออื่นหรือถ้าคุณคิดว่ามันเป็นแบบนูนแสดงว่ามันเป็นแบบนูน)

— The Bob ผู้ทรงอำนาจ

ไม่มีคำตอบเดียวมันจะขึ้นอยู่กับรายละเอียดของแต่ละปัญหา ลองดูตัวอย่างมาตรฐาน

พิจารณาปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดระหว่างมาตรฐานสำหรับโมเดล Ramsey

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

ค่าปัจจุบัน Hamiltonian คือ

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

เพิ่มมากขึ้นกว่าเพียงอย่างเดียวที่เรามี $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

และเงื่อนไขอันดับที่ 2 จะถูกเก็บไว้หากฟังก์ชันยูทิลิตี้เว้า

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

ยิ่งไปกว่านั้นจากเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกที่เกี่ยวกับการบริโภคหากไม่มีการจับจองในท้องถิ่น สมมติว่าเรามีการตั้งค่า "ปกติ" ดังกล่าว $\lambda >0$

การเพิ่มขึ้นมากกว่าการบริโภคมิลโตเนียนคือ

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

สัญญาซื้อขายล่วงหน้าบางส่วนที่เกี่ยวกับตัวแปรรัฐเป็น $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

ดังนั้นที่นี่สภาพความพอเพียงของ Arrow-Kurz ก็ลดลงไปเรื่อย ๆ ว่าผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของทุนลดลงคงที่หรือเพิ่มขึ้น (ซึ่งจะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันการผลิต) ในกรณีมาตรฐานและเรามีเงื่อนไขเพียงพอ $f''(k) < 0$

ในกรณีที่มีชื่อเสียงที่สุดของการเบี่ยงเบนโมเดลของโรเมอร์สที่ริเริ่มวรรณกรรมการเจริญเติบโตภายนอก,และผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของเงินทุนเป็นค่าคงที่ในเชิงบวก $AK$ $f''(k) =0$

แล้วเราจะพูดอะไรในกรณีนี้

ที่นี่ Seierstad, A. และ Sydsaeter, K. (1977) เงื่อนไขที่เพียงพอในทฤษฎีการควบคุมที่ดีที่สุด รีวิวเศรษฐกิจระหว่างประเทศ, 367-391 ให้ผลลัพธ์ที่หลากหลายที่สามารถช่วยเราได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาพิสูจน์ว่าถ้ามิลโตเนียนเป็นเว้าร่วมกันในและมันเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสูงสุด รัฐเฮสเซียนแห่งมิลโตเนียนคือ $c$ $k$

(เราสามารถละเว้นเงื่อนไขส่วนลด)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

ในกรณีมาตรฐานด้วยนี้เป็นเชิงลบเมทริกซ์ที่ชัดเจนและเพื่อมิลจะร่วมกันอย่างเคร่งครัดเว้าในและk $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

เมื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็นค่าลบ - semidefinite ตรงไปตรงมาโดยใช้คำจำกัดความ พิจารณาเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้อ่อนแอถือและเพื่อเป็นรัฐร่วมกันเว้าในและk $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

ดังนั้นในรูปแบบของการเจริญเติบโตภายนอกการแก้ปัญหาเป็นจริงสูงสุด (ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด ของพารามิเตอร์ที่จำเป็นสำหรับปัญหาที่จะต้องกำหนดแน่นอน) $AK$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ขอบคุณ อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าฉันควรอธิบายแรงจูงใจของฉัน ฉันรู้ว่าแฮมิลตันจะไม่เว้าเข้มงวดในหรือร่วมกันใน concacveU) ที่นี่ขับเคลื่อนรูปร่างของมิลโตเนียนตั้งแต่ถูก จำกัด ขอบเขต มันเป็นฟังก์ชั่นที่เข้มงวดสำหรับนูนเล็กและใด ๆและฟังก์ชั่นเว้าที่เข้มงวดสำหรับขนาดใหญ่และใด ๆUฉันสงสัยว่าถ้าเราสามารถสร้างแถลงการณ์ที่แท้จริงเกี่ยวกับการมองโลกในแง่ดีในกรณีเช่นนี้

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— clueless

@clueless นี่เป็นคำถามที่แตกต่าง (และน่าสนใจ) ดังนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าจะถามในโพสต์แยกต่างหาก

— Alecos Papadopoulos