คุณคำนวณรัศมีของโลกด้วยละติจูดทางภูมิศาสตร์ที่กำหนดอย่างไร

(ฉันเห็นว่ามีสมการบนวิกิพีเดียที่ทำสิ่งที่ฉันขออย่างแน่นอน แต่ไม่มีการอ้างอิงฉันไม่มีวิธียืนยันความถูกต้องของสมการนี้!)

ฉันเข้าใจความแตกต่างระหว่าง Geocentric Latitude กับ Geodetic Latitude แล้ว

สมมติว่ารู้จักกึ่งหลัก, aและกึ่งเล็ก,, bจะได้รับรัศมี คุณคำนวณรัศมีที่ละติจูดทางภูมิศาสตร์ที่กำหนดได้อย่างไร

ฉันต้องการการยืนยันจากผู้เชี่ยวชาญ (แหล่งที่มาลิงก์ไปยังแหล่งที่มาการยืนยันจากผู้เชี่ยวชาญคำอธิบาย ฯลฯ )

คำถามนี้ถือว่าเป็นแบบจำลองรูปไข่ของโลก พื้นผิวอ้างอิงของมันนั้นได้มาจากการหมุนวงรีรอบแกนย่อยของมัน (พล็อตตามแนวตั้งโดยการประชุม) วงรีดังกล่าวเป็นเพียงแค่วงกลมที่ได้รับการยืดแนวนอนโดยปัจจัยที่และแนวตั้งโดยปัจจัยของข ใช้พารามิเตอร์มาตรฐานของวงกลมหน่วย

t --> (cos(t), sin(t))

(ซึ่งนิยามโคไซน์และไซน์) เราได้รับการกำหนดพารามิเตอร์

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(องค์ประกอบสองส่วนของการกำหนดพารามิเตอร์นี้อธิบายการเดินทางรอบ ๆ เส้นโค้ง: ระบุในพิกัดคาร์ทีเซียนที่ตั้งของเราที่ "เวลา" t )

รุ้ง Geodetic , ฉของจุดใดคือมุมที่ว่า "ขึ้น" ทำให้กับระนาบเส้นศูนย์สูตร เมื่อค่าแตกต่างจากbค่าของf จะแตกต่างจากค่าt (ยกเว้นตามเส้นศูนย์สูตรและที่ขั้ว)

ในภาพนี้เส้นโค้งสีน้ำเงินเป็นหนึ่งในสี่ของวงรีดังกล่าว (เกินจริงอย่างมากเมื่อเทียบกับความเยื้องศูนย์ของโลก) จุดสีแดงที่มุมซ้ายล่างเป็นจุดศูนย์กลาง เส้นประกำหนดรัศมีให้เป็นจุดเดียวบนพื้นผิว ทิศทาง "ขึ้น" ของมันจะแสดงด้วยเซ็กเมนต์สีดำ: ตามนิยามจะตั้งฉากกับวงรีที่จุดนั้น เนื่องจากความเยื้องศูนย์ที่พูดเกินจริงจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า "ขึ้น" ไม่ขนานกับรัศมี

ในคำศัพท์ของเราtมีความสัมพันธ์กับมุมที่เกิดจากรัศมีถึงแนวนอนและfคือมุมที่เกิดจากส่วนสีดำนั้น (โปรดสังเกตว่าสามารถมองเห็นจุดใด ๆบนพื้นผิวได้จากมุมมองนี้สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถ จำกัด ทั้งtและfให้อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศาเนื่องจากค่าโคไซน์และไซน์ของพวกมันจะเป็นค่าบวกดังนั้นเราจึงไม่ต้องกังวลเรื่องลบ รากที่สองในสูตร)

เคล็ดลับคือการแปลงจากt- parameterization เป็นหนึ่งในรูปของfเนื่องจากในแง่ของtรัศมีRนั้นง่ายต่อการคำนวณ (ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส) สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือผลรวมของกำลังสองขององค์ประกอบของจุด

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

ที่จะทำให้การแปลงนี้เราต้องสัมพันธ์ "ขึ้น" ทิศทางฉพารามิเตอร์ที ทิศทางนี้ตั้งฉากกับแทนเจนต์ของวงรี ตามคำนิยามจะได้สัมผัสแทนเส้นโค้ง (แสดงเป็นเวกเตอร์) ได้โดยการแยกความแตกต่างของพารามิเตอร์:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(ความแตกต่างคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงอัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งขณะที่เราเดินทางไปรอบ ๆ โค้งนั้นแน่นอนความเร็วของเราและที่ชี้ไปตามเส้นโค้งเสมอ)

หมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศาเพื่อให้ได้ฉากตั้งฉากที่เรียกว่าเวกเตอร์ "ปกติ":

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

ความลาดชันของเวกเตอร์ตั้งฉากนี้เท่ากับ (a sin (t)) / (b cos (t)) ("ลุกขึ้นวิ่งหนี"), นอกจากนี้ยังแทนเจนต์ของมุมที่ทำให้เป็นแนวนอนด้วย

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

ค่าเท่ากัน

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(หากคุณมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบยุคลิดคุณสามารถได้รับความสัมพันธ์นี้โดยตรงจากคำจำกัดความของวงรีโดยไม่ต้องผ่านตรีโกณมิติหรือแคลคูลัสเพียงแค่ตระหนักว่าการขยายตัวในแนวนอนและแนวตั้งโดยaและbตามลำดับ ความลาดชันทั้งหมดโดยปัจจัยนี้b / a .)

ดูสูตร R (t) ^ 2 อีกครั้ง: เรารู้aและb - พวกมันเป็นตัวกำหนดรูปร่างและขนาดของวงรี - ดังนั้นเราต้องหา cos (t) ^ 2 และ sin (t) ^ 2 ในแง่ของfซึ่งสมการก่อนหน้านี้ทำให้เราทำได้ง่าย:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(เมื่อ tan (f) ไม่มีที่สิ้นสุดเราอยู่ที่ขั้วโลกดังนั้นให้ตั้งค่าf = tในกรณีนั้น)

นี่คือการเชื่อมต่อที่เราต้องการ แทนค่าเหล่านี้สำหรับ cos (t) ^ 2 และ sin (t) ^ 2 ลงในนิพจน์สำหรับ R (t) ^ 2 และทำให้ง่ายขึ้นที่จะได้รับ

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

การเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าสมการนี้เหมือนกับที่พบในวิกิพีเดีย เพราะ a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 และ (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

น่าสนใจที่จะพบว่าวิธีแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้หนังสือของฉันทำงานด้วยความคิดและการเข้ารหัส 5 นาทีปัจจัยแฟบจะไม่ได้รับการพิจารณามากกว่าแบบจำลองไข่ที่สมบูรณ์แบบใช่หรือไม่

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

อย่างน้อยนั่นคือสูตรที่ผมพบในการวิเคราะห์และการประเมินศูนย์ข้อมูลสหรัฐ (DAAC) สำหรับกระทรวงกลาโหม (dod) คอมพิวเตอร์ประสิทธิภาพสูงทันสมัย Program (HPCMP) วิกิพีเดีย มันบอกว่าพวกเขายืมมามากจากรายการของ Wikipedia ถึงกระนั้นความจริงที่ว่าพวกเขายังคงสูตรที่ควรนับสำหรับบางสิ่งบางอย่าง