ทำไมเราถึงมองข้ามคำเฉื่อย (แต่ไม่ใช่ความหนืด) ใน Navier-Stokes ที่การไหลต่ำและความหนืดสูง

ทำไมเราถึงมองข้ามคำเฉื่อย (แต่ไม่ใช่ความหนืด) ใน Navier-Stokes ที่การไหลต่ำและความหนืดสูง

กรอก Navier-Stokes:$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

คำเฉื่อย: Z}$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

และในขณะที่เราคิดว่าการไหลและอัตราคงที่:Z} และดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขเฉื่อยที่สามารถละเว้นได้$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

อย่างไรก็ตามในเนื้อหาของฉันมันก็ยังระบุว่าจะเป็นคำที่มีอำนาจเหนือในช่วงสถานการณ์เหล่านี้ ทำไมมันจะไม่เป็นเช่นนั้นเช่นกัน? ∇ 2 → วี → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

โดยทั่วไปสิ่งที่ส่อให้เห็นโดยอัตราการไหลต่ำและความหนืดสูงคือเรากำลังติดต่อกับการไหลของจำนวนเรย์โนลด์ต่ำที่เรียกว่า จำนวนเรย์โนลด์สคือจำนวนไร้มิติซึ่งเป็นอัตราส่วนของแรงเฉื่อย ( ) และแรงหนืด ( ): สำหรับกองกำลังความหนืด (ราบเรียบระบอบการปกครอง) และสูงแรงเฉื่อยกองกำลังครองอำนาจ (ระบอบปั่นป่วน) ตัวเลขที่ไม่มีเช่น$\rho U U$$\mu U/L$

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$$ $\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$แสดงอย่างเป็นธรรมชาติผ่านกระบวนการที่เรียกว่า 'การขยาย' ซึ่งทำให้สมการไม่เป็นมิติ จากขั้นตอนนี้จึงเป็นไปได้ที่จะบอกว่าคำศัพท์ใดที่ไม่สำคัญโดยพิจารณาจากค่าของตัวเลขไร้มิติที่เกี่ยวข้อง สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูคำตอบของฉันนี้คำถาม

ในทางเทคนิคการพูดว่า 'การไหลต่ำและความหนืดสูง' ไม่เพียงพอที่จะบอกว่าเรากำลังจัดการกับการไหลเพราะมันยังขึ้นอยู่กับสเกลความยาว (โดยปกติคือเส้นผ่านศูนย์กลางท่อ ฯลฯ ) และความหนาแน่น ( ของอากาศหรือน้ำ) แต่โดยทั่วไปมันก็ส่อให้เห็นว่าเป็นกรณี$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

ตอนนี้พูดว่าอัตราการไหลต่ำที่ไม่ถูกต้อง; สิ่งที่คุณอาจจะหมายความว่า\ สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความเรียบง่ายของสมการโดยบอกว่าซึ่งทางร่างกายหมายถึงข้อกำหนดเฉื่อยนั้นเล็กน้อยมากเมื่อเทียบกับคำศัพท์ที่มีความหนืด ไม่ได้หมายถึงค่อนข้างต่ำอัตราการไหลหมายถึงในขณะที่อาจมีนัยสำคัญ พิจารณาการประมาณลำดับความสำคัญของ$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$; สำหรับค่าเล็ก ๆ ของ (ก่อให้เกิด ) มันอาจใหญ่กว่าคำสั่งมาก การวิเคราะห์ลำดับความสำคัญของคำที่มีความหนืดคล้ายกันแสดงว่าสิ่งเหล่านี้จะมีความสำคัญยิ่งกว่า ดังนั้นเหตุผลที่ข้อกำหนดเฉื่อยไม่สำคัญ แต่มีความหนืดไม่$L$$\mathrm{Re}$∂ 2 β u α ∼ U / L $O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

เนื่องจากเทอมสุดท้ายเป็นสัดส่วนกับและไม่ใช่คำนั้นมีขนาดใหญ่แม้ว่าขนาดของความเร็วจะเล็ก พิจารณากรณีที่เรียบง่ายของการไหลราบเรียบไม่มีการลื่นไหลในท่อ x ที่มุ่งเน้น นี่คือการไหลทิศทางเดียวเพื่อให้เราสามารถทิ้งและและมุ่งเน้นยูเราจะพิจารณาตามความเร็วการไหลที่มีขนาดเล็ก | → v | V W $\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

เพียงเพราะเล็ก แต่ไม่ได้หมายความว่าเราสามารถสรุปได้ว่านั้นก็เล็กด้วยเช่นกัน ในความเป็นจริงยิ่งท่อแคบขนาดของยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น เมื่อมองไปที่สนามไล่ระดับสีของความเร็วแนวนอนเราจะเห็นว่ามันมีแนวโน้มที่จะชี้เข้าด้านในไปยังศูนย์กลางของท่อโดยที่ความเร็วสูงสุด นี่หมายความว่าเรามีความแตกต่างในเชิงลบซึ่งขนาดขึ้นอยู่กับความคมชัดของการเปลี่ยนแปลงในความเร็วและไม่ใช่ขนาดโดยรวม∇ ยู∇ $u$$\nabla u$$\nabla u$

ดังนั้นไม่มีนัยสำคัญซึ่งแน่นอนว่าเป็นเพียง Navier Stokes ทำนายแนวโน้มของแรงหนืดอย่างแม่นยำ ในสถานะคงที่การไหลของท่อในแนวนอน (หรือคุณอาจเรียกว่าความจำเป็นของการปล่อยแรงดันเพื่อบังคับให้ไหลกับแรงหนืดตามที่คุณต้องการ) ยกเลิกข้อตกลงแรงโน้มถ่วงและเวลาที่แตกต่างออกไปและดูด้วยตัวคุณเอง$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$