กลไกแข็ง: การโก่งตัวของเมมเบรนยืดหยุ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาการเบี่ยงเบน $ w $ ของเมมเบรนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความตึงเครียด $ T $ ทำหน้าที่บนขอบตรงข้ามสองอัน ขอบทั้งสองนี้ได้รับการแก้ไขเช่น $ w = 0 $ ขอบตรงข้ามอีกสองอันนั้นว่าง ขนาดของเมมเบรนคือ $ L $ x $ L $ มีแรงกดดัน $ P $ ทำหน้าที่ในพื้นที่ $ \ frac {L} {3} $ x $ \ frac {L} {3} $ ที่กึ่งกลางของเมมเบรน

แผนผังแสดงไว้ด้านล่าง:

หากความตึงเครียดกระทำบนขอบทั้งสี่และพวกเขาได้รับการแก้ไข สมการและเงื่อนไขขอบเขตสามารถเขียนเป็น: $$ T \ frac {\ partial ^ 2w} {\ partial x ^ 2} + T \ frac {\ partial ^ 2w} {\ partial y ^ 2} = p $$ ด้วยเงื่อนไขขอบเขต: $$ w (x = 0) = w (x = L) = w (y = 0) = w (y = L) = 0 $$

ฉันไม่ทราบวิธีการแก้ไขสมการและเงื่อนไขขอบเขตสำหรับปัญหาของฉัน

คำตอบนี้ขยายออกไปตามวิธีการที่แนะนำโดย @ setun-90 และแสดงให้เห็นว่าพีชคณิตค่อนข้างซับซ้อน ฉันขอแนะนำวิธีการใช้งานของ Green แทน

สมมติฐาน

• isotropic
• การโก่งตัวของพังผืดมีขนาดเล็ก
• ความตึงเครียดที่มีขนาดใหญ่เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงเนื่องจากการเบี่ยงเบนมีขนาดเล็ก

สมการที่ใช้บังคับ

ปล่อยให้ความตึงเครียดใน $ x, y $ -directions เป็น $ T_x, T_y $ ต่อความยาวหน่วยตามลำดับ ให้ $ w $ เป็นการโก่งด้านข้าง ผลลัพธ์เป็น $ w $ -direction เนื่องจากความตึง $ T_x $ บน $ dy $ -edge ของ a องค์ประกอบเล็ก ๆ ของพื้นที่ $ (dx \ times dy) $ คือ $$   R_x: = (T_x dy) \ left (\ theta_x + \ frac {\ partial \ theta_x} {\ partial x} \, dx \ right) -   (T_x dy) \, \ theta_x = T_x \, ​​\ frac {\ partial \ theta_x} {\ partial x} \, dx dy $$ ที่เราใช้ $ \ sin \ theta_x \ โดยประมาณ \ theta_x $ สำหรับขนาดเล็ก $ \ theta_x $ และ $   \ theta_x: = \ frac {\ partial w} {\ partial x} \, $ ในทำนองเดียวกันผลลัพธ์ใน $ w $ -direction เนื่องจาก $ T_y $ คือ $$   R_y: = (T_y dx) \ left (\ theta_y + \ frac {\ partial \ theta_y} {\ partial y} \, dy \ right) -   (T_y dx) \, \ theta_y = T_y \, \ frac {\ partial \ theta_y} {\ partial y} \, dx dy $$ ที่ไหน $   \ theta_y: = \ frac {\ partial w} {\ partial y} \, $ ดังนั้นแรงทางด้านข้างทั้งหมดเนื่องจาก $ T_x $ และ $ T_y $ คือ $$   R = R_x + R_y = \ left (T_x \, ​​\ frac {\ partial \ theta_x} {\ partial x} +                         T_y \, \ frac {\ partial \ theta_y} {\ partial y} \ right) dx dy \ ,. $$ แรงนี้มีความสมดุลโดยความดันด้านข้างที่ใช้ $ p (x, y) $ และเรามี $$    p (x, y) \, dx dy + \ left (T_x \, ​​\ frac {\ partial \ theta_x} {\ partial x} +                         T_y \, \ frac {\ partial \ theta_y} {\ partial y} \ right) dx dy = 0 \, $$ เสียบคำจำกัดความของ $ \ theta_x $ และ $ \ theta_y $ และกำจัด $ dx dy $ เราจะได้สมการที่ควบคุม ได้รับ $$ \ boxed {    p (x, y) + T_x \, ​​\ frac {\ partial ^ 2 w} {\ partial x ^ 2} +                         T_y \, \ frac {\ partial ^ 2 w} {\ partial y ^ 2} = 0 \ ,. } $$

กรณีที่ $ T_x = T $ และ $ T_y = 0 $

ในกรณีนี้สมการที่ใช้บังคับจะลดลง $$   \ frac {\ partial ^ 2 w} {\ partial x ^ 2} = - \ frac {p (x, y)} {T} \, $$ บูรณาการครั้งเดียวเรามี $$   \ frac {\ partial w} {\ partial x} = - \ int \ frac {p (x, y)} {T} \, dx + F (y) + F_c $$ โดยที่ $ F (y) $ เป็นฟังก์ชันการรวมและ $ F_c $ เป็นค่าคงที่การรวม
ผสานรวมอีกครั้ง $$ \ {บรรจุกล่อง    w (x, y) = \ int \ left [- \ int \ frac {p (x, y)} {T} \, dx + F (y) + F_c \ right] dx + G (y) + G_c} $$ โดยที่ $ G (y) $ เป็นฟังก์ชันการรวมอื่นและ $ G_c $ เป็นค่าคงที่การรวม

กรณีที่ $ p (x, y) $ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง

พิจารณากรณีที่ $$   p (x, y) = \ start {cases}               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad 0 \ le x & lt; \ tfrac {L} {3}, 0 \ le y \ le L \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     0 \ le y & lt; \ tfrac {L} {3} \\               & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {L} {3} \ le y \ le \ tfrac {2L} {3} \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {2L} {3} & lt; y \ le L \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {2L} {3} & lt; x \ le L, 0 \ le y \ le L            \ end {} กรณี $$ จากนั้น $$    \ int \ frac {p (x, y)} {T} \, dx = \ start {cases}               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad 0 \ le x & lt; \ tfrac {L} {3}, 0 \ le y \ le L \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     0 \ le y & lt; \ tfrac {L} {3} \\               \ tfrac {Px} {T} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {L} {3} \ le y \ le \ tfrac {2L} {3} \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {2L} {3} & lt; y \ le L \\               0 & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {2L} {3} & lt; x \ le L, 0 \ le y \ le L            \ end {} กรณี $$ นี่นำไปสู่ $$   \ frac {\ partial w} {\ partial x} = \ start {cases}               F_1 (y) + F_ {c1} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad 0 \ le x & lt; \ tfrac {L} {3}, 0 \ le y \ le L \\               F_2 (y) + F_ {c2} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     0 \ le y & lt; \ tfrac {L} {3} \\               - \ tfrac {Px} {T} + F_3 (y) + F_ {c3} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {L} {3} \ le y \ le \ tfrac {2L} {3} \\               F_4 (y) + F_ {c4} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {2L} {3} & lt; y \ le L \\               F_5 (y) + F_ {c5} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {2L} {3} & lt; x \ le L, 0 \ le y \ le L            \ end {} กรณี $$ จากการรวมครั้งที่สอง: $$ \ {บรรจุกล่อง   w (x, y) = \ start {cases}               [F_1 (y) + F_ {c1}] \, x + G_1 (y) + G_ {1c} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad 0 \ le x & lt; \ tfrac {L} {3}, 0 \ le y \ le L \\               [F_2 (y) + F_ {c2}] \, x + G_2 (y) + G_ {2c} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     0 \ le y & lt; \ tfrac {L} {3} \\               - \ frac {Px ^ 2} {2T} + [F_3 (y) + F_ {c3}] \, x + G_3 (y) + G_ {3c} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {L} {3} \ le y \ le \ tfrac {2L} {3} \\               [F_4 (y) + F_ {c4}] \, x + G_4 (y) + G_ {4c} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {L} {3} \ le x \ le \ tfrac {2L} {3},                     \ tfrac {2L} {3} & lt; y \ le L \\               [F_5 (y) + F_ {c5}] \, x + G_5 (y) + G_ {5c} & amp; \ text {สำหรับ} \ quad \ tfrac {2L} {3} & lt; x \ le L, 0 \ le y \ le L            \ end {กรณี}} $$ ปริมาณที่ไม่ทราบจำนวน 20 ข้อในโซลูชันนี้ต้องการเงื่อนไขขอบเขต 20 ข้อทำให้พีชคณิตค่อนข้างซับซ้อน

แนวทางการทำงานของกรีน

อีกทางเลือกหนึ่งคือใช้วิธีการทำงานของกรีนที่เราเริ่มต้นด้วยการโหลดด้านข้างของไซน์ $$   p (x, y) = \ sum_ {m = 1} ^ \ infty \ sum_ {n = 1} ^ \ infty p_0 \ sin \ frac {m \ pi x} {a} \ sin \ frac {n \ pi y } {ข} $$ โดยที่ $ a $ และ $ b $ คือขนาดของเมมเบรน จากนั้นเราสามารถแก้ปัญหาให้กับกรณีที่การโหลดที่ใช้เป็นจุดโหลดที่ตำแหน่ง $ (\ xi, \ eta) $ ให้ $ K (x, y, \ xi, \ eta) $ เป็นโซลูชันนี้สำหรับการโหลดแบบจุด จากนั้นการคำนวณการโก่งตัวทั้งหมดสามารถคำนวณได้โดยใช้ $$   w (x, y) = \ iint_A p (\ chi, \ eta) K (x, y, \ chi, \ eta) \, d \ chi d \ eta \, $$ รายละเอียดของวิธีการนี้สามารถพบได้ในมาตรา 29 ของ "ทฤษฎีแผ่นเปลือกหอย" โดย Timoshenko และ Woinowsky-Krieger

เพื่อประโยชน์ของการแก้ปัญหา:
$ w $ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นเพียง $ x $ เนื่องจากทั้งสองฝ่ายมีข้อผูกพัน ดังนั้น $ {\ partial w \ over \ partial y} = 0 $ ดังนั้น  $ {\ partial ^ 2w \ over \ partial y ^ 2} = 0 $

คุณมีสามภูมิภาค ($ [0; {L \ over3}], [{L \ over3}; {2L \ over3}], [{2L \ over3}; L] $, เรียกว่า $ R_1 $, $ R_2 $ และ $ R_3 $):

• $ x \ in R_1 \ หมายถึง P = 0 \\ \ implies {\ partial ^ 2w_1 \ over \ partial x ^ 2} (x) = 0 \ implies {\ partial w_1 \ over \ partial x} (x) = A_1 \\ \ implies w_1 (x) = A_1x + B_1 $
• $ x \ in R_2 \ หมายถึง P \ ne 0 \\ \ implies {\ partial ^ 2w_2 \ over \ partial x ^ 2} (x) = {P \ over T} \ หมายถึง {\ partial w_2 \ over \ partial x} (x) = {P \ over T} x + B_2 \\ \ นัย w_2 (x) = {P \ over2T} x ^ 2 + B_2x + C $
• $ x \ in R_3 \ หมายถึง P = 0 \\ \ implies {\ partial ^ 2w_3 \ over \ partial x ^ 2} (x) = 0 \ implies {\ partial w_3 \ over \ partial x} (x) = A_3 \\ \ implies w_3 (x) = A_3x + B_3 $

ในที่สุดคุณจะต้องเข้าร่วมฟังก์ชั่นร่วมกัน (ความต่อเนื่องอนุพันธ์และฟังก์ชั่นของตัวเอง) ซึ่งจะใช้เวลาเป็นจำนวนมากในกรณีนี้