ได้รับสมการการเคลื่อนที่ของระบบที่ไม่มีการประทับ $ \ mathbf {M} \ mathbf {\ ddot {q}} + \ mathbf {K} \ mathbf {q} = \ mathbf {f} $, $ \ mathbf {M} $ บ่งบอกถึงมวล - เมทริกซ์ $ \ mathbf {K} $ ความมั่นคงเมทริกซ์ $ \ mathbf {q} $ เวลาขึ้นอยู่กับการกระจัดและ $ \ mathbf {f} $ บังคับใช้ ราก, $ \ omega ^ 2 $, ของสมการ $ det (\ mathbf {K} - \ omega ^ 2 \ mathbf {M}) = 0 $ บ่งชี้ความถี่การสั่นสะเทือน
คำถามของฉันคืออะไรการตีความทางกายภาพของ ค่าลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ์ความแข็ง $ \ mathbf {K} $?
คำตอบ:
สมมติสมการรุ่น 1d จากนั้นเมทริกซ์ K จะกลายเป็น k สปริงคงที่
ใน 1-D สมการจะลดลงเป็น: $ m \ ddot {q} + kq = f $
q matrix กลายเป็น x vector ในหนึ่งมิติ นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับระบบสปริงบังคับ (@Jmac เพิ่มสมการ 1-d)
ความหมายทางกายภาพของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์คือความแข็งของระบบในทิศทางเวกเตอร์ไอเกน และด้วยเหตุนี้สิ่งนี้จึงกำหนดตำแหน่ง / การเคลื่อนไหวที่ยืดหยุ่นของแรงที่เกิดขึ้นในระบบ
ค่าลักษณะเฉพาะ / เวกเตอร์ที่น่าสนใจที่สุดของ K คือค่าศูนย์ค่าเฉพาะ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวของร่างกายอย่างเข้มงวดของโครงสร้าง eigenvectors เหล่านี้สามารถตรวจสอบโครงสร้างที่มีข้อต่อเคลื่อนที่ได้อย่างมีประโยชน์และไม่คาดว่าจะมีจำนวนการเคลื่อนไหวของร่างกายที่เข้มงวดเป็น 6 พวกเขายังสามารถแสดงปัญหากับตัวแบบ FE เช่นโหมด "นาฬิกาทราย" ที่เกิดจากการเลือกที่ไม่เหมาะสม ขององค์ประกอบ (ขอบคุณ @alephzero สำหรับย่อหน้านี้)
เมทริกซ์ $ \ mathbf {K} $ เป็นตัวแทนของแรงตอบสนองต่อการกระจัดของหน่วยบนแต่ละองศาอิสระของระบบ
พิจารณาคานคานสองมิติที่มีความยาว $ \ ell $ พร้อมอิสระสององศา จุดสิ้นสุดการกระจัด $ \ delta $ และความชันท้าย $ \ theta $ คุณสามารถรวบรวมเมทริกซ์ความแข็งของแบบฟอร์ม $ \ mathbf {f} = \ mathbf {K} \ mathbf {x} $
$$ \ start {vmatrix} F \\ M \ end {vmatrix} = \ start {bmatrix} \ frac {48 E I} {\ ell ^ 3} & amp; - \ frac {18 E I} {\ ell ^ 2} \\ - \ frac {12 E I} {\ ell ^ 2} & amp; \ frac {6 E I} {\ ell} \ end {bmatrix} \ start {vmatrix} \ delta \\ \ theta \ end {vmatrix} $$
การตีความคือแรง / โมเมนต์ที่จำเป็นเพื่อให้ได้หน่วยเบี่ยงเบน $ [1 \; 0] $ หรือ $ [0 \; 1] $ ระหว่างคอลัมน์ทั้งสองของเมทริกซ์