ฉันจะแก้ปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุดได้อย่างไรที่กฎการเคลื่อนที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันของเวกเตอร์สถานะบางอย่าง?

ปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุดโดยทั่วไปกับสถานะเวกเตอร์ x (t) และเวกเตอร์ควบคุม y (t) สามารถแสดงเป็น:

max_{x (t), y (t)} \int_{0}^{t_{1}} f (t, x (t), y (t)) d t

$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$

อาจมีการ $x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ และเงื่อนไขขอบเขตสำหรับx $x$

ฉันต้องการแก้ปัญหาที่มีลักษณะคล้ายกันมาก แต่กฎการเคลื่อนที่ของตัวควบคุมคือ:

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$

ที่นี่ต้องเลือก $z(.)$ แต่ข้อโต้แย้งของมันคือรัฐ

ฉันไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร ฉันจะแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างไร

control-engineering control-theory optimal-control

— แดเนียลพินัยกรรม
แหล่งที่มา

ฉันเดาวิธีที่ถูกต้องในการเขียนมันคือ

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t))

$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$ ฉันจะแก้ไขคำถามเดิม

— Daniel Wills

ยินดีต้อนรับสู่วิศวกรรม. +1 สำหรับคำถามแรกที่ยอดเยี่ยม

— Chris Mueller

คุณกำลังมองหาโซลูชันแบบปิดหรือเป็นทางการหรือคุณกำลังถามเกี่ยวกับการปรับให้เหมาะสมที่สุด ในกรณีที่อดีตที่คุณควรถามนี้ในเว็บไซต์เช่นmath.stackexchange.com ในกรณีหลังมีช่วงของสาขาวิชาที่อุทิศให้กับการเพิ่มประสิทธิภาพการปฏิบัติ ไม่ว่าในกรณีใดคุณจะต้องให้รายละเอียดเพิ่มเติมเพื่อรับคำตอบจริง

— feetwet

ฉันกำลังมองหาการเพิ่มประสิทธิภาพในทางปฏิบัติ รายละเอียดเพิ่มเติม: ชุดย่อยของตัวแปรควบคุมขึ้นอยู่กับ (ซึ่งฉันโทรหา ) และชุดย่อยของตัวแปรควบคุมขึ้นอยู่กับ (ซึ่งฉันเรียก ) นอกจากนี้ผมต้องเลือกฟังก์ชั่น(t) การขยายให้ใหญ่สุดอยู่ภายใต้ข้อ จำกัด ดังนั้นวิธีที่ใช้งานง่ายในการแก้ปัญหาคือ: - เดา - แก้ปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุด (มาตรฐานตอนนี้) ( ได้รับ - ตรวจสอบว่าถ้าไม่ให้เดาอีก แต่คุณเห็นว่าไม่มีเหตุผลสำหรับอัลกอริธึมที่จะมาบรรจบกัน ผู้คนแก้ปัญหานี้อย่างไร

t

$t$

y

$y$

x

$x$

z

$z$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

— Daniel Wills

คำตอบ:

ทำไมจะจำเป็นต้องภายนอก ? $z$ $g$

g^{'} (t, x (t), y (t)) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$

ตอนนี้ใช้เป็น $g'$ $g$

$g$ สามารถเป็นฟังก์ชันใด ๆ ก็ได้ดังนั้นฟังก์ชันใด ๆจึงสามารถรวมเข้ากับได้ $z$ $g$

เกี่ยวกับข้อ จำกัด ของกล่าวถึงในส่วนความคิดเห็น ข้อ จำกัด ใด ๆ ในอินพุตควบคุมสามารถบังคับใช้ผ่านฟังก์ชันต้นทุน: $h$

f_{n e w} (t, x (t), y (t)) = f_{o l d} (t, x (t), y (t)) - C h (x (t), y (t))^{2}

$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$

ที่ไหนมีขนาดใหญ่พอที่จะรับประกันค่าของพอใกล้กับศูนย์ แต่ไม่ขนาดใหญ่เพื่อที่คำนวณผิดพลาดในจะมีอิทธิพลเดิมฉ $C$ $h$ $h$ $f$

— กองหญ้าแห้ง
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้การแยกส่วนของปัญหาออกเป็นจุดเช่นคุณจะต้องกำหนดจำนวนพารามิเตอร์ที่แน่นอน (สมมติว่าและเป็นฟังก์ชันที่ค่อนข้างต่อเนื่อง) สำหรับอนุพันธ์และการรวมคุณสามารถใช้วิธีการออยเลอร์สามารถใช้วิธีการสั่งซื้อที่สูงขึ้น แต่ทำให้แก้ปัญหาได้ยากขึ้น $N$ $f$ $g$

การปฏิรูปให้:

h = \frac{t_{1}}{N - 1}, \vec{x} = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}], \vec{y} = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}],

$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$

\begin{aligned} max_{\vec{x}, \vec{y}} & \sum_{n = 1}^{N - 1} f (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h \\ s . t . & x_{n + 1} = x_{n} + g (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h, & n = 1, 2, \dots, N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$

คุณต้องเพิ่มข้อ จำกัด ขอบเขตเข้ากับข้อ จำกัด ด้านความเท่าเทียมกันของปัญหาการปรับให้เหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีการที่แตกต่างกันหลายวิธีเพื่อแก้ปัญหานี้ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีการเข้าถึง Matlab คุณสามารถใช้fminconซึ่งจะลดฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มเครื่องหมายลบหน้าผลรวม บ่อยครั้งที่คุณต้องระบุการคาดเดาเริ่มต้นซึ่งอาจส่งผลต่อการแก้ปัญหาด้วยเนื่องจากการคาดเดาที่แตกต่างกันอาจรวมเข้ากับ Maxima ท้องถิ่นที่แตกต่างกัน ด้วยการเพิ่มคุณควรได้คำตอบที่แม่นยำมากขึ้น แต่อาจต้องใช้เวลานานกว่าในการแก้ปัญหา มันอาจจะมาบรรจบกันได้เร็วขึ้นถ้าคุณใช้วิธีแก้ปัญหาที่มีคะแนนน้อยลงและสอดแทรกปัญหาเหล่านั้นแล้วใช้มันเป็นการเดาเริ่มต้นสำหรับปัญหาของจำนวนคะแนนที่มากขึ้น $N$

— fibonatic
แหล่งที่มา