ความเป็นมาของความเครียดแบบแถบ Bimetallic ในสูตรของ Roark

ฉันกำลังพยายามที่จะเข้าใจการวิเคราะห์บางอย่างที่ได้รับในคู่มือสูตร Roark ของความเครียดและความเครียดสำหรับความเครียดแถบ bimetallic กล่าวคือสูตรของ Roark ให้สูตร

Equivalent E I = \frac{w t_{b}^{3} t_{a} E_{b} E_{a}}{12 (t_{a} E_{a} + t_{b} E_{b})} K_{1}

$\text{Equivalent } EI = {w t_b^3 t_a E_b E_a \over 12(t_a E_a + t_b E_b)}K_1$

ที่ไหน

K_{1} = 4 + 6 \frac{t_{a}}{t_{b}} + 4 {(\frac{t_{a}}{t_{b}})}^{2} + \frac{E_{a}}{E_{b}} {(\frac{t_{a}}{t_{b}})}^{3} + \frac{E_{b}}{E_{a}} \frac{t_{b}}{t_{a}}

$K_1 = 4 + 6{t_a \over t_b} + 4\left({t_a \over t_b}\right)^2 + {E_a \over E_b}\left({t_a \over t_b}\right)^3 + {E_b \over E_a}{t_b \over t_a}$

และความเค้นของชั้นบนและล่างของแถบโลหะสองทางคือ:

\begin{aligned} σ & = - & \frac{(γ_{b} - γ_{a}) Δ T E_{a}}{K_{1}} [3 \frac{t_{a}}{t_{b}} + 2 {(\frac{t_{a}}{t_{b}})}^{2} - \frac{E_{b} t_{b}}{E_{a} t_{a}}] \\ σ & = & \frac{(γ_{b} - γ_{a}) Δ T E_{b}}{K_{1}} [3 \frac{t_{a}}{t_{b}} + 2 - \frac{E_{a}}{E_{b}} {(\frac{t_{a}}{t_{b}})}^{3}] \end{aligned}

$\begin{alignat}{4} \sigma &= -&&{(\gamma_b - \gamma_a)\Delta T E_a \over K_1}\left[{3{t_a \over t_b} + 2\left({t_a \over t_b}\right)^2 - {E_b t_b \over E_a t_a}}\right] \\ \sigma &= &&{(\gamma_b - \gamma_a)\Delta T E_b \over K_1}\left[{3{t_a \over t_b} + 2 -{E_a \over E_b}\left({t_a \over t_b}\right)^3}\right] \end{alignat}$

$a$ $b$ $E$ $t$ $w$ $\gamma$ $\Delta T$

ในขณะที่ฉันเข้าใจความโค้งของแถบโลหะสองเส้นของ Timoshenko (S. Timoshenko, "การวิเคราะห์ของอุณหภูมิโลหะ Bi," J. Opt. Soc. Am. 11, 233-255 (1925)) ซึ่งปรากฏบน Wikipedia ( https : //en.wikipedia.org/wiki/Bimetallic_strip ) ฉันไม่สามารถเข้าใจว่าสูตรข้างต้นสามารถได้มาจาก Timoshenko ที่มาหรือว่ามีการตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมอะไร

สูตรของ Roark ไม่มีความช่วยเหลืออย่างสมบูรณ์ในการไม่ให้การอ้างอิงที่ชัดเจนซึ่งการสืบทอดนี้กระทำ หากใครบางคนสามารถชี้ให้เห็นถึงการอ้างอิงที่ฉันสามารถใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แสดงหรือสามารถแสดงวิธีการที่มาได้ฉันจะขอบคุณอย่างมาก

mechanical-engineering stresses beam

— user19001
แหล่งที่มา

K_{1}

$K_1$

t_{a} = t_{b}

$t_a = t_b$

E_{a} = E_{b}

$E_a = E_b$

K_{1} = 21

$K_1 = 21$

8

$8$

2 t_{a}

$2t_a$

t E + t E

$tE + tE$