หนึ่งในเพื่อนร่วมงานของฉันกำลังทำงานกับข้อมูลที่แผ่กระจายไปทั่วทั้งสองโซน UTM ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ในโซนเดียวโดยมีค่าผิดปกติเล็กน้อยในโซนอื่น เขาต้องการทราบว่าการบิดเบือนพื้นที่ของผู้ผิดเพี้ยนนั้นเป็นอย่างไรหากอยู่ในโซน UTM หลัก
มีสูตรคำนวณความเพี้ยนที่รู้ว่าอยู่ในโซน UTM อื่น ๆ หรือไม่?
คำตอบ:
UTM ใช้เส้นโครง Mercator ที่มีขนาด 0.9996 ที่จุดกึ่งกลางกลาง ใน Mercator ตัวประกอบสเกลของระยะทางคือเซแคนต์ของละติจูด (แหล่งหนึ่ง: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_project ) ซึ่งปัจจัยสเกลของพื้นที่นั้นคือสแควร์ของสเกลแฟกเตอร์นี้ (เพราะใช้ใน ทุกทิศทาง Mercator กำลังสอดคล้องกัน) การทำความเข้าใจละติจูดขณะที่ระยะทางทรงกลมกับเส้นศูนย์สูตรและการประมาณทรงรีกับทรงกลมเราสามารถใช้สูตรนี้กับทุกแง่มุมของการประมาณการของ Mercator ดังนั้น:
สเกลแฟกเตอร์คือ 0.9996 คูณซีแคนต์ของระยะ (เชิงมุม) ถึงเส้นแวงกลาง ตัวคูณสเกลพื้นที่คือกำลังสองของปริมาณนี้
หากต้องการค้นหาระยะทางนี้ให้พิจารณารูปทรงกลมรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นโดยการเดินทางไปตามเนื้อที่ทางภูมิศาสตร์จากจุดใด ๆ ที่ (lon, lat) = (lambda, phi) ตรงไปยังจุดศูนย์กลางกลางที่ลองจิจูด mu ตามแนวเส้นแวงนั้น กลับไปตามเส้นรุ้งแลมบ์ดาถึงจุดเดิม เทิร์นแรกเป็นมุมฉากและอีกอันคือมุมของแลมบ์ดา - มู จำนวนที่เดินทางไปตามส่วนสุดท้ายคือ 90-phi degrees กฎหมายทรงกลมของ Sinesนำไปใช้กับสามเหลี่ยมรัฐนี้
sin (lambda-mu) / sin (ระยะทาง) = sin (90 องศา) / sin (90-phi)
ด้วยวิธีการแก้ปัญหา
distance = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi))
ระยะนี้ให้เป็นมุมซึ่งสะดวกสำหรับการคำนวณซีแคนต์
ตัวอย่าง
พิจารณา UTM โซน 17 โดยมีจุดศูนย์กลางกลางที่ -183 + 17 * 6 = -81 องศา ให้สถานที่ห่างไกลอยู่ที่ลองจิจูด -90 องศาละติจูด 50 องศา แล้วก็
ขั้นตอนที่ 1:ระยะทางทรงกลมจาก (-90, 50) ถึง -81 องศาเมริเดียนเท่ากับ ArcSin (บาป (9 องศา) * cos (50 องศา)) = 0.1007244 เรเดียน
ขั้นตอนที่ 2:การบิดเบือนพื้นที่เท่ากับ (0.9996 * วินาที (เรเดียน 0.1007244)) ^ 2 = 1.009406
(การคำนวณเชิงตัวเลขกับ GRS 80 ellipsoid ให้ค่าเป็น 1.009435 ซึ่งแสดงว่าคำตอบที่เราคำนวณคือ 0.3% ต่ำเกินไป: นั่นคือลำดับความสำคัญเท่ากับความแบนของทรงรีแสดงถึงข้อผิดพลาดเนื่องจากการประมาณทรงกลม
ใกล้เคียง
เพื่อให้เข้าใจถึงการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เราสามารถใช้อัตลักษณ์ของตรีโกณฯ เพื่อทำให้การแสดงออกโดยรวมง่ายขึ้นและขยายว่าเป็นซีรี่ส์อนุกรมในแลมบ์ดา - มู (การกระจัดระหว่างลองจิจูดของจุดและลองจิจูดของเส้นแวงกลาง UTM) มันทำงานออกไป
ตัวประกอบสเกลพื้นที่ ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2)
เช่นเดียวกับการขยายเช่นนั้นมุม lambda-mu จะต้องวัดเป็นเรเดียน ข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4 ซึ่งอยู่ใกล้กับสแควร์ของความแตกต่างระหว่างการประมาณและ 1 - นั่นคือสแควร์ของค่าหลังจากจุดทศนิยม .
ในตัวอย่างที่มี phi = 50 องศา (ที่มีโคไซน์ 0.642788) และ lambda-mu = -9 องศา = -0.15708 เรเดียนการประมาณจะให้ 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387 เมื่อมองผ่านจุดทศนิยมและกำลังสองเราอนุมาน (แม้ไม่ทราบค่าที่ถูกต้อง) ว่าข้อผิดพลาดนั้นไม่สามารถมากกว่า (0.009387) ^ 2 = น้อยกว่า 0.0001 (และอันที่จริงแล้วข้อผิดพลาดนั้นมีขนาดเพียงหนึ่งในห้า)
จากการวิเคราะห์นี้จะเห็นได้ว่าที่ละติจูดสูง (เมื่อ cos (phi) มีขนาดเล็ก) ความคลาดเคลื่อนของสเกลจะเล็กเสมอ และในละติจูดที่ต่ำกว่าความคลาดเคลื่อนของระดับพื้นที่จะทำงานเหมือนกำลังสองของความแตกต่างของลองจิจูด
เครื่องมือของ GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
อนุญาตให้มีการทับซ้อนกันอย่างมากระหว่างโซน UTM (โดยเฉพาะอนุญาตให้แปลงเป็นโซนที่อยู่ใกล้เคียงได้หากว่าทิศตะวันออกนั้นอยู่ในช่วง [0km, 1000km]) GeoConvert ยังสามารถรายงานการบรรจบกันของเส้นลมปราณและมาตราส่วนและในขณะที่บันทึกย่อการบิดเบือนพื้นที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ตัวอย่างเช่นโซน "main" ของคุณคือ 42 และคุณจะได้รับคะแนน
41N 755778 3503488
(มหาวิทยาลัยกันดาฮาร์) ซึ่งอยู่ทางตะวันตกของโซน 42 ประมาณ 29 กม. หากต้องการแปลงเป็นโซน 42 ให้ใช้
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
หากต้องการทราบว่าการบรรจบกันของเส้นแวงและมาตราส่วนในโซน 42 ให้เพิ่มแฟล็ก -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
ดังนั้นการบิดเบือนพื้นที่คือ 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221