การตีความทางกายภาพของเทอมที่สองในเทนเซอร์ความเครียดความหนืดในสมการเนเวียร์สโตกส์คืออะไร?

ฉันค้นหาคำตอบนี้มานานแล้ว ฉันได้อ่านข้อความจำนวนมากและดูการบรรยายออนไลน์ แต่บ่อยครั้งที่สิ่งนี้ไม่เคยอธิบายและเพิ่งได้รับ คำว่าความเครียดความหนืดในสมการเนเวียร์ - สโตกส์ดูเหมือนว่า

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

ตอนนี้คำว่านั้นง่ายพอที่จะเข้าใจเพราะมันเป็นเพียงการกระจายความเร็ว แต่ฉันมีเวลายากที่จะเกิดขึ้นกับการตีความทางกายภาพของคำว่า T หลังจากที่ฉันขยายเทอมนี้ฉันก็จบลงด้วย $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

ซึ่งดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าเอฟเฟกต์นี้ไม่ได้อยู่ในเขตความเร็วที่ปราศจากความแตกต่าง แต่ฉันก็ยังไม่สามารถหาหรือปรีชาทางกายภาพใด ๆ เกี่ยวกับความหมายของคำนี้ ไม่มีใครเข้าใจสิ่งที่คำนี้หมายถึงร่างกาย?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— อดัมโอไบรอัน
แหล่งที่มา

นอกจากนี้: คุณถูกต้องว่าคำศัพท์นั้นไม่ได้อยู่ในกระแสที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ดูเหมือนว่าจะคำนึงถึงการแพร่ของโมเมนตัมเนื่องจากการไล่ระดับสีในความหนาแน่น ของเหลวที่อยู่ติดกันสองชิ้นสามารถมีความเร็วเท่ากัน แต่มีโมเมนตัมต่างกันไม่มีแรงเฉือนระหว่างมัน แต่โมเมนตัมจะกระจาย

— ด่าน

คำถามนี้อยู่ในหัวข้อสำหรับวิศวกรรม ฉันได้ลบความคิดเห็นหลายข้อที่แนะนำไซต์อื่น ๆ สำหรับคำถามนี้ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะการขอความเข้าใจประยุกต์ของสมการ แต่ยังเป็นเพราะนี่เป็นส่วนหนึ่งของกลศาสตร์ต่อเนื่อง โปรดจำไว้ว่ามันโอเคที่จะอิจฉาไซต์ของคุณ

การสนทนาเมตาที่เกี่ยวข้อง: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

จุดเกี่ยวกับการไล่ระดับสีของโมเมนตัมที่มีอยู่เนื่องจากการไล่ระดับสีแบบไม่มีความหนาแน่นเป็นจุดที่ดี ขอบคุณทุกคนสำหรับคำตอบของคุณ!

— Adam O'Brien

คำตอบ:

คุณไม่ควรแยกคำสองคำนี้ออกเพื่อค้นหาการตีความทางกายภาพ คำว่าเป็นอัตราความเครียดเมตริกซ์แกมมา} โมเมนตัมฟลักซ์ (หรือความเครียด) เนื่องจากความจริงที่ว่าเรามีของเหลวไหลเป็นสาเหตุของคำทั้งหมดขวา) ในสมการ NS ทั้งสองคำสามารถถูกมองว่าเป็นความหนาแน่นของกำลัง (แรงต่อปริมาตรต่อหน่วย) คุณพูดถูกว่าคำศัพท์ที่สองนั้นเป็นศูนย์สำหรับกระแสที่อัดไม่ได้ (ดูที่นี่ ) $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

UPDATE: ความสมบูรณ์ของตัวนับอัตราความเครียดนั้นซับซ้อนและอาจไม่อยู่ในขอบเขตที่นี่ หากคุณสนใจฉันได้พบว่าทรัพยากรที่ดีคือ Introduction to Fluid Mechanics ของ Whitaker โดยย่อให้ยอมรับว่าเมตริกซ์แสดงถึงอัตราความเครียดและความแข็งเช่นการเคลื่อนที่แบบหมุน เมตริกซ์ใด ๆ ที่สามารถจำแนกได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: $\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{ยู} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{ยู} + {(\nabla \vec{ยู})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{ยู} - {(\nabla \vec{ยู})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ เทอมแรกมักเรียกว่าเทนเซอร์อัตราความเครียดคือสมมาตรและสามารถแสดงให้เห็นได้ว่ามันไม่มีการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างเข้มงวด โดยทั่วไปแล้วเทอมที่สองเรียกว่า vorticity tensor มันเป็นความสมมาตรเบ้และมันสามารถแสดงให้เห็นว่ามันไม่ได้มีส่วนทำให้อัตราการเกิดความเครียด

— ซาโลมอนทูร์แมน
แหล่งที่มา

นี่คือสิ่งที่ฉันได้พบมัน แต่ฉันพยายามหาสิ่งที่มาจากเมตริกซ์อัตราความเครียดก่อนที่จะตอบคำถามเพื่อทำความเข้าใจว่าทำไมมันถึงรวมเมทริกซ์ปกติและเมทริกซ์

— เทรเวอร์อาร์ชิบัลด์

ขอบคุณฉันผ่านเมตริกซ์เทนเซอร์มาจากเรขาคณิตตามที่คุณแนะนำและนั่นช่วยฉันได้มาก

— Adam O'Brien

ฉันเห็นด้วยกับ @sturgman อย่างใดอย่างหนึ่งไม่ควรดูแต่ละส่วน แต่พยายามที่จะเข้าใจในบริบท ints

ดูรุ่นพื้นฐานของ Navier-Stokes-Equation (โดยใช้Einstein-Notation ):

ρ \frac{D {ยู}_{ผม}}{D เสื้อ} = ρ k_{ผม} + \frac{\partial}{\partial x_{ผม}} (- พี + λ^{* * * *} \frac{\partial {ยู}_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{ยู}) + (\nabla \vec{ยู})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{J}} (η [\frac{\partial {ยู}_{ผม}}{\partial x_{J}} + \frac{\partial {ยู}_{J}}{\partial x_{ผม}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

ชิ้นส่วนด้านล่างในต้นฉบับสามารถเขียนใหม่ได้

\frac{\partial}{\partial x_{J}} (η [\frac{\partial {ยู}_{ผม}}{\partial x_{J}} + \frac{\partial {ยู}_{J}}{\partial x_{ผม}}]) = η (\frac{\partial^{2} {ยู}_{ผม}}{\partial x_{J} \partial x_{J}} + \frac{\partial}{\partial x_{ผม}} [\frac{\partial {ยู}_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

ซึ่งนำไปสู่:

ρ \frac{D {ยู}_{ผม}}{D เสื้อ} = \underset{ผม}{\underset{⏟}{ρ k_{ผม}}} - \underset{ครั้งที่สอง}{\underset{⏟}{\frac{\partial พี}{\partial x_{ผม}}}} + \underset{สาม}{\underset{⏟}{(λ^{* * * *} + η) \frac{\partial}{\partial x_{ผม}} [\frac{\partial {ยู}_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} {ยู}_{ผม}}{\partial x_{J} \partial x_{J}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

ในสัญลักษณ์สัญลักษณ์นี้ควรมีลักษณะดังนี้:

ρ \frac{D \vec{ยู}}{D เสื้อ} = ρ \vec{k} - \nabla พี + (λ^{* * * *} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{ยู}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{ยู}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

ส่วนจะไม่แสดงเช่นนี้เสมอไปขึ้นอยู่กับวิธีที่ใช้กับเมตริกซ์ความเครียดของนิวตัน เนื่องจากเป็นสมบัติของเหลวซึ่งยากต่อการวัด แต่มีความแตกต่างกันเพียงเล็กน้อยStokes Hypothesisตั้งค่าเป็น (ซึ่งเป็นเทคนิคเฉพาะสำหรับก๊าซ monoatomic เท่านั้น) $\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

ส่วนอธิบายถึงคุณสมบัติของของเหลวที่โครงสร้างอะตอมของโมเลกุลของเหลวสามารถดูดซับพลังงานได้บางครั้งเรียกว่าความดัน - ความหนืด ในขณะที่ Partอธิบายความต้านทานของกระแสเมื่อตัดส่วนอธิบายความต้านทานของปริมาตรของเหลวเมื่อมันขยายหรือบีบอัด "isobarically" $\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
แหล่งที่มา

ฉันขอโทษ :-( มันไม่ได้เป็นความตั้งใจของฉันเลย

— peterh - Reinstate Monica