การคำนวณรูปหลายเหลี่ยม centroid ทรงกลม

ฉันต้องการวิธีทั่วไปในการคำนวณเซนทรอยด์สำหรับรูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม

จนถึงตอนนี้การอ้างอิงออนไลน์ที่ดีที่สุดดูเหมือนจะเป็น:

เครื่องมือสำหรับกราฟิกและรูปร่างโดย Jeff Jenness

วิธีดังกล่าวอธิบายว่ามีการย่อยสลายรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายทรงกลมและคำนวณค่าเฉลี่ยของรูปสามเหลี่ยมทรงกลม centroids ถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่สามเหลี่ยมทรงกลม

ฉันรู้ว่ามีหลายวิธีในการกำหนดรูปหลายเหลี่ยม centroid ทรงกลม แต่ฉันกำลังมองหาสิ่งที่คล้ายกับคำจำกัดความต่อไปนี้สำหรับจุดและ polylines:

• คะแนน : ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวกเตอร์คาร์ทีเซียนที่เป็นตัวแทนของคะแนน
• Polylines : ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของเวกเตอร์คาร์ทีเซียนซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของแต่ละส่วนของเส้นโดยถ่วงน้ำหนักด้วยความยาว (ทรงกลม) ของแต่ละส่วน

ดูเหมือนว่ามีความต่อเนื่องที่สมเหตุสมผลในการกำหนดรูปหลายเหลี่ยม centroids เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของการสลายตัวแบบสามเหลี่ยมซึ่งแบ่งตามพื้นที่

คำถามของฉันคือว่าวิธีการในการอ้างอิงข้างต้นจะทำงานโดยไม่คำนึงถึงการสลายตัวของสามเหลี่ยมที่ใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันกล่าวถึงการย่อยสลายเป็นรูปสามเหลี่ยมเมื่อเทียบกับจุดโดยพลการแม้ภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมเช่นว่ารูปสามเหลี่ยมบางส่วนจะมีพื้นที่เชิงลบที่มีน้ำหนักเชิงลบ

ที่เกี่ยวข้อง: วิธีค้นหาจุดศูนย์กลางของเรขาคณิตของวัตถุได้อย่างไร

มันจะไม่ทำงานอย่างสม่ำเสมอแม้ว่าคุณจะทำการวิเคราะห์สามเหลี่ยมทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดคงที่เดียว ปัญหาคือการคำนวณแบบกลมและแบบยูคลิดผสมกันโดยไม่คำนึงถึงความหมาย

วิธีหนึ่งที่จะทำให้เรื่องนี้ชัดเจนคือการพิจารณาสามเหลี่ยมค่อนข้างสุดขั้วเช่นเกือบครึ่งหนึ่งของซีกโลก ตัวอย่างเช่นเริ่มต้นที่ (lon, lat) = (-179, 0), วิ่งตามเส้นศูนย์สูตรไปที่ (0, 0), จากนั้นขึ้นไปที่ขั้วเหนือที่ (0, 90) จากนั้นกลับไปที่จุดเริ่มต้นที่ (- 179, 0) นี่คือรูปสามเหลี่ยม 90-179-90 ซึ่งประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของซีกโลกตะวันตกส่วนใหญ่ ปัญหาคือจุดปลายของมัน (แสดงเป็นจุดสีขาวในรูป) อยู่ในระนาบ: หนึ่งอยู่ที่ขั้วและอีกสองอันเกือบจะอยู่ฝั่งตรงข้ามของมัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยของพวกเขาฉายกลับไปที่ทรงกลม (จุดสีแดง) เกือบจะอยู่ที่เสา - แต่มันก็อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางที่สมเหตุสมผลพอ ๆ กับที่จะได้รับ:

เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งมาลองหารูปหลายเหลี่ยมที่เป็นตัวแทนของซีกโลกตอนบนที่เกี่ยวข้องกับศูนย์กลางของมันนั่นคือขั้วโลกเหนือ เราจะแบ่งซีกโลกตะวันตกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันเสมอแต่ละอันจะมีรูปสามเหลี่ยม 90-90-90 (ดังนั้นการหลีกเลี่ยงปัญหาใด ๆ อย่างไรก็ตามซีกโลกตะวันออกจะแบ่งออกเป็นกึ่ง lunes เท่ากับn จุดยอดของ Lune k ( k = 1, 2, ... , n ) มี (lon, ลาดพร้าว) พิกัด

((k-1) * 180/n, 0),  (k * 180/n, 0),  (k * 180/n, 90).

รูปนี้แสดงการตั้งค่าสำหรับ k = 8 จุดสีแดงเป็นรูปสามเหลี่ยม "กึ่งกลาง" ที่คำนวณได้ตามเอกสาร "เครื่องมือสำหรับกราฟิกและรูปร่าง", หน้า 65-67

เมื่อทำการคำนวณฉันพบว่าด้วยk = 2 ศูนย์กลางถ่วงน้ำหนักของพื้นที่นั้นอยู่ที่ขั้วโลกเหนือ (ตามที่ระบุโดยการพิจารณาสมมาตร) แต่เมื่อเพิ่มขึ้นnผลจะเปลี่ยนไปอย่างรวดเร็วในซีกโลกตะวันตกและใน ขีด จำกัด เข้าใกล้ละติจูดของ 89.556 องศาพร้อมลองจิจูด -90 องศา นี่คือประมาณ 50 กิโลเมตรทางใต้ของขั้วโลกเหนือนั่นเอง

ข้อผิดพลาด +/- 50 กิโลเมตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ทอดยาว 20,000 กิโลเมตรนั้นมีขนาดเล็ก จำนวนรวมของการเปลี่ยนแปลงโดยพลการเนื่องจากสมการที่แตกต่างกันในกรณีนี้มีเพียง 0.5% เห็นได้ชัดว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สามารถทำให้ใหญ่โดยพลการโดยรวมสามเหลี่ยมเชิงลบ (เพียงเพิ่มและลบสามเหลี่ยมขนาดใหญ่จริง ๆ บางตัวที่สัมพันธ์กับสามเหลี่ยมเล็ก ๆ ) ไม่ว่าใครก็ตามที่พยายามใช้การคำนวณทรงกลมอย่างเห็นได้ชัดคือพยายามหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการฉายภาพดังนั้นพวกเขาจึงมองหาความแม่นยำสูง ไม่สามารถใช้วิธีการวิเคราะห์ตำแหน่งนี้ได้

เป็นความคิดที่ดีที่จะแจกแจงคุณสมบัติที่เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมควรมี นี่คือเกณฑ์ของฉัน:

(a) เป็นคุณสมบัติของการตกแต่งภายในรูปหลายเหลี่ยม (แทนที่จะเป็นจุดยอดหรือขอบ) ดังนั้นการแยกขอบในสองโดยการแทรกจุดสุดยอดเพิ่มเติมไม่ควรเปลี่ยนตำแหน่งของเซนทรอยด์ โปรดสังเกตว่าคำจำกัดความของ Jenness ของเซนทรอยด์ไม่ผ่านเกณฑ์นี้เนื่องจากตำแหน่งของเซนทรอยด์จะขึ้นอยู่กับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม

(b) การขยับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมโดยเล็กน้อยควรเลื่อนเซนทรอยด์เล็กน้อย จำเป็นที่นี่เพื่อกำหนดข้อ จำกัด เกี่ยวกับขอบเขตโดยรวมของรูปหลายเหลี่ยม (เช่นไปยังซีกโลกเดียว) หากไม่มีข้อ จำกัด นี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างกรณีที่เซนทรอยด์จะแกว่งไปยังฝั่งตรงข้ามของโลกด้วยการเคลื่อนที่ของจุดยอดเล็กน้อย เงื่อนไขนี้ไม่รวมวิธีการที่กำหนดให้เซนทรอยด์อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยม

(c) ควรลดความหมายภาพถ่ายของ centroid สำหรับรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็ก

นี่คือสองวิธีที่ตรงตามเกณฑ์เหล่านี้:

(1) คำนวณเซนทรอยด์สำหรับรูปหลายเหลี่ยมรูปวงรีในสามมิติและฉายกลับไปที่พื้นผิวรูปไข่ (ตามปกติกับรูปวงรี) ข้อได้เปรียบที่ยิ่งใหญ่: เซนทรอยด์สามารถคำนวณได้โดยการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงที่ง่ายขึ้น

(2) เซนทรอยด์เป็นจุดที่มีระยะทางทางธรณีวิทยาต่ำสุด RMS ไปยังทุกจุดในการตกแต่งภายในของรูปหลายเหลี่ยม ดู Buss และ Fillmore "ค่าเฉลี่ยทรงกลมและการประยุกต์ใช้กับเส้นโค้งทรงกลมและการแก้ไข", ธุรกรรม ACM ในกราฟิก20 , 95–126 (2001) ประโยชน์ใหญ่: จุดที่เกิดไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการที่พื้นผิวจะถูกฝังอยู่ใน R 3

น่าเสียดายที่คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ตรงไปตรงมาที่จะนำไปปฏิบัติ อย่างไรก็ตามวิธีแรกนั้นสามารถทำได้โดยง่ายสำหรับทรงกลม พื้นที่ "ประถมศึกษา" ที่ดีที่สุดที่จะใช้คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนล้อมรอบด้วยขอบของรูปหลายเหลี่ยมเส้นเมอริเดียนสองเส้นผ่านจุดสิ้นสุดของขอบและเส้นศูนย์สูตร ผลลัพธ์สำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดจะรวมการมีส่วนร่วมของขอบ (จำเป็นต้องดำเนินการขั้นตอนเพิ่มเติมหากรูปหลายเหลี่ยมล้อมรอบด้วยเสา)

สมมติว่าจุดสิ้นสุดของขอบคือ (φ ₁ , λ ₁ ) และ (φ ₂ , λ ₂ ) ให้ azimuths ของขอบและปลายทางโดยα ₁ และα 2 สมมติว่ารัศมีของทรงกลมเท่ากับ 1 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ

  A = α ₂ - α ₁
      = 2 tan ⁻¹ [tan ½ (λ ₂ - λ ₁ ) sin ½ (φ ₂ + φ ₁ ) / cos ½ (φ ₂ + φ ₁ )]

(สูตรนี้สำหรับพื้นที่เนื่องจาก Bessel มีพฤติกรรมเป็นตัวเลขที่ดีกว่าสูตรของ L'Huilier ที่ใช้กันทั่วไปในพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม)

ส่วนประกอบของเซนทรอยด์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมนี้ได้มาจาก

  2 A ⟨ x ⟩ = φ ₂บาป (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁บาป (λ ₁ - λ ₀ )
  2 A ⟨ y ⟩ = cos α ₀ (σ ₂ - σ ₁ ) - (φ ₂ cos (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ cos (λ ₁ - λ ₀ ))
  2 A ⟨ z ⟩ = (λ ₂ - λ ₁ ) - sin α ₀ (σ ₂ - σ₁ )

โดยที่σ ₂ - σ ₁คือความยาวของขอบและλ ₀และα ₀คือลองจิจูดและ azimuth ของขอบที่มันตัดผ่านเส้นศูนย์สูตร และแกนxและyจะเน้นเพื่อที่เส้นศูนย์สูตรคือx = 1, y = 0 ( zคือแกนผ่านเสาแน่นอน)