คำอธิบายที่ใช้งานง่ายของ

ทุกคนสามารถให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าทำไมเมทริกซ์ Slutsky คูณด้วยเวกเตอร์ราคาทำให้เมทริกซ์เป็นศูนย์?

ฉันรู้ว่านี่เป็นความจริง แต่ฉันไม่เข้าใจจริงๆว่าทำไมมันถึงเป็นจริง ใครช่วยได้บ้าง

นี่คือคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของอนุพันธ์อันดับสอง / Hessian matrix ของฟังก์ชันหลายตัวแปรที่เป็นเอกพันธ์ของดีกรีหนึ่ง

ฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายนั้นเหมือนกันในระดับหนึ่งในราคา ทำไม? หากราคาทั้งหมดเปลี่ยนแปลงในสัดส่วนเดียวกัน (ซึ่งเป็นวิธีที่เราตรวจสอบคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของความสม่ำเสมอ) ราคาสัมพัทธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง หากราคาญาติไม่เปลี่ยนองค์ประกอบเชิงปริมาณขั้นต่ำค่าใช้จ่ายชดเชยกำบริโภคเพื่อให้บรรลุสาธารณูปโภคที่ได้รับจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอด จากนั้นเนื่องจากราคาทั้งหมดได้เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนที่เท่ากันส่วนแบ่งงบประมาณจึงยังคงเหมือนเดิมและค่าใช้จ่ายที่จำเป็นในการบรรลุอรรถประโยชน์เดียวกันเพิ่มขึ้นในสัดส่วนเดียวกันนั่นคือความสม่ำเสมอของระดับหนึ่ง$E$

โดยคู่เวกเตอร์ความต้องการ Hicksian คือการไล่ระดับสีของฟังก์ชั่นการใช้จ่ายที่อี$H = \nabla_p E$

เวกเตอร์ความต้องการของ Hicksian ทำให้เราได้รับปริมาณความต้องการขั้นต่ำ เนื่องจากความสม่ำเสมอของระดับหนึ่งของฟังก์ชันค่าใช้จ่ายผลิตภัณฑ์ภายในของเวกเตอร์อุปสงค์ฮิกเซียนคูณด้วยเวกเตอร์ราคาเท่ากับฟังก์ชันค่าใช้จ่าย สิ่งนี้ควรเป็นสัญชาตญาณ: เราเพียงแค่คูณปริมาณที่ต้องการด้วยราคาต่อหน่วยที่จะต้องจ่ายและโดยการรวมผลิตภัณฑ์เหล่านี้เราจะได้รับค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่เราต้องได้รับเพื่อที่จะได้รับชุดค่าใช้จ่ายต่ำสุด

ดังนั้นเราจึงมี (ลดความซับซ้อนของสัญกรณ์ความแตกต่าง) ในขณะที่ยัง$E = H\cdot p$H ดังนั้นด้วย$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

และมันจะต้องเป็นอย่างนั้น

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

ดังนั้นเวกเตอร์ความต้องการ Hicksian เป็นเนื้อเดียวกันของการศึกษาระดับปริญญาศูนย์ในราคา (คณิตศาสตร์นี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทออยเลอร์สำหรับการทำงานที่เหมือนกันคือว่าถ้าทำงานเป็นเนื้อเดียวกันที่มีระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันลาดที่มีระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันk - 1 )$k$$k-1$

แต่อนุพันธ์อันดับ 1 (จาโคเบียน) ของอุปสงค์ฮิกเซียน (ซึ่งเป็นเมทริกซ์ Hessian ของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันค่าใช้จ่าย) คือเมทริกซ์ Slutsky, ) ดังนั้นS(W,P)⋅P=0$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

ดังนั้นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากความสม่ำเสมอขององศาหนึ่งในฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย มีคำอธิบายที่ใช้สัญชาตญาณคล้ายคลึงกับปรีชาที่อยู่เบื้องหลังความสม่ำเสมอของระดับหนึ่งในฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายหรือไม่? อืมอดีตมาโดยตรงจากหลังดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะเกิดขึ้นกับอาร์กิวเมนต์ที่ใช้งานง่าย "แยก" หนึ่งอย่างไม่เป็นทางการอาจกล่าวได้ว่าปริมาณที่ชดเชยความต้องการเป็น "อิสระ" ของการเปลี่ยนแปลงราคา (ไม่ได้รับผลกระทบ) เมื่อราคาสัมพัทธ์ยังคงเหมือนเดิม จากนั้นในแง่เรขาคณิตนี่หมายความว่าเวกเตอร์ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณการชดเชยเรียกร้อง (ซึ่งเป็นสิ่งที่แต่ละแถวของเมทริกซ์ Slutsky มี) เป็นมุมฉากกับเวกเตอร์ราคา

ฉันไม่รู้ว่าคุณจะถือว่านี่เป็นคำอธิบายหรือค่อนข้างเป็นข้อพิสูจน์

สิ่งที่เรามีความเข้าใจที่ดีขึ้นจากแคลคูลัส univariate คือการประมาณคำสั่งแรกของ Taylor นั่นคือฟังก์ชันที่ตอบสนองเงื่อนไขปกติบางอย่างสามารถประมาณค่าได้ดีโดยฟังก์ชันเชิงเส้น ณ จุดหนึ่ง พูดว่าจากนั้นประมาณp ∗ (เช่นเมื่อδมีขนาดเล็ก) f ( p ∗ + δ ) ≃ f ( p ∗ ) + δ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

อีกวิธีหนึ่งเนื่องจากความต้องการของ Hicksian สำหรับสิ่งที่ไม่ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาที่ทำให้ราคาสัมพัทธ์เหมือนกันดังนั้นถ้าเราดูที่ผลรวมของแต่ละบุคคลที่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาเหล่านี้เป็นสิ่งที่ดีเราควรสังเกต 0 เปลี่ยน

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ภายใต้กฎหมายของ Walras$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$