สมการเชิงอนุพันธ์ของสะพานโหลด (ประยุกต์)

10

ฉันมีปัญหาในการคำนวณสมการเชิงอนุพันธ์ของโหลดบริดจ์แบบง่าย

ระบบจะสร้างตามที่แสดงในภาพด้านล่าง (เพียงแค่ภาพร่าง):

ถ้าฉันใช้วิธีของนิวตันฉันจะได้สมการต่อไปนี้โดยการละเลยความเสียดทานความต้านทานอากาศและการเปลี่ยนแปลงความยาวของเชือก:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

เมื่อฉันดูความสัมพันธ์จลศาสตร์จากกริปเปอร์ (วงกลมที่มีน้ำหนัก ) ฉันจะได้สมการต่อไปนี้ $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

ฉันรู้น้ำหนักและและความยาวแต่ค่าไม่สำคัญในตอนนี้ $m_k$ $m_G$ $l$

เป้าหมายคือการมีสมการอนุพันธ์สองตอนท้าย สมการหนึ่งจะแสดงความสัมพันธ์ระหว่างแรงขับและเส้นทางของรถเข็น (กับ derivations) สมการอื่น ๆ ที่จะแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแรงขับและมุมของเชือก\ $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

หลังจากนั้นฉันต้องการให้ฟังก์ชั่นการถ่ายโอน (การแปลง Laplace ฯลฯ ) แต่นั่นไม่ใช่ปัญหา

ปัญหาคือฉันไม่สามารถหาสมการเหล่านั้นได้ แนวทางที่ดีที่สุดของฉันมีลักษณะเช่นนี้:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

ดังนั้นหมายความว่าถ้า

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

ฉันสามารถพูด:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

และถ้าฉันได้รับเช่นนี้: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

ที่จริงฉันติดอยู่ที่นี่เพราะฉันไม่สามารถหาวิธีกำจัดจากสมการได้ ทฤษฎีบทเพิ่มเติมนั้นไม่ได้ช่วยฉันเลย (หรือฉันใช้มันอย่างถูกต้อง) $\varphi$

ใครบ้างมีความคิดว่าฉันควรดำเนินการต่อที่จุดนี้ ฉันหวังว่าฉันไม่ต้องการโซลูชันที่สมบูรณ์ จริงๆแล้วฉันสนใจที่จะทำสิ่งนี้ด้วยตัวเองและหวังว่าจะได้รับการผลักดันไปในทิศทางที่ถูกต้อง

— tlp
แหล่งที่มา

5

ฉันเดาว่าคุณอาจต้องการสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการเคลื่อนที่เชิงมุมซึ่งจะเกี่ยวข้องกับความเฉื่อยเช่น:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

ซึ่งให้:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

จากนั้นคุณสามารถใช้การประมาณมุมเล็ก ๆ :

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

ลองดูตัวอย่างลูกตุ้มแบบกลับด้าน

— am304
แหล่งที่มา

โดยเฉพาะลูกตุ้มแบบกลับด้านมีประโยชน์มาก ... ขอบคุณสำหรับสิ่งนั้น - ฉันไม่ได้คิดถึงเรื่องนั้นเลย

— tlp

6

จลนศาสตร์และการเปลี่ยนแปลง

เหล่านี้เป็นขั้นตอนในการแก้ปัญหาในลักษณะนี้

วิเคราะห์จลศาสตร์ของระบบ

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

หมายเหตุ:เป็นเมทริกซ์หมุนและลิตร $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

รับเวลาอนุพันธ์:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

ใช้สมการของนิวตัน:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

แทน : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

สำหรับแกน z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันในการหมุน:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

ใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

ทำ! ตอนนี้คุณสามารถพักผ่อนได้ ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
แหล่งที่มา