ลองพิจารณา torus ที่เป็นของแข็งซึ่งเป็นดิสก์ทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d โดยมีศูนย์กลางของดิสก์กวาดรอบวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d เช่นนั้นก็จะมีศูนย์กลางเปิดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d ด้วย พรูนี้ยืนอยู่ข้าง ๆ เพื่อให้บรรลุความสูงสูงสุด วิธีการรองรับเพื่อไม่ให้ตกทั้งสองข้างนั้นไม่ใช่ปัญหาสำหรับคำถามนี้
สำหรับวัสดุที่กำหนดโดยพลการฉันจะคำนวณขนาดสูงสุดที่ทอรัสแข็งนี้สามารถยุบลงภายใต้น้ำหนักของมันเป็น 1 กรัมได้อย่างไร
สำหรับจุดประสงค์ของคำถามนี้ให้พิจารณาพื้นดินว่ามีความแข็งแกร่งไม่ จำกัด
คำตอบ:
แรงโน้มถ่วงจะสร้างการกระจายความเครียดภายในร่างกายใด ๆ สำหรับวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปิกมีสองสถานที่ที่ต้องใส่ใจ: ความเครียดแรงดึงสูงสุดและความเครียดอัดสูงสุด นี่เป็นเพราะพฤติกรรมของวัสดุส่วนใหญ่แตกต่างกันเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงและแรงอัด (วัสดุที่มีความเหนียวสามารถฉีกออกเป็นชิ้น ๆ ภายใต้แรงดึง แต่ไม่ได้อยู่ภายใต้แรงอัดแบบปกติวัสดุที่เปราะมักจะมีกำลังรับแรงอัดสูงกว่าความต้านทานแรงดึง
ตามกลไกกลต่อเนื่องความเครียดจะขึ้นอยู่กับเรขาคณิตความหนาแน่นและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเท่านั้น สำหรับร่างกายที่พักผ่อนการอนุรักษ์โมเมนตัมจะประเมิน $$ \ rho f_i + \ frac {\ partial \ sigma_ {ij}} {\ partial x_j} = 0 $$ โดยที่ $ \ rho $ คือความหนาแน่นของวัสดุ $ f_i $ เป็นกองกำลังภายใน ($ f_i = -g \ delta_ {i3} $ เมื่อแรงโน้มถ่วงคือ $ g $ และทำหน้าที่ต่อต้านลบ 3 ทิศทาง) และ $ \ sigma_ {ij} $ เป็นความกดดัน (ฉันใช้รูปแบบการสรุปรวมของ Einstein ดังนั้นหาผลรวมมากกว่า $ j $ ใน $ \ sigma $ -term ในสมการข้างบน)
ฉันทำการคำนวณ FEM อย่างง่ายสำหรับปัญหาของคุณแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่านี่คือรูปทรงเรขาคณิตที่ฉันคำนวณ (ขนาดเป็น m):
ทราบว่าพรูไม่สมบูรณ์มีพื้นที่ราบขนาดเล็กที่ด้านล่างที่ฉันต้องแนะนำเพื่อรักษาพรูในการจำลอง (ผลิตโดยตัด 1 เมตรจากพรูที่สมบูรณ์แบบ) สิ่งนี้แนะนำการก่อกวนเล็ก ๆ ที่ด้านล่าง แต่คุณจำเป็นต้องมีพื้นที่ จำกัด เพื่อรองรับพรูมิฉะนั้นความเครียดจะไม่สิ้นสุดที่ด้านล่าง (ดูด้านล่าง)
แรงกดอัดสูงสุดอยู่ที่ด้านล่าง (ซึ่งพรูสัมผัสพื้น) ตามที่ระบุไว้โดยคำตอบอื่น สิ่งนี้ได้มาจากความเครียดของหลักการขั้นต่ำดังที่แสดงในภาพถัดไป:
ภาพแสดงการกระจายพื้นผิวของความเค้นต่ำสุดของหลักการ โปรดทราบว่าฉันได้ลดระดับที่ -50 MPa ความเครียดอัดสูงสุดอยู่ที่ด้านล่างและวิธีที่ดีที่สุดในการคำนวณคือ (ตามคำตอบของคำตอบอื่น ๆ ) เพื่อแบ่งมวลตามพื้นที่ (นี่คือเหตุผลที่คุณต้องการพื้นที่ จำกัด เพื่อรองรับพรู)
หากพื้นที่รองรับมีขนาดใหญ่อาจเกิดแรงกดอัดสูงสุดที่เส้นผ่านศูนย์กลางด้านใน แรงกดอัดสูงสุดสำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงอยู่ที่ 32 MPa
ความเค้นแรงดึงสูงสุดอยู่ที่จุดต่ำสุดของวงกลมด้านใน สิ่งนี้เกิดจากความเครียดสูงสุดตามที่แสดงในภาพต่อไปนี้:
สำหรับเรขาคณิตนี้ความเค้นแรงดึงสูงสุดจะคำนวณเป็นประมาณ 28 MPa ความหนาแน่นที่ฉันใช้สำหรับการคำนวณคือ 2.41 g / cm³ (คอนกรีต) ความเร่งโน้มถ่วงเป็น 9.81 m / s²ในการจำลอง มวลรวมของวัตถุคือ 11.9e + 9 กิโลกรัม (11.9 ล้านเมตริกตัน) ปริมาณ 4.93e + 6 m³
สำหรับวัสดุหลายชนิดแรงอัดที่ด้านล่างมักเป็นปัจจัย จำกัด การออกแบบ อย่างไรก็ตามสำหรับวัสดุที่เปราะบางมากความเค้นแรงดึงอาจเป็นขีด จำกัด เช่น. เมื่อใช้คอนกรีตคุณจะต้องเพิ่มเหล็กในพื้นที่ที่มีแรงดึง
ตอนนี้สิ่งนี้ยังไม่ตอบคำถามของคุณจริง ๆ เพราะคุณได้ขอเนื้อหาโดยพลการ ตามที่คนอื่น ๆ ได้ชี้ให้เห็นความเค้นที่มีรูปทรงเรขาคณิตและความหนาแน่นกล่าวคือเพิ่มขนาดเป็นสองเท่าหรือเพิ่มความหนาแน่นเป็นสองเท่าของความเค้นสูงสุด ตอนนี้คุณมีทุกสิ่งที่คุณต้องการในการคำนวณความเครียด เพื่อประเมินขนาดสูงสุดเปรียบเทียบความเครียดกับจุดแข็ง
PS: ก่อนที่จะสร้างจริงคิดเกี่ยวกับปัจจัยด้านความปลอดภัย
PPS: การกระจายความเครียดนี้ค่อนข้างใช้งานง่ายถ้าคุณคิดเพียงเล็กน้อย
แก้ไข: ฉันได้อัพเดทความหนาแน่นแล้ว - ฉันมีจำนวนผิดเล็กน้อย
นอกจากนี้สำหรับวัสดุที่มีความเหนียวนี่ยังไม่ใช่คำตอบทั้งหมดเนื่องจากคุณสามารถอนุญาตให้วัสดุให้ผลผลิตในบางพื้นที่ วัสดุจะเปลี่ยนรูปแบบพลาสติกในพื้นที่เหล่านั้น นี่เป็นสิ่งที่ดีตราบใดที่โครงสร้างที่ไม่ให้ผลผลิตยังสามารถรับน้ำหนักได้ทั้งหมด วิธีการนี้สามารถทำเป็นระเบียบได้ คำที่เกี่ยวข้องในภาษาเยอรมันคือ 'plastische Stützzahl' ซึ่งแปลว่า 'หมายเลขสนับสนุนพลาสติก' แต่ฉันไม่รู้การแปลภาษาอังกฤษที่ถูกต้อง
โดยสรุปแล้วขีด จำกัด ผลตอบแทนของวัสดุไม่จำเป็นต้องเป็นขีด จำกัด สูงสุดขึ้นอยู่กับวัสดุ แต่มันเป็นการประเมินที่ดีครั้งแรก
ฉันคิดว่ามันไม่มีขีด จำกัด ปัจจัยที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวที่อยู่ในใจคือความเครียดที่เท้าพรู
หากคุณคิดว่าโครงสร้างนั้นมีความแข็งแกร่งอย่างไม่ จำกัด พื้นที่ของการสัมผัสพรูที่มีพื้นดินจะเท่ากับจุดที่เล็กที่สุดซึ่งนำไปสู่การเกิดความเครียดที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่ปลายพรู ถ้าคุณพิจารณาการเสียรูปแล้วทอรัสจะไม่กลายเป็นพรูที่สมบูรณ์แบบอีกต่อไปเพราะมันจะเสียรูปที่เท้าเพื่อให้ครอบคลุมพื้นที่เช่นความเครียดจะต่ำกว่ากำลังรับแรงของวัสดุ
สมมติว่าเป็นวัสดุอีลาสโตพลาสติกที่สมบูรณ์แบบโดยทั่วไปจะทำให้ทอรัสเปลี่ยนรูปได้มากเท่าที่จำเป็นดังนั้นจึงไม่มีข้อ จำกัด เช่นกัน สมมติว่าความสัมพันธ์กับความเครียดอื่น ๆ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบโดยทั่วไป
แรงภายในภายในพรูไม่ต้องห่วงฉันมากนัก เมื่อมองไปที่ช่วงบนสุดของทอรัสจะมีการโค้งงอแน่นอน แต่ช่วงเวลาการดัดสูงสุดจะเป็นฟังก์ชันของกำลังสองของการกระจายซึ่งคุณได้นิยามไว้เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางสองเท่า ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของด้านที่แตกต่างกันของพรู) อย่างไรก็ตามการดัดงอนั้นถูกต้านทานโดยช่วงเวลาที่สองของพื้นที่หน้าตัดซึ่งเป็นฟังก์ชันของกำลังสี่ของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าถ้าคุณเพิ่มเส้นผ่าศูนย์กลางของคุณเป็นสองเท่าคุณจะเพิ่มสี่เท่า (4x) โมเมนต์ดัดของคุณ แต่ช่วงเวลาที่สองของพื้นที่ของคุณจะเพิ่มขึ้นสิบหกเท่า ดังนั้นยิ่งเส้นผ่าศูนย์กลางของคุณใหญ่ขึ้นเท่าไรคุณก็ยิ่งห่างจากการยุบตัวมากขึ้นเท่านั้น สิ่งนี้ไม่ได้คำนึงถึงพฤติกรรมการโค้งของ torus ซึ่งจะลดช่วงเวลาการดัดงอของคุณลงอย่างมากและเปลี่ยนเป็นแรงอัด จากนั้นหนึ่งสามารถเพิ่มความเป็นไปได้ของการโก่งงอ แต่เนื่องจากพรูที่ไม่เรียวเรียวนี้จะเป็นเช่นไรนั่นก็จะไม่เป็นปัญหาเช่นกัน
ครึ่งล่างของพรูทำงานในทำนองเดียวกัน: ช่วงเวลาการดัดไม่ควรกังวลอย่างมากด้วยเหตุผลเดียวกับที่อธิบายไว้ข้างต้น พฤติกรรมการโค้งในกรณีนี้จะสร้างแรงดึง แต่จริง ๆ แล้วสิ่งเหล่านี้จะถูกเอาชนะได้โดยแรงอัดเนื่องจากน้ำหนักของพรู
ดังนั้นฉันไม่เห็นว่าใครจะหาขนาดสูงสุดสำหรับวัสดุที่กำหนด ในความเป็นจริงวัสดุที่คุณต้องกังวลไม่ใช่พรู แต่พื้นดิน คุณสามารถสร้างทอรัสจากวัสดุใดก็ได้ที่คุณต้องการ แต่ถ้าคุณใส่มันลงบนดินอ่อนมันจะถูกกลืนหายไป ถ้าคุณสร้างพลูโตขนาดเท่าเด ธ สตาร์และวางมันลงบนหินมันก็อาจจะบดขยี้หินและกลืนก้อนหินลงไปด้วย
มีการ จำกัด ขนาดของวัตถุที่ทำจากวัสดุเฉพาะ
เหตุผลง่าย ๆ ก็คือสำหรับรูปร่างโดยพลการ (สมมติว่าคุณสมบัติของวัสดุทั้งหมดยังคงเหมือนเดิม) ปริมาณของมัน (และด้วยเหตุนี้มวล) จะเพิ่มขึ้นด้วยลูกบาศก์ของปัจจัยขนาด
ดังนั้นถ้าคุณพิจารณาลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน 1 ม. และมวล 1 กก. (ปริมาตร 1 ม. ^ 3 และพื้นที่หน้าตัด 1) แรงกดที่ฐานของลูกบาศก์คือน้ำหนักหารด้วยพื้นที่ของฐานคือ 10N / 1m ^ 2 = 10Pa
อย่างไรก็ตามถ้าคุณเพิ่มความยาวของด้านเป็นสองเท่าตอนนี้เรามีปริมาตร 8m ^ 3 และพื้นที่ฐาน 4m ^ 2 ดังนั้นความเครียดใหม่คือ 80/4 = 20 Pa
เพิ่มอีกเป็นสองเท่า (ด้าน = 4m) ระดับเสียง = 64m ^ 3 มวล = น้ำหนัก 64 กก. = พื้นที่ฐาน 640N = 16m ^ 2
ดังนั้นความเครียดที่ฐาน = 640/16 = 40 Pa
ดังนั้น ... ความเค้นเนื่องจากน้ำหนักของวัตถุนั้นเป็นสัดส่วนกับสัดส่วนของสเกลดังนั้นคุณจึงไปถึงสเกลที่นี่มีค่ามากกว่าความเครียดความเค้นของวัสดุ
ใส่น้ำหนักของวัตถุที่เพิ่มขึ้นอย่างง่ายดายด้วยก้อนของสเกลและส่วนของวัตถุนั้นจะเพิ่มขึ้นเฉพาะกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ดังนั้นขนาดวัตถุสูงสุดที่คุณสามารถทำได้จากวัสดุใดก็ตามจะถูกกำหนดโดยความเค้นของผลผลิต นี่คือเหตุผลพื้นฐานว่าทำไมปัจจุบันจึงไม่สามารถสร้าง 'ลิฟต์อวกาศ' ได้
ในแง่ของการคำนวณขนาดสูงสุดของพรูวิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ซอฟต์แวร์ FEA การสร้างแบบจำลองรัศมีของหน่วยรัศมีนั้นน่าจะง่ายพอถ้าคุณพบความเค้นสูงสุดเป็นเศษส่วนของ UTS มันควรเป็นการประมาณค่าแบบตรงไปตรงมา อันที่จริงแล้วแพ็คเกจ CAD จำนวนมากจะช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองพารามิเตอร์ซึ่งคุณสามารถเชื่อมโยงไปยังสเปรดชีตเพื่อรับโซลูชันทั่วไปสำหรับสัดส่วนและคุณสมบัติของวัสดุใด ๆ