คำถามเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับหน่วยจินตภาพ“ j” (การวิเคราะห์วงจร AC)

ฉันเพิ่งเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับการวิเคราะห์เครือข่าย AC และมีคำถามเกี่ยวกับ "j" (หรือ "i" ในเครื่องคิดเลขของฉัน) หน่วยจินตภาพ หนังสือของฉันไม่ได้เกี่ยวกับเรื่องนี้มากนักและกระโดดลงไปในสูตรและการแทนที่ (วิธีการที่ใช้งานได้จริงมากกว่าในทางทฤษฎี) ดังนั้น J หมายถึงอะไรกันแน่?

ฉันเห็นว่าถ้าฉันวาดระนาบเชิงซ้อน (แกน y เป็นจินตภาพ, แกน x เป็นจริง), และวาดวงกลมหน่วยบนมัน, มุม 90 °คือ $\sqrt{-1}$ซึ่งก็คือ "j" ฉันเห็นว่าฉันสามารถใช้การทดแทนนี้ในรูปแบบเฟสเซอร์เมื่อพูดแก้ปัญหาสำหรับแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุเมื่อทราบถึงกระแส:

มีคนช่วยฉันเข้าใจเรื่องนี้ไหม?

ความจริงแล้วคำถามนี้ค่อนข้างคลุมเครือเพราะฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าจะถามเกี่ยวกับสิ่งที่ J คืออะไร; มันเป็นสิ่งแปลกใหม่สำหรับฉัน ฉันต้องการคำอธิบายสามัญสำนึก (ภาพใหญ่) ของความหมายและวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์วงจร AC ฉันไม่จำเป็นต้องมองหาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด (แม้ว่าคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่จำเป็นยินดีต้อนรับ)

หากคุณใส่เครื่องหมายลบหน้าหมายเลข "5" มันจะกลายเป็น "-5"

ลองดูสิ่งนี้แตกต่างกัน ลองคิดดูว่ามันจะหมุนตัวเลข "5" (ผูกกับต้นกำเนิดด้วยสตริงที่มีความยาว 5) จนถึง 180 องศาเพื่อให้กลายเป็น "-5"

ตกลง สัญญาณเชิงลบเหมือนกับการหมุนถึง 180 องศา ...

ทำไมไม่ขยายออกไปอีกเพื่อสร้างบางสิ่งที่คุณสามารถ "ติด" ต่อหน้าจำนวนบวกที่หมุนได้ถึง 90 องศา - ใน EE นี้มักเรียกว่า "j" และทำหน้าที่หมุนค่า (ประมาณต้นกำเนิด) ถึง 90 องศา นาฬิกาเคาน์เตอร์ที่ชาญฉลาดคือถ้าคุณทำมันสองครั้ง (j * j) คุณจะได้ 180 องศา ("-")

จากอัญมณีแห่งความรู้นี้คุณสามารถพูดได้ว่า j * j = -1 ดังนั้น j = $\sqrt{-1}$

เช่นเดียวกับเครื่องหมายลบสามารถหมุนค่าบวกใด ๆ ถึง 180 องศามันสามารถหมุนเวกเตอร์หรือเฟสเซอร์ถึง 180 องศาได้ เช่นเดียวกับตัวดำเนินการ j - มันหมุนเวกเตอร์หรือเฟสเซอร์ถึง 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา

แก้ไข - ลืมส่วนหนึ่งของคำถาม: -

แทน j เข้าไปในอิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุ โปรดจำไว้ว่าสูตรพื้นฐานสำหรับตัวเก็บประจุคือ Q = CV ดังนั้นจึงแตกต่างตัวแปรที่เราได้รับ: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

สิ่งนี้บอกเราว่าสำหรับกระแสไฟฟ้าที่ใช้แรงดันไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุกระแสไฟฟ้าก็จะเป็นคลื่นไฟฟ้า แต่แยกออกเป็นโคไซน์เช่นนี้: -

หากคุณพยายามที่จะคำนวณความต้านทาน (V / I) ของตัวเก็บประจุจากความสัมพันธ์ VI คุณจะมีปัญหาเพราะเมื่อฉันผ่านศูนย์ถึง V จะไม่เป็นศูนย์ดังนั้นคุณจะได้รับอินฟินิตี้ หากในอีกทางหนึ่งคุณใช้ "j" เพื่อให้กระแสเป็นเฟสด้วยแรงดันคณิตศาสตร์จะคำนวณกระแสไฟได้ดีและแรงดันไฟฟ้าจะถูกจัดตำแหน่งและอิมพีแดนซ์ตามค่าของ V / I ที่เหมาะสม

ฉันรู้ว่าคุณเพิ่งจะเริ่มดังนั้นฉันพยายามที่จะทำให้มันถูกต้องและเรียบง่าย (อาจจะง่ายเกินไปสำหรับบางคน)

หากคุณดูที่ตัวเหนี่ยวนำ "j" สามารถนำไปใช้กับแรงดันไฟฟ้าเพื่อจัดแนวกับกระแสดังนั้น "j" อยู่ในตัวเศษสำหรับปฏิกิริยาทางอุปนัยและ j อยู่ในตัวหารสำหรับปฏิกิริยาทาง capacitive มีรายละเอียดปลีกย่อยอยู่รอบ ๆ ที่นี่หวังว่าจะทำให้รู้สึกในขณะที่คุณเรียนรู้เพิ่มเติม - จริง ๆ แล้วมันไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ "j" ดูเหมือนจะ "ติดตาม" โอเมก้าเมื่อมาถึงความต้านทาน - คำอธิบายของฉันไม่ครอบคลุมและคำถามของคุณ!

ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่เราใช้ $i$ เพื่อแทนค่ารากที่สองของ $-1$.

ส่วนรากที่สองของ $-1$ ความเป็นอยู่ $-i$.

หากคุณนึกภาพเส้นจำนวนที่มีตัวเลขจริงวางอยู่ในแนวนอน ตอนนี้เราสามารถเพิ่มบรรทัดที่สองที่มีตัวเลขในแนวตั้ง

ตอนนี้เราได้สร้างระบบที่ซับซ้อนซึ่งทุกจุดบนระนาบจะถูกแทนด้วยส่วนที่แท้จริงและจินตภาพเช่น $4 + 3i$ แสดงถึงจุดที่เป็น 4 หน่วยตามแนวแกนจริงและ 3 หน่วยขึ้นไปบนแกนจินตภาพ

เนื่องจากจุดในพื้นที่สองมิติสามารถแสดงเป็นตัวเลขเดี่ยวได้การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ 2 มิติจึงง่ายขึ้น

ในอิเล็กทรอนิคส์เมื่อพิจารณาระบบที่จัดทำโดยคลื่นไซน์ความถี่เดียวเราได้รับการสอนเบื้องต้นเพื่อวาดแผนภาพเฟสเซอร์ จากนั้นจึงใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนเพื่อจัดการกับปัญหาเหล่านี้

เรายังใช้ $j$ แทน $i$แต่ความหมายเหมือนกัน มันเป็นเพียงเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเพราะในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์$i$ มักใช้สำหรับปัจจุบัน

หากคุณต้องการความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นลองดูที่คำถามนี้: ตัวเลขในจินตนาการคืออะไร? จากไซต์Mathematics Stack Exchange

หรือลองดูที่นี่: ภาพใช้งานง่ายคู่มือเบอร์จินตนาการ

ในวิชาคณิตศาสตร์มีคนถามคำถาม:

อะไรคือทางออกของ x ^ 2 = -1?

พวกเขาประดิษฐ์หมายเลขขึ้นมาแล้วบอกว่าเรียกมันว่า "เจ"

พวกเขาได้ผลที่ตามมาจากการทำเช่นนี้ พวกเขาพบว่ามันไม่ได้นำไปสู่ความขัดแย้งภายในขอบเขตของคณิตศาสตร์ที่มีอยู่

โปรดทราบว่าคุณอาจคิดว่า "โอเคทำไมไม่เพียงแค่แนะนำตัวอักษรทุกครั้งที่คุณมีบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้ฉันจะโทรหา 1/0 = f"

ลองมัน. มันไม่ได้ผลเสมอไปเพราะกฎการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่เดิมพัง ตัวอย่างเช่นคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าการกำหนด 1/0 = f ช่วยให้คุณแสดงว่า 1 = 2 หรือ 1 = 3, ...

ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์มันใช้งานได้และไม่ได้นำไปสู่ความขัดแย้งใด ๆ ทันใดนั้นเรามีวิธีที่จะ "เก็บข้อมูล" ข้อมูลสองชิ้นไว้ในตัวเลขเดียวเพราะวิธีที่คุณสามารถใช้แทนจำนวนเชิงซ้อน: บนระนาบจริง / จินตภาพ ทันใดนั้นเราสามารถจัดการหมายเลขที่มีทั้งขนาดและเฟสเช่นเดียวกับที่เราจัดการ "หมายเลขปกติ" มันมีประโยชน์มากทีเดียว

ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์นั้นค่อนข้างสะดวกในการบรรจุข้อมูลสองชิ้นเป็นหนึ่งหมายเลข ดังนั้นจึงค่อนข้างสะดวกในการใช้ตัวเลขที่ซับซ้อน นั่นคือทั้งหมดที่มันเป็น เราเพียงแค่ต้องการติดตามทั้งขนาดและเฟส - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีการประดิษฐ์ขึ้นมาในหลาย ๆ ทาง แต่ก็ไม่ผิดกฎใด ๆ ที่อนุญาตให้เราทำเช่นนั้นได้ ลองใช้กัน

ในหน่วยจินตภาพคณิตศาสตร์เป็นจำนวนที่มีประโยชน์มากที่ใช้ในการแก้สมการที่มีลำดับสูงกว่า 2 มันถูกนำมาใช้เพียงแค่ .... กับการทดสอบและใช้งานได้ดีจนถึงทุกวันนี้ สิ่งนี้ช่วยให้ได้รับอย่างน้อยหนึ่งรูตในพหุนามทุกอัน

ในหน่วยจินตภาพอิเล็กทรอนิกส์หมายถึงพลังงานที่เก็บไว้ในวงจรของเรา ดังนั้นในตัวเก็บประจุมันคือพลังงานที่เก็บไว้ นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนเฟสในวงจรเมื่อเรากำลังจัดการกับสัญญาณไซน์

ฉันคิดว่าคุณควรแม่นยำกว่าคำถามของคุณหรือเพียงแค่เขียนคำถามที่รบกวนคุณในจุด

ตัวอย่างเช่น ... หากความต้านทานของวงจรของคุณจะถูกแสดงโดยหน่วยจินตภาพเท่านั้นไม่ใช่ของจริงบิลค่าพลังงานของคุณจะเป็น ... ศูนย์ :)