การพิสูจน์ทฤษฎีบทการไหลเวียนของเคลวิน

ฉันกำลังติดตามความรู้พื้นฐานของแอโรเดอร์สันของ Anderson อย่างไรก็ตามไม่ได้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้น ทุกครั้งที่ฉันลองสิ่งที่ยาวและยุ่งยากจริงๆ มีวิธีที่ดีและสั้นในการเดินทางเพื่อพิสูจน์อัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของการไหลเวียนในวงปิดที่เลือก 0 ในการไหลที่ไม่ย่อท้อ

การไหลเวียนจะได้รับจาก

$$ \ Gamma = \ oint_ {C (t)} \ boldsymbol {u} d \ boldsymbol {r}. $$

ตอนนี้หาอนุพันธ์ของวัสดุของนิพจน์นี้ (อย่าลืมใช้กฎผลิตภัณฑ์เพราะรูปร่างของเราขึ้นกับเวลา

$$ \ dfrac {D \ Gamma} {Dt} = \ oint_ {C (t)} \ dfrac {D \ boldsymbol {u}} {Dt} d \ boldsymbol {r} + \ oint_ {C (t)} \ boldsymbol {u} d \ ซ้าย [\ dfrac {D \ boldsymbol {r}} {Dt} \ ขวา]. $$

ตอนนี้เราสมมติว่าการไหลใน inviscid และแรงเสียงทั้งหมดนั้นเป็นแบบอนุรักษ์นิยม เช่นนี้เราสามารถใช้สมการของออยเลอร์สำหรับอินทิกรัลแรก

$$ \ dfrac {D \ Gamma} {Dt} = \ oint_ {C (t)} \ left [- \ dfrac {\ nabla p} {\ rho} - \ nabla \ Psi \ right] d \ boldsymbol {r} + \ oint_ {C (t)} \ boldsymbol {u} d \ boldsymbol {u}. $$

คำที่อยู่ทางด้านขวามือสามารถบูรณาการได้และมีการต่อต้านอนุพันธ์ของ $ \ boldsymbol {u} ^ 2 $ ในขณะที่เรากำลังรวมกันเป็นวงกลม (จุดเริ่มต้น = จุดสิ้นสุด) มันจะต้องเป็นศูนย์ หากเราสมมติว่า $ \ rho (p) $ ซึ่งเรียกว่า barotropic เราสามารถสรุปได้ว่าอินทิกรัลส่วนปลายปิดทางด้านซ้ายเป็นศูนย์ โปรดทราบว่าเส้นเค้าโครงปิดที่สำคัญสำหรับเขตข้อมูลอนุรักษ์นิยม $ - \ nabla \ Psi $ เป็นศูนย์หรือที่เรียกว่าความเป็นอิสระของเส้นทาง ดังนั้นเราจึงสรุป

$$ \ dfrac {D \ Gamma} {Dt} = 0. $$

ซึ่งหมายความว่าสำหรับปริมาตรที่ไหลเวียนไม่ได้ barotropic และแรงอนุรักษ์จะบังคับให้การไหลเวียน $ \ Gamma $ ถูกอนุรักษ์