หวยหลอกลวง

สมมติว่าเรามีสุนัขจิ้งจอกหิว เขามีแครอทขนาดใหญ่ที่ถูกทำลายซึ่งเขาไม่สามารถกินได้ (และจะไม่กินถ้าพวกมันยังสดอยู่) แต่เขารู้ว่ากระต่ายท้องถิ่นในพื้นที่ใกล้เคียงรักแครอท

เขาผนึกแครอทที่ได้รับการเน่าเสียทั้งหมดไว้ในตะกร้าที่มีอากาศถ่ายเทและมุ่งหน้าไปสู่แผนการร้าย เขาประกาศให้ทุก $n$ จำนวนกระต่ายในภูมิภาคว่าเขาจะ raffling ปิดขุมใหญ่ของแครอทมูลค่าบาง $x$ จำนวนเงินที่เขาจะได้รับที่ตลาดใกล้เคียง แต่ที่เขาตัดสินใจที่จะจับฉลากออกไปยังประเทศเพื่อนบ้านที่ดีของเขา เขาบอกว่าเขาจะส่งภาระหนักไปที่บ้านของผู้ชนะเป็นการส่วนตัว

สุนัขจิ้งจอกยืนยันที่จะรักษาความสดของแครอทและทำให้ตะกร้าปิดดังนั้นกระต่ายไม่สามารถดมกลิ่นหรือเห็นแครอทก่อนที่จะจับฉลากในตอนนี้ เขาวางแผนที่จะขายตั๋วสำหรับ $p$ เงินในแต่ละแล้วสุ่มเลือกหนึ่งของตั๋วเป็นผู้ชนะ กระต่ายสามารถซื้อได้มากกว่าหนึ่งใบ กระบวนการนี้เป็นแบบสาธารณะและตรวจสอบได้ เมื่อเขาส่งแครอทที่ชำรุดเขาจะแสดงความประหลาดใจและคืนเงินตั๋วใด ๆ ที่ผู้ชนะซื้อและบอกผู้ชนะว่าเขาจะคืนเงินให้กับส่วนที่เหลือของกระต่ายด้วย ... ก่อนที่จะหนีไปกับเงินที่เหลือก่อนใคร สามารถหยุดเขาได้

กระต่ายนั้นค่อนข้างน่าสงสัยในการจับฉลากทั้งหมดนี้ในระดับที่แตกต่างกัน แต่ถ้าพวกเขาเป็นผู้ชนะพวกเขาจะไม่ขอรางวัลทดแทนที่มีมูลค่าเท่ากันกับแครอทและจะยอมรับการคืนเงินในขณะที่สุนัขจิ้งจอกอยู่ที่บ้านของพวกเขา สิ่ง). เราบอกว่ายูทิลิตี้ที่คาดหวังของกระต่ายแต่ละตัวสำหรับตั๋วคือ:

E [u_{i} (t_{i}, g_{i})] = \frac{t_{i}}{\sum_{i}^{n} t_{i}} (g_{i} \cdot [C - x^{2} + x] - p t_{i}) + (1 - \frac{t_{i}}{\sum_{i}^{n} t_{i}}) (- p t_{i})

$\mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{\sum_i^n t_i}(g_i\cdot[C - x^2 + x] - pt_i) + (1 - \frac{t_i}{\sum_i^n t_i})(-pt_i)$

ที่เป็นค่าคงที่และคือการกระจายตัวแบบ gullibility ที่สม่ำเสมอ (สูงกว่าคือใจง่ายมากขึ้นกระต่ายแต่ละตัวมีแตกต่างกันอยู่ที่ไหนสักแห่งใน distirbution) สังเกตว่าสุนัขจิ้งจอกประกาศเหมือน สูงกระต่ายจะคิดว่าล็อตเตอรี่นั้นดีเกินกว่าที่จะเป็นจริงและเริ่มคิดค่าล็อตเตอรี่น้อยกว่าที่พวกเขามีเท่า ๆ กันเป็นข้อมูลสาธารณะและการแจกเป็นข้อมูลสาธารณะเช่นกัน . $C>0$ $g_i \in (0, 1]$ $g_i$ $x$ $\mathbb{E}(u_i)$ $g_i$

คำถามของฉันคือสุนัขจิ้งจอกจะเป็นไปได้หรือไม่

กำหนดความต้องการตั๋วที่ได้รับข้อมูล
ถ้าเป็นเช่นนั้นสิ่งที่และเขาควรประกาศเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุด $x$ $p$
หากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมที่คำถามจะต้องเป็นปัญหาที่น่าสนใจและแก้ไขได้

— ทหารม้า Kitsune
แหล่งที่มา

ถ้าฉันเข้าใจคำถามอย่างถูกต้องนี่เป็นเกมสองด่าน ขั้นตอนที่สองคือผู้เล่น

play ทุกคนที่ประมูลโซลูชั่นซึ่งมีฟังก์ชั่นของ

ควรจะหาได้ง่าย จากนั้นเมื่อได้รับผลสมดุลขั้นที่สองสุนัขจิ้งจอกจะสร้างรายได้สูงสุดโดยการเลือก

ในระยะแรก

n

$n$

x, p

$x,p$

x, p

$x,p$

— Herr K.

@HerrK มันไม่ใช่การประมูลที่จ่ายทั้งหมดเนื่องจากผู้ชนะไม่ใช่ใครที่ใช้จ่ายเงินมากที่สุดในการซื้อตั๋ว แต่ใครก็ตามที่ได้รับตั๋วที่เลือกจากตั๋วที่ซื้อ

— Kitsune Cavalry

g_{i}

$g_i$

s (g_{i})

$s(g_i)$

g_{i}

$g_i$

g_{i}

$g_i$

s (g_{i}) = \arg max_{t_{i}} \int_{0}^{1} \frac{t_{i}}{t_{i} + (n - 1) s (g_{j})} g_{i} (C - x^{2} + x) d g_{j} - p t_{i} .

$s(g_i)=\arg\max_{t_i} \int_0^1 \frac{t_i}{t_i+(n-1)s(g_j)}g_i(C-x^2+x)dg_j-pt_i.$

ใช่มีการแจกจ่ายอย่างอิสระ คุณกำลังสร้างนอกคำตอบของ Alecos หรือมันเป็นวิธีการทางทฤษฎีมากกว่าเกม?

g_{i}

$g_i$

— Kitsune Cavalry

ฉันคิดว่าตราบเท่าที่กระต่ายเป็นกลยุทธ์ (เช่นแต่ละคนพยายามที่จะเพิ่มผลตอบแทนของตัวเองโดยคำนึงถึงการตัดสินใจของกระต่ายอื่น ๆ และ ) ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการทางทฤษฎีเกม คำตอบ Alecos' ถือว่ากระต่ายเหมือนกัน แต่ในสูตรของคุณกระต่ายเป็นเพียงอดีตก่อนเหมือนกัน การตัดสินใจของพวกเขาในเป็นหน้าที่ของหลอกตระหนักของพวกเขาg_iนั่นเป็นเหตุผลที่ฉันคิดว่ามันสมเหตุสมผลที่จะพิจารณา BNE แบบสมมาตรในระยะที่กระต่ายเลือกและในการคาดการณ์ความสมดุลสุนัขจิ้งจอกจะตัดสินใจเลือกในระยะแรก

x, p

$x,p$

t_{i}

$t_i$

g_{i}

$g_i$

x, p

$x,p$

— Herr K.

จุดที่สำคัญที่นี่คือการทราบว่าจำนวนรวมของตั๋วไม่ได้ตั้งค่าเบื้องต้น นี่เป็นสิ่งที่ดีเพราะมันทำให้ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ที่คาดว่าไม่ใช่เชิงเส้นในและอนุญาตให้เราดำเนินการต่อ (ครึ่งทาง) $t_i$

การเขียนสำหรับจำนวนตั๋วทั้งหมดและสำหรับจำนวนทั้งหมดลบด้วยการซื้อกระต่ายและลดความซับซ้อนอรรถประโยชน์ที่คาดหวังคือ $S$ $S_{-i}$ $i$

\begin{matrix} (1) & E [u_{i} (t_{i}, g_{i})] = \frac{t_{i}}{S} \cdot g_{i} \cdot [C - x^{2} + x] - p t_{i} \end{matrix}

$\mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{S}\cdot g_i\cdot [C-x^2+x] -pt_i \tag{1}$

เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพยูทิลิตี้ของหนึ่งกระต่ายที่เกี่ยวกับจำนวนตั๋วที่ซื้อคือ

\frac{\partial E [u_{i} (t_{i}, g_{i})]}{\partial t_{i}} = \frac{S_{- i}}{S^{2}} g_{i} \cdot [C - x^{2} + x] - p = 0

$\frac {\partial \mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)]}{\partial t_i} = \frac{S_{-i}}{S^2}g_i\cdot [C-x^2+x] - p=0$

\begin{matrix} (2) & ⟹ t_{i} = {(\frac{S_{- i} g_{i} \cdot [C - x^{2} + x]}{p})}^{1 / 2} - S_{- i} \end{matrix}

$\implies t_i = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2} - S_{-i} \tag{2}$

เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สองเป็นที่พอใจดังนั้นนี่จะเป็นสูงสุด เราได้รับการจัดเรียงใหม่ $(2)$

\begin{matrix} (3) & S = {(\frac{S_{- i} g_{i} \cdot [C - x^{2} + x]}{p})}^{1 / 2} \end{matrix}

$S = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2} \tag{3}$

ตัวเลือกของเป็นแบบสุ่มดังนั้นเราจึงมี $i$

S_{- i} g_{i} = S_{- j} g_{j}, \forall i \neq j ⟹ (S - t_{i}) g_{i} = (S - t_{j}) g_{j}

$S_{-i} g_i = S_{-j} g_j,\;\;\; \forall i\neq j \implies (S-t_i)g_i = (S-t_j)g_j$

\begin{matrix} (4) & ⟹ t_{j} = S - \frac{g_{i}}{g_{j}} (S - t_{i}), \forall j \neq i \end{matrix}

$\implies t_j = S - \frac {g_i}{g_j}(S-t_i), \;\;\; \forall j\neq i \tag{4}$

ข้อสรุปมากกว่าเราได้รับ $j\neq i$

S - t_{i} = S_{- i} = (n - 1) S - (S - t_{i}) g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}

$S-t_i =S_{-i} = (n-1)S - (S-t_i)g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}$

\begin{matrix} (5) & ⟹ (S - t_{i}) = \frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}} S \end{matrix}

$\implies (S-t_i) = \frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S \tag{5}$

การแทรกเข้าไปเราได้ $(5)$ $(3)$

S = {(\frac{\frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}} S g_{i} \cdot [C - x^{2} + x]}{p})}^{1 / 2}

$S = \left(\frac {\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\right)^{1/2}$

\begin{matrix} (6) & ⟹ S = \frac{(n - 1) g_{i} \cdot [C - x^{2} + x]}{(1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}) p} \end{matrix}

$\implies S = \frac {(n-1)g_i\cdot [C-x^2+x]}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\right)p} \tag{6}$

เราสามารถแสดงความต้องการทั้งหมดในฐานะหน้าที่ของตัวแปรการตัดสินใจของสุนัขจิ้งจอกและพารามิเตอร์ / ตัวแปรสุ่มของแบบจำลอง อย่างไรก็ตามมันยังบอกใบ้ปัญหาที่นี่ (คูณด้วยเพื่อรับฟังก์ชั่นรายรับ) แต่เรามาหามันอย่างชัดเจน $p$

สำหรับการใช้งานในภายหลังจากเรายังได้รับ $(5)$

\begin{matrix} (7) & t_{i} = S (1 - \frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}}) \end{matrix}

$t_i = S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right) \tag{7}$

เมื่อหันไปหาฟังก์ชั่นการทำกำไรของสุนัขจิ้งจอกมันมีรายได้รวมเท่ากับและจากนั้นเธอจะต้องจ่ายคืนจำนวนเงินที่กระต่ายจ่ายเพื่อให้ได้ลอตเตอรี ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็นสุนัขจิ้งจอกที่ได้รับpt_i ดังนั้นฟังก์ชั่นกำไรที่คาดหวังหลังจากการขายตั๋วได้รับการสรุปและก่อนการจับสลาก $pS$ $t_i/S$ $pS - pt_i$

\begin{matrix} (8) & E (π) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{t_{i}}{S} (p S - p t_{i}) = p \sum_{i = 1}^{n} \frac{t_{i} (S - t_{i})}{S} \end{matrix}

$E(\pi) = \sum_{i=1}^n \frac {t_i}{S}\left(pS - pt_i\right) = p\sum_{i=1}^n \frac {t_i(S-t_i)}{S} \tag{8}$

การแทรกถึงเรามี $(5),(7)$ $(8)$

E (π) = p \sum_{i = 1}^{n} \frac{S (1 - \frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}}) (\frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}} S)}{S}

$E(\pi) = p\sum_{i=1}^n \frac {S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S\right)}{S}$

= p S \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}}) (\frac{n - 1}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}})

$= pS\sum_{i=1}^n \left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)$

ใช้ยังเราได้รับหลังจากการทำให้เข้าใจง่าย $(6)$

\begin{matrix} (9) & E (π) = \frac{(n - 1)^{2} g_{i} \cdot [C - x^{2} + x]}{1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} [\frac{(g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1} - n + 2)}{{(1 + g_{i} \sum_{j \neq i} g_{j}^{- 1})}^{2}}] \end{matrix}

$E(\pi) = \frac {(n-1)^2g_i\cdot [C-x^2+x]}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\cdot \sum_{i=1}^n \left[\frac {\left(g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}-n+2\right)}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\right)^2}\right] \tag{9}$

สมการเผยปัญหาที่นี่: ในขณะที่จากสุนัขจิ้งจอกสามารถอนุมานได้ว่าทุกคนรู้จริงของอดีตก่อนหน้าที่คาดหวังกำไรดูเหมือนฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมากของตัวแปรสุ่ม เครื่องแบบ $(9)$ $(3)$ $g_i$ $n$ $(0,1)$

แต่ที่สำคัญที่สุดกำไรไม่ได้ขึ้นอยู่กับราคา (ตั้งแต่เริ่มต้นด้วยรายได้รวมไม่ขึ้นอยู่กับราคา) ในขณะที่นี่เป็นมาตรฐานในสภาพแวดล้อมการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบ (ที่ดุลยภาพของตลาดกำหนดราคา) แต่ที่นี่เรามีการผูกขาด เพื่อแก้ไขปัญหานี้อย่างใดอย่างหนึ่งควรจะกลับไปที่ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้คาดว่าและเปลี่ยนรูปแบบกึ่งแบบเส้นตรงและถือว่ายูทิลิตี้เว้าแทนใน ,'<0 สิ่งนี้จะรักษาราคาไว้เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันกำไรพร้อมกับและพยายามทำกำไรสูงสุดร่วมกัน $pt_i$ $v(pt_i), v'>0, v''<0$ $x$ $(p,x)$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา