เสาและแปลงเป็นลางบอกเหตุ

ฉันมีสามคำถามที่ทำให้ฉันลำบากใจมานาน:

1. เราบอกว่าในพล็อตเรื่อง Bode จะมีกำไรลดลง 20 เดซิเบลต่อทศวรรษเมื่อใดก็ตามที่พบขั้ว แต่ไม่ได้กำหนดขั้วไว้เป็นค่าของซึ่งทำให้ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนไม่มีที่สิ้นสุด? เหตุใดจึงไม่ได้รับขึ้นในจุดนี้แทนที่จะลงไป?$s$

2. ร่างกายจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราป้อนระบบด้วยความถี่เสา?

3. นอกจากนี้ยังพิจารณาฟังก์ชันถ่ายโอน2) ระบบมีขั้วJ0) นั่นคือสำหรับเสาและ 0 แต่เมื่อเราใช้สัญญาณไซน์กับอินพุตและวาดพล็อต Bode ทำไมเราถึงพูดว่ามีขั้วที่ 2 rad / วินาที (แม้ว่าสำหรับเสา,และ )?s = ( - 2 + j 0 ) σ = - 2 ω = 0 ω = 0 σ = - $1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

พล็อตเป็นลางบอกเหตุไม่ได้เป็นกราฟที่แปลงฟังก์ชั่นการถ่ายโอน ( ) กับs H ( s )เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนและพล็อตขนาดของมันแสดงถึงพื้นผิวในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และพื้นผิวนี้จะมียอดเขาจะไม่มีที่สิ้นสุดที่แต่ละเสาดังแสดงในรูป:$H(s)$$s$$H(s)$

พล็อตเป็นลางบอกเหตุได้จากการแทนที่ครั้งแรกในH $s= j\omega$จากนั้นแทนมันในรูปแบบขั้ว H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ไว( ω ) H ( ω )ให้พล็อตขนาดลางและ φ ( ω )ให้พล็อตเฟสลาง$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

พล็อตขนาดเป็นลางบอกเหตุเป็นประมาณ asymptotic ของขนาดของฟังก์ชั่นการถ่ายโอน ( ) เทียบกับลอการิทึมของความถี่ในเรเดียน / วินาที ( log 10 | ω | ) กับ | H ( s ) | (แสดงเป็น dB) บนแกน y และบันทึก10 | ω | บนแกน x$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

มาถึงคำถาม:

1. ที่เสาพื้นผิวที่ซับซ้อนของยอดเขาที่อินฟินิตี้ไม่| H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. เมื่อระบบถูกป้อนด้วยความถี่ขั้วเอาต์พุต cosponsoring จะมีความถี่เดียวกัน แต่ความกว้างและเฟสจะเปลี่ยนไป ค่าสามารถกำหนดได้โดยการแทนที่ความถี่เป็นเรเดียน / วินาทีในและϕ ( ω )ตามลำดับ$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. เสาที่ -2 rad / วินาทีและ 2 rad / วินาทีมีผลเหมือนกันกับ. และความสนใจของเราอยู่ในการตอบสนองความถี่ ดังนั้นเราจึงต้องการเพียงส่วนที่เป็นบวกเท่านั้น$|H(\omega)|$

เมื่อพยายามทำความเข้าใจกับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนฉันคิดว่า "การเปรียบเทียบแผ่นยาง" มีประโยชน์มาก ลองนึกภาพแผ่นยางยืดหยุ่นที่ครอบคลุม -plane ที่ซับซ้อนและจินตนาการว่าในทุก ๆ ศูนย์ของฟังก์ชั่นการถ่ายโอนแผ่นจะถูกยึดติดกับพื้น ขนาดของการตอบสนองความถี่คือความสูงของแผ่นยางตามแนวj ω -axis$s$$j\omega$

1. จากการเปรียบเทียบข้างต้นแน่นอนว่าผลกำไรจะขึ้นไปทางขั้ว แต่การย้ายออกจากเสาการมีส่วนร่วมของขั้วทำให้ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนลดลง (เช่นไปที่ศูนย์ถัดไป) ลองนึกภาพระบบง่าย ๆ ที่คุณให้เป็นตัวอย่างในคำถามที่สาม มันมีเสามูลค่าจริงที่และ - เนื่องจากเสานี้ - นอกจากนี้ยังมีศูนย์ที่ s 0 = ∞ ดังนั้นการย้ายออกจากเสาที่มีความถี่เพิ่มขึ้นฟังก์ชั่นการถ่ายโอนจะลดลงเพราะแผ่นยางถูกยึดติดกับพื้นดินที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้ยังมองเห็นได้ง่าย: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ ในเดซิเบลเราจะได้ 10log10| H(jω)| 2=-10บันทึก10(4)-10บันทึก10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ สำหรับω»2ระยะที่สองที่ด้านขวามือของ (1) สามารถห้วง -10ล็อก10( $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ ซึ่งเป็นเส้นตรงที่มีความชัน- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ ต่อทศวรรษ$-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$$t$$0$$t$

3. $2$$2$$-20$$\omega\gg 2$$2$

กราฟแสดงความแตกต่างระหว่างความถี่ธรรมชาติในคอมเพล็กซ์ $s$- เครื่องบิน (ไม่มีที่สิ้นสุด) และขนาดที่สอดคล้องกันสูงสุดตามแนว $j\omega$ แกนซึ่งสามารถสังเกตได้ในระหว่างการวัด: กราฟเป็นความถี่ธรรมชาติของ $\omega_p=1000$ rad / s และปัจจัยด้านคุณภาพเสา $Q_p=1.3$(ซึ่งเป็นตัวชี้วัดของการได้รับจุดสูงสุดที่สังเกตได้) พล็อตนี้แสดงให้เห็นถึงลักษณะ Chebyshev ลำดับที่ 2 ที่มีระลอกคลื่น 3 เดซิเบลใน passband

"s" ในสมการของคุณคือค่าคงที่ในฟังก์ชัน exp (s * t) ดังนั้นเมื่อ s เป็นจำนวนจริงฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงแบบทวีคูณ ตัวอย่างของคุณที่มี s = -2 เป็นฟังก์ชันที่ตกลงมาแบบทวีคูณ สำหรับเสา "หมายเลข" ใด ๆ เอาต์พุตจะเพิ่มขึ้นเมื่อคุณใช้อินพุตที่ "หมายเลข" นั้น หากคุณใช้สัญญาณลดลงชี้แจงกับวงจรตัวอย่างของคุณสัญญาณเอาท์พุทจะไปไม่สิ้นสุด (อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสัญญาณที่ลดลงอย่างต่อเนื่องแทนเพราะสัญญาณดังกล่าวมีขนาดใหญ่มากในบางครั้งในอดีต) เมื่อคุณพูดถึงความถี่เช่น 2 เรเดียน / วินาทีคุณกำลังพูดถึงเสาที่ j * 2 ไม่ใช่ 2 ดังนั้นสัญญาณเหล่านั้นจึงเป็นไซน์ เป็นไปได้ที่จะสร้างสัญญาณที่เป็นคลื่นไซน์ (อย่างน้อยก็เป็นเวลานานพอสมควร)