การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าแรงดัน RMS คูณด้วยกระแส RMS ให้กำลังเฉลี่ย

10

ฉันรู้ว่านี่เป็นเรื่องจริงเพราะฉันอ่านในแหล่งที่เชื่อถือได้ ฉันยังเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่าพลังงานเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้าสำหรับโหลดตัวต้านทานและ "S" ใน RMS สำหรับ "กำลังสอง" ฉันกำลังหาข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างหนัก

ให้แทนกระแสที่ทันใจและแทนแรงดันในทันทีนั้น หากเราสามารถวัดแรงดันและกระแสได้ที่ instants ทั้งหมดและมี instants นั่นหมายถึงพลังงานที่ชัดเจนคือ: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

หลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่สง่างามคืออะไร

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

ได้ผลเหมือนกันสำหรับโหลดตัวต้านทานหรือไม่

power math rms

— Phil Frost
แหล่งที่มา

หากฉันจำได้อย่างถูกต้องควรมีหลักฐานที่ระบุว่า RMS นั้นใกล้เคียงที่สุดกับมูลค่าที่แท้จริงของสัญญาณในช่วงเวลาที่น่าสนใจอย่างไร ใช้นั้นเราอาจจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า\ โชคไม่ดีที่ดูเหมือนว่าฉันทำหนังสือหายซึ่งมีข้อพิสูจน์ :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

กระแส RMS คูณแรงดัน RMS ไม่เท่ากับพลังงาน มันเท่ากับพลังเฉลี่ยที่ชัดเจน หากคุณมีโหลดที่ไม่ต้านทานสามารถสร้างความแตกต่างได้

— ใครบางคนที่ใดที่หนึ่งสนับสนุน Monica

16

กฎของโอห์ม

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

การกระจายพลังงานทันทีเป็นผลคูณของแรงดันและกระแส

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

แทน 1 เป็น 2 เพื่อให้ได้พลังงานทันทีผ่านตัวต้านทานในรูปของแรงดันหรือกระแส:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

พลังงานเฉลี่ยหมายถึงส่วนประกอบสำคัญของพลังงานชั่วขณะในช่วงเวลาหนึ่งหารด้วยช่วงเวลานั้น ใช้ 3 แทนเพื่อให้ได้พลังงานเฉลี่ยในแง่ของแรงดันและกระแส

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

คำจำกัดความของ RMS ปัจจุบัน

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$ กำลังสองทั้งสองข้าง

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$ คูณด้วย R เพื่อหาสมการ 4 สำหรับกำลังเฉลี่ย

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$ คำจำกัดความของแรงดัน RMS

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$ สี่เหลี่ยมทั้งสองข้าง

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$ หารด้วย R เพื่อหาสมการ 4 สำหรับกำลังเฉลี่ย

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (เสื้อ) d เสื้อ}{R T} = P_{a โวลต์ ก.}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$ คูณ 7 และ 10 เพื่อกำลังเฉลี่ย

11 : P_{a โวลต์ ก.}^{2} = V_{R M S}^{2} {ผม}_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$ รากที่สองของทั้งสองข้าง

12 : P_{a โวลต์ ก.} = V_{R M S} {ผม}_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— สตีเฟ่น Collings
แหล่งที่มา

6

การพิสูจน์ที่ง่ายมาก (ในกรณีการสุ่มตัวอย่างโดยสิ้นเชิงในคำถาม) คือการแทนที่ E / R สำหรับ I ในสมการ RMS

x_{R ม. s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

และพีชคณิตที่ง่ายมาก

และใช่นี่เป็นความจริงเพราะมีการระบุว่าเรามีโหลดตัวต้านทานอย่างหมดจดดังนั้นจึงไม่มีปัญหาเฟสมุมและไม่มีฮาร์มอนิกใน I ที่ไม่ปรากฏในอี

แก้ไข

x_{R ม. s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

{ผม}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ({ผม}_{1}^{2} + {ผม}_{2}^{2} + \dots + {ผม}_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

{ผม}_{ผม} = V_{ผม} / R

$I_i = V_i/R$

{ผม}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

แล้ว:

{ผม}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

ดึง 1 / R ^ 2 ออกมา

{ผม}_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

ดังนั้น:

V_{R M S} * * * * {ผม}_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

กระจาย 1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

การใช้การแทนที่กฎของโอห์มอีกครั้ง:

(\frac{1}{n} (V_{1} {ผม}_{1} + V_{2} {ผม}_{2} + \dots + V_{n} {ผม}_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

ซึ่งเป็น:

\frac{1}{n} Σ_{ผม = ผม}^{n} {ผม}_{ผม} V_{ผม}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— จอร์จไวท์
แหล่งที่มา

ถ้าพีชคณิตเรียบง่ายคุณสามารถแสดงให้เราดูได้ไหม? คุณสามารถใช้มาร์กอัป LaTeX เพื่อเรียงคณิตศาสตร์

— Phil

4

ขอบคุณสำหรับกำลังใจ ฉันไม่ได้ใช้ลาเท็กซ์ตั้งแต่ปี 1983

— จอร์จไวท์

0

กุญแจสำคัญคือสำหรับโหลดตัวต้านทานแรงดันและกระแสจะอยู่ในเฟส

$\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามแรงดัน RMS และกระแสจะถูกกำหนดตามค่าเฉลี่ยพลังงาน: แต่ละอันได้มาจากสแควร์รูทของกำลังเฉลี่ย การคูณค่าสองค่าเข้าด้วยกันที่ได้รับจากสแควร์รูทของพลังงานเฉลี่ย, ฟื้นพลังงานเฉลี่ย

— Kaz
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคำตอบของ Stephen Colling นั้นดีที่สุด มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของรูปคลื่นและครอบคลุมกรณีต่อเนื่อง นอกจากนี้ "รากค่าเฉลี่ยแรงดันไฟฟ้าสแควร์หรือกระแสไฟฟ้าเป็นแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงและกระแสตรงที่จะสร้างการกระจายพลังงานแบบเดียวกันตลอดเวลา" ดูเหมือนว่าจะตอบคำถามโดยสมมติว่าคำตอบนั้นจะเป็นวงกลมเพื่อให้ได้คำตอบ

— George White

-2

ช่วยให้ปัญหานี้ง่ายขึ้นโดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ ใช้วงจรง่ายๆนี้ที่สร้างรูปคลื่นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้วยระยะเวลา 10 วินาที

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

แรงดันไฟฟ้าเป็นแบบนี้

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และปัจจุบันคือ

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

จากนั้นรูปคลื่นจะเป็น

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เมื่อสวิตช์เปิดอยู่ไม่มีการส่งกำลังไปยังตัวต้านทานดังนั้นพลังงานทั้งหมดคือ 10 วัตต์ X 5 วินาที = 50 Joules และเป็นเช่นเดียวกับที่เราใช้5 วัตต์ใน 10 วินาที ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และนี่คือพลังงานเฉลี่ย แรงดันไฟฟ้าเฉลี่ยคือ 5 โวลต์และกระแสเฉลี่ยคือ 0.5 แอมแปร์ ทำการคำนวณอย่างง่ายกำลังเฉลี่ยผล 2.5 วัตต์หรือ 25 จูลซึ่งไม่เป็นความจริง

ดังนั้นให้ทำเคล็ดลับนี้กับคำสั่งนี้:

สแควร์แรกแรงดันไฟฟ้า (และปัจจุบัน)
ประการที่สองใช้ค่าเฉลี่ยของตาราง
จากนั้นนำสแควร์รูทของค่าเฉลี่ย

กำลังสองของรูปคลื่นของแรงดันไฟฟ้าจะเป็น

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และค่าเฉลี่ยคือ 50V ^ 2 (ไม่ใช่ 50 ^ 2 โวลต์) จากจุดนี้ลืมเกี่ยวกับรูปคลื่น ค่าเฉพาะ รากที่สองของค่าข้างต้นคือ 7,071 …โวลต์ RMS การทำเช่นเดียวกันกับปัจจุบันจะพบ 0,7071..A RMS และกำลังเฉลี่ยจะอยู่ที่ 7,071V x 0,7071A = 5 วัตต์

หากคุณพยายามทำเช่นเดียวกันกับกำลัง RMS ผลลัพธ์จะเป็นค่าเฉลี่ย 7,071 วัตต์

ดังนั้นพลังงานความร้อนที่เท่ากันเท่านั้นคือพลังงานเฉลี่ยและวิธีเดียวในการคำนวณคือใช้ค่า rms ของแรงดันและกระแส

— GR เทค
แหล่งที่มา

เราไม่สามารถคำนวณกำลังเฉลี่ยที่กระจายไปในตัวต้านทานเป็นค่าเฉลี่ยของกำลังงานได้ทันทีหรือไม่? หลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่ OP ขออยู่ที่ไหน

— Joe Hass

สำหรับรูปคลื่นที่ซับซ้อนบางอย่างนอกหลักสูตรเราต้องรวมเข้าด้วยกันโดยใช้ช่วงเวลาใกล้กับศูนย์สำหรับค่าเฉลี่ยที่แน่นอน ฉัน avoide เพื่อใช้คณิตศาสตร์ใด ๆ เลยนั่นเป็นเหตุผลที่ฉันใช้คลื่นสี่เหลี่ยมซึ่งเป็นเรื่องง่ายมากที่จะเห็นความหมายของค่าเฉลี่ย RMS ยังเป็นค่าเฉลี่ย

— GR Tech

ดูเหมือนว่าคุณจะแสดงให้เห็นว่ากำลังเฉลี่ยที่แท้จริงคือ 5 วัตต์และ RMS V * RMS I = 5 วัตต์ที่สาธิตสำหรับกรณีนี้ว่า OP ถูกต้อง คุณแสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้ค่าเฉลี่ย V * เฉลี่ย I = 2.5 วัตต์

— George White

โอเคฉันเข้าใจแล้ว. ปัญหาภาษาอีกครั้ง สิ่งที่ฉันพยายามจะพูดคือการคำนวณ Vavg x Iavg ไม่ถูกต้อง ขอบคุณที่กีดกันฉัน!

— GR Tech

หาก "RMS เป็นค่าเฉลี่ยด้วย" เหตุใดค่า RMS ของแรงดันไฟฟ้าของสายไฟไม่เท่ากับ 0.0V เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ย

— Joe Hass