เพื่อแก้ไขปัญหานี้ฉันจะใช้กรอบการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มและกำหนดตัวแปรการตัดสินใจสามชุด:
- x_ij : ตัวแปรตัวบ่งชี้ไบนารีว่าเราสร้างสะพานที่ตำแหน่งน้ำ (i, j) หรือไม่
- y_ijbcn : ตัวบ่งชี้ไบนารีว่าตำแหน่งน้ำ (i, j) เป็นตำแหน่งที่ n ^ th ที่เชื่อมเกาะ b กับเกาะ c
- l_bc : ตัวแปรตัวบ่งชี้ไบนารีว่าเกาะ b และ c เชื่อมโยงกันโดยตรงหรือไม่ (aka คุณสามารถเดินบนสะพานสี่เหลี่ยมจาก b ถึง c เท่านั้น)
สำหรับค่าใช้จ่ายในการสร้างสะพานc_ij , sum_ij c_ij * x_ijค่าที่มีวัตถุประสงค์เพื่อลดการเป็น เราจำเป็นต้องเพิ่มข้อ จำกัด ต่อไปนี้ให้กับโมเดล:
- เราจำเป็นต้องแน่ใจว่าตัวแปรy_ijbcnถูกต้อง เราสามารถไปถึงจัตุรัสน้ำได้เสมอถ้าเราสร้างสะพานที่นั่นดังนั้น
y_ijbcn <= x_ijสำหรับทุกตำแหน่งน้ำ (i, j) นอกจากนี้y_ijbc1จะต้องเท่ากับ 0 ถ้า (i, j) ไม่มีขอบเกาะ b. สุดท้ายสำหรับ n> 1 y_ijbcnสามารถใช้ได้ก็ต่อเมื่อมีการใช้ตำแหน่งน้ำใกล้เคียงในขั้นตอนที่ n-1 กำหนดN(i, j)ให้เป็นสี่เหลี่ยมน้ำใกล้เคียง (ฉัน j) y_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1)นี้จะเทียบเท่ากับ
- เราจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวแปรl_bcถูกตั้งค่าก็ต่อเมื่อ b และ c เชื่อมโยงกัน ถ้าเรากำหนดให้เป็นสถานที่ที่มีพรมแดนติดเกาะคนี้สามารถทำได้ด้วย
I(c)l_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn
- เราจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าเกาะทั้งหมดเชื่อมโยงกันไม่ว่าทางตรงหรือทางอ้อม สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: สำหรับทุกส่วนย่อยที่เหมาะสมของเกาะที่ไม่ว่างเปล่ากำหนดให้มีอย่างน้อยหนึ่งเกาะใน S เชื่อมโยงกับเกาะอย่างน้อยหนึ่งเกาะในส่วนเติมเต็มของ S ซึ่งเราจะเรียกว่า S ' ในข้อ จำกัด ของเราสามารถดำเนินการนี้โดยการเพิ่มข้อ จำกัด สำหรับทุกชุดไม่ว่างเปล่า S ขนาด <= K / 2 (ที่ K
sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1คือจำนวนของเกาะ)
สำหรับตัวอย่างปัญหาที่มีเกาะ K, สี่เหลี่ยมน้ำ W และความยาวเส้นทางสูงสุดที่ระบุ N นี่คือรูปแบบการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มแบบผสมที่มีO(K^2WN)ตัวแปรและO(K^2WN + 2^K)ข้อ จำกัด เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้จะกลายเป็นเรื่องยากเมื่อขนาดของปัญหาใหญ่ขึ้น แต่อาจแก้ไขได้สำหรับขนาดที่คุณสนใจ เพื่อให้เข้าใจถึงความสามารถในการปรับขนาดได้ฉันจะใช้มันใน python โดยใช้แพ็คเกจเยื่อกระดาษ เริ่มต้นด้วยแผนที่ขนาดเล็กกว่า 7 x 9 ที่มีเกาะ 3 เกาะที่ด้านล่างของคำถาม:
import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
(1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
(1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
(2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
(2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
(3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
(3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
(4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
(4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
(5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
(5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
(6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
(6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6
# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
iborders[k] = {}
for i, j in islands[k]:
for dx in [-1, 0, 1]:
for dy in [-1, 0, 1]:
if (i+dx, j+dy) in water:
iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True
# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
for b, c in pairs:
for n in range(N):
yvals.append((i, j, b, c, n))
y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)
# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])
# Valid y
for k in yvals:
i, j, b, c, n = k
mod += y[k] <= x[(i, j)]
if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
mod += y[k] == 0
elif n > 0:
mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])
# Valid l
for b, c in pairs:
mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])
# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
for S in itertools.combinations(ikeys, size):
thisSubset = {m: True for m in S}
Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1
# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
if (row, col) in water:
if x[(row, col)].value() > 0.999:
print "B",
else:
print "-",
else:
print "I",
print ""
ขั้นตอนนี้ใช้เวลา 1.4 วินาทีในการรันโดยใช้ตัวแก้เริ่มต้นจากแพ็คเกจเยื่อกระดาษ (ตัวแก้ CBC) และผลลัพธ์ที่ถูกต้อง:
I I - - - - - I I
- - B - - - B - -
- - - B - B - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - I I I - - -
จากนั้นพิจารณาปัญหาเต็มที่ด้านบนของคำถามซึ่งเป็นตาราง 13 x 14 ที่มีเกาะ 7 เกาะ:
water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
(11, 2), (12, 0)],
2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
(12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
for i, j in islands[k]:
del water[(i, j)]
for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
(11, 7), (12, 7)]:
water[(i, j)] = 20.0
N = 7
โปรแกรมแก้ปัญหา MIP มักจะได้รับโซลูชันที่ดีค่อนข้างเร็วจากนั้นใช้เวลาส่วนใหญ่ในการพยายามพิสูจน์ความเหมาะสมของโซลูชัน การใช้รหัสแก้ปัญหาเดียวกันกับข้างต้นโปรแกรมจะไม่เสร็จสิ้นภายใน 30 นาที อย่างไรก็ตามคุณสามารถระบุการหมดเวลาให้กับผู้แก้ปัญหาเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ:
mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))
สิ่งนี้ให้คำตอบที่มีค่าวัตถุประสงค์ 17:
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - B - - - B - - -
- - - B - B - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - - - - B - -
- - - - - B - I - - - - B -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
ในการปรับปรุงคุณภาพของโซลูชันที่คุณได้รับคุณสามารถใช้ตัวแก้ MIP เชิงพาณิชย์ได้ (ฟรีหากคุณอยู่ในสถาบันการศึกษาและอาจจะไม่ฟรี) ตัวอย่างเช่นนี่คือประสิทธิภาพของ Gurobi 6.0.4 อีกครั้งโดยมีเวลา จำกัด 2 นาที (แม้ว่าจากบันทึกการแก้ปัญหาเราอ่านว่าตัวแก้พบโซลูชันที่ดีที่สุดในปัจจุบันภายใน 7 วินาที):
mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))
สิ่งนี้พบคำตอบของค่าวัตถุประสงค์ 16 ซึ่งดีกว่าที่ OP สามารถหาได้ด้วยมือ!
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - - - - - B - - -
- - - B - - - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - B B - - - -
- - - - - B - I - - B - - -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
