อะไรคือความแตกต่างระหว่าง "รหัสพื้นที่", "รหัสคำ" และ "รหัสโคลง"

ฉันอ่านต่อไปเรื่อย ๆ (เช่น Nielsen และ Chuang, 2010; pg. 456 และ 465) สามขั้นตอนต่อไปนี้ "space code", "word word" และ "code stabilizer" - แต่ตอนนี้มีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการค้นหาคำจำกัดความของพวกเขาและที่สำคัญกว่าพวกเขาแตกต่างกันอย่างไร

คำถามของฉันคือ; คำสามคำนี้มีความหมายอย่างไรและเกี่ยวข้องกันอย่างไร

— ควอนตัม spaghettification
แหล่งที่มา

รหัสพื้นที่และรหัสคำ

รหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมมักถูกระบุด้วยรหัสพื้นที่ (Nielsen & Chuang ดูเหมือนจะทำเช่นนั้น) รหัสพื้นที่ ของ e กรัม -qubit ควอนตัมรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเป็นเวกเตอร์สเปซn} $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

คำรหัส (คำศัพท์ที่ยืมมาจากทฤษฎีคลาสสิกของการแก้ไขข้อผิดพลาด) เป็นรัฐที่สำหรับบางรหัสพื้นที่: นั่นคือมันเป็นรัฐที่เข้ารหัสข้อมูลบางอย่าง $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัม

ในทางปฏิบัติเราต้องการคุณสมบัติที่ไม่สำคัญเพื่อเก็บรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมเช่น:

นั่นเพื่อให้มีการเข้ารหัสข้อมูลจำนวนไม่เป็นศูนย์; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
ว่ามีชุดอย่างน้อยสองผู้ประกอบการรวมทั้งผู้ดำเนินการเช่นนั้น - ถ้าเป็น orthogonal projector บน - เรามี สำหรับสเกลาร์บางตัว (รู้จักกันในชื่อเงื่อนไขKnill – Laflamme ) $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

สิ่งนี้กำหนดชุดของตัวดำเนินการข้อผิดพลาดบางอย่างซึ่งคุณสามารถป้องกันหลักการ , ในกรณีที่เงื่อนไข Knill – Laflamme เก็บชุดตัวดำเนินการและตัวดำเนินการบางตัวทำหน้าที่ในสถานะของคุณเป็นไปได้ในหลักการในการตรวจสอบความจริงที่ว่าได้เกิดขึ้น (ตรงข้ามกับโอเปอเรเตอร์อื่นใน ) และยกเลิกข้อผิดพลาดโดยไม่รบกวนข้อมูลที่เก็บไว้ในสถานะเดิม\ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมเป็นรหัสพื้นที่ , ร่วมกับชุดของผู้ประกอบการผิดพลาดซึ่งตามเงื่อนไข Knill-Laflamme - นั่นคือข้อผิดพลาดควอนตัมรหัสต้องระบุข้อผิดพลาดที่มันจะหมายถึงการป้องกันแก้ไข . $\mathcal C$ $\mathcal E$

เหตุใดจึงเป็นเรื่องปกติที่จะระบุรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมด้วยรหัสพื้นที่

คุณไม่สามารถกำหนดชุดของตัวดำเนินการที่ไม่ซ้ำกันซึ่งตรงตามเงื่อนไข Knill – Laflamme จาก code-spaceเพียงอย่างเดียว อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องธรรมดามากที่สุดที่จะต้องพิจารณาว่าตัวดำเนินการที่มีน้ำหนักเบาเพียงใด (ตัวดำเนินการที่มีจำนวน qubits เพียงเล็กน้อย) สามารถแก้ไขได้ด้วยรหัสพร้อมกันและขอบเขตนี้สามารถได้รับจากรหัสพื้นที่เพียงอย่างเดียว ระยะรหัสพื้นที่รหัสเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดของ qubits ที่คุณจะต้องทำหน้าที่ในการแปลงหนึ่ง "codeword"เป็นที่แตกต่างกัน codewordC หากเราอธิบายรหัสพื้นที่ว่าเป็น $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ โค้ดนี่บอกว่ามีมิติและเซตที่เราพิจารณาคือ ชุดของผู้ประกอบการ Pauli ทั้งหมดที่มีน้ำหนักมากที่สุด \ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

ในบางกรณีการอธิบายรหัสเป็นรหัสก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างเช่นรหัส 5-qubit เป็นรหัสและเป็นไปได้ที่จะแสดงว่าห้า qubits ไม่สามารถเข้ารหัส qubit เดียวในลักษณะที่ข้อผิดพลาดอื่น ๆสามารถแก้ไขได้ นอกเหนือจากข้อผิดพลาดแบบควิบิตเดียวทั้งหมด อย่างไรก็ตามสิ่งเดียวกันนี้ไม่เป็นความจริงของรหัส Steaneซึ่งสามารถป้องกันข้อผิดพลาด Pauli เดียว qubit เดียวรวมทั้งข้อผิดพลาด Pauli สองบางส่วน (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ข้อผิดพลาด Pauli สองบิตใดที่คุณควรทำ $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ ป้องกันขึ้นอยู่กับรุ่นข้อผิดพลาดของคุณคืออะไร; และถ้าเสียงของคุณสมมาตรและกระจายอย่างอิสระมันจะไม่สำคัญกับสิ่งที่คุณเลือก (ดังนั้นคุณน่าจะเลือกแบบทั่วไปของข้อผิดพลาดใด ๆ เดียวพร้อมกับข้อผิดพลาดใด ๆ) อย่างไรก็ตามเป็นตัวเลือกและเป็นตัวเลือกที่จะเป็นแนวทางในการปกป้องข้อมูลของคุณจากเสียงรบกวน $X$ $Z$

รหัสโคลง

โคลงโค้ดเป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมที่กำหนดโดยชุดของเครื่องกำเนิดโคลงซึ่งเป็นตัวดำเนินการ Pauli ซึ่งเดินทางกับอีกคนหนึ่งและกำหนดรหัสพื้นที่ -โดยการแยกของ (มันมักจะเป็นประโยชน์ในการพิจารณากลุ่มโคลงเกิดจากผลิตภัณฑ์ของ ) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

เกือบทั้งหมดรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมที่คนพิจารณาในทางปฏิบัติเป็นรหัสโคลง นี่คือเหตุผลหนึ่งว่าทำไมคุณอาจมีปัญหาในการแยกคำสองคำ อย่างไรก็ตามเราไม่ต้องการให้รหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมเป็นรหัสโคลง - ตามหลักการที่เราไม่ต้องการให้รหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบดั้งเดิมเป็นรหัสเชิงเส้น รหัส Stabilizer เป็นวิธีที่ประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมเช่นเดียวกับรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงเส้นเป็นวิธีที่ประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดแบบดั้งเดิม และแน่นอนว่าโคลงรหัสสามารถถือได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีของรหัสเชิงเส้นคลาสสิกเพื่อการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัม

เนื่องจากผู้คนมักให้ความสนใจกับตัวดำเนินการที่มีน้ำหนักเบาซึ่งน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของระยะห่างของรหัสชุดโคลงที่มักจะทุกคนพูดถึงรหัสการแก้ไขโคลง อย่างไรก็ตามเพื่อระบุชุดของข้อผิดพลาดซึ่งรหัสสามารถป้องกันได้มีความจำเป็นต้องระบุความสัมพันธ์ระหว่างผู้ดำเนินการผลิตภัณฑ์ Pauliและส่วนย่อยเช่นนั้น $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ anticommutes กับถ้าหากว่าสำหรับ ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
ถ้าทั้งความพึงพอใจและแล้ว\ $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

สิ่งนี้กำหนด setของข้อผิดพลาดที่รหัสสามารถป้องกันได้ ชุดย่อยเรียกว่ากลุ่มอาการข้อผิดพลาดและความสัมพันธ์ที่ฉันเรียกว่าที่นี่ (ซึ่งคุณมักจะไม่เห็นชื่อที่ชัดเจน) เชื่อมโยงกลุ่มอาการข้อผิดพลาดอย่างน้อยหนึ่งข้อซึ่งเป็นสาเหตุของโรคนั้น และมีผลกระทบต่อรหัสเทียบเท่า

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

'ซินโดรม' เป็นตัวแทนของข้อมูลที่สามารถได้รับจริงเกี่ยวกับข้อผิดพลาดโดย 'การวัดที่สอดคล้องกัน' - นั่นคือโดยการวัดค่าตัวดำเนินการในฐานะที่เป็นสิ่งที่สังเกตได้ (กระบวนการซึ่งโดยทั่วไปแล้ว ข้อผิดพลาดของ 'ทำให้เกิด' กลุ่มอาการของโรคถ้าสำหรับคำรหัสใด ๆรัฐอยู่ใน eigenspace ของทั้งหมด ผู้ประกอบการและใน -eigenspace ของผู้ประกอบการอื่น ๆ ทั้งหมดในS (คุณสมบัตินี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับ anticommutation ของกับองค์ประกอบทั้งหมดของ $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ และองค์ประกอบเหล่านั้นเท่านั้น)

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

ในย่อหน้าที่สองของคุณคุณบอกว่าคำว่ารหัสคือสถานะในคือสถานะที่เข้ารหัสข้อมูลบางส่วน คุณกำลังพูดในสิ่งที่คำตอบอื่น ๆ ดูเหมือนว่าจะพูดว่า - คือ codewords เป็นรัฐเหล่านั้นเราเชื่อมโยงกับตรรกะเช่นและ\ หรือว่าโดยทั่วไปสถานะใด ๆ ในเรียกว่าคำรหัส?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— สปาเกตตี้ควอนตัม

คำศัพท์อาจแตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นคุณอ่านวิทยานิพนธ์ของ Gottesman และเขาพูดถึงคำรหัสที่เป็นสถานะที่ถูกต้องในพื้นที่รหัสและเขาแยก 'รหัสคำพื้นฐาน' เป็นตรรกะ 0 และ 1

— DaftWullie

@QuantumSpaghettification: เป็น DaftWullie แนะนำผมหมายถึงรัฐใด ๆ ในC บ่อยครั้งเป็นความผิดพลาดที่จะหมกมุ่นอยู่กับมาตรฐานมากเกินไป ในอดีตมันง่ายที่สุดในการอธิบาย QECC โดยอ้างอิงถึงช่วงของสองสถานะเฉพาะและเพื่ออธิบายคุณสมบัติการแก้ไขในแง่ของสองสถานะ ทฤษฎีของโคลงโค้ดทำให้คำอธิบายประเภทนี้ไม่จำเป็นและช่วยให้คุณมีความยืดหยุ่นกับกรอบอ้างอิงเชิงตรรกะคืออะไรดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะหลีกเลี่ยงการกำหนดสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะที่เน้นมาตรฐานเป็นหลัก

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap ขออภัยที่ต้องกลับมาที่โพสต์นี้อีกหนึ่งเดือนต่อมา ฉันถูกต้องในการบอกว่าการทำแผนที่อาจเป็นแบบหนึ่งต่อหลายคนหากผลของข้อผิดพลาดใน "คำรหัสพื้นฐาน" แย่ลง ฉันคิดว่าขั้นตอนการพลิกรหัสของชอร์

μ

$\mu$

— สปาเกตตี้ควอนตัม

@QuantumSpaghettification: ตามที่ฉันได้อธิบายไว้ที่นี่จริง ๆ แล้วมันจำเป็นที่จะต้องเป็นสิ่งที่มีค่ามากมายสำหรับ setเพื่อทำงานที่ฉันได้อธิบายไว้สำหรับรหัสที่แย่ลง --- ซึ่งคือ ไม่ใช่สิ่งที่ฉันตั้งใจ ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉันในไม่ช้า

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap

คำรหัส (สำหรับรหัสควอนตัม) เป็นสถานะควอนตัมที่มักจะเกี่ยวข้องกับรัฐในตรรกะพื้นฐาน ดังนั้นคุณจะมีสถานะที่สอดคล้องกับสถานะ 0 ของ qubit ที่จะถูกเข้ารหัส (คุณไม่ต้องใช้ qubits แต่คุณอาจเป็น) และคุณจะมีอีกที่สอดคล้องกับ 1 สถานะของ qubit ที่จะเข้ารหัส $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

พื้นที่โค้ดคือช่องว่างที่ถูกครอบคลุมโดยคำของโค้ดนั่นคือพื้นที่ทั้งหมดสำหรับทั้งหมดที่เป็นไปได้และ (ปรับให้เป็นมาตรฐาน) $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

โคลงโค้ดเป็นพิธีการหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับการบอกคุณถึงวิธีการทำงานของคำรหัสและพื้นที่โค้ด สำหรับโค้ด [[n, k, d]] คุณจะได้รับตัวดำเนินการเอ็นโคลง ( ) ที่เดินทางร่วมกันและดำเนินการกับ n qubits ใด ๆ ของรัฐในพื้นที่ตอบสนองรหัสSคุณจะต้องมีโอเปอเรเตอร์และสำหรับที่เดินทางไปกับตัวปรับความคงตัวแต่ anticommute แบบสำหรับการห้อย สิ่งเหล่านี้กำหนดตัวดำเนินการ Logical Pauli สำหรับรหัสและคำของรหัสจึงเป็นสถานะที่ตอบสนอง $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ Z_m

— DaftWullie
แหล่งที่มา

ในรหัสข้อผิดพลาดควอนตัมการแก้ไขคุณเก็บจำนวนของตรรกะ qubits,ในรัฐ qubits ทางกายภาพหลายn $k$ $n$

รหัสคำคือสถานะของฟิสิคัล qubits ที่เชื่อมโยงกับสถานะโลจิคัลที่เจาะจง ตัวอย่างเช่นอย่างไรก็ตามคุณเก็บสถานะสำหรับหนึ่งใน qubits เชิงตรรกะของคุณคือคำรหัส $|0\rangle$

พื้นที่โค้ดคือพื้นที่ Hilbert ที่ถูกขยายโดยคำที่เป็นไปได้ทั้งหมด สำหรับโค้ดตัวโคลงคำศัพท์นี้มีความหมายเหมือนกันกับพื้นที่ของตัวโคลง สถานะใด ๆ ภายในพื้นที่โค้ดนี้คือคำของโค้ด

โคลงโค้ดเป็นรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมที่อธิบายโดยพิธีการโคลง พื้นที่โคลงถูกกำหนดให้เป็น eigenspace ร่วมกันของเดินทางร่วมกันและผลิตภัณฑ์เทนเซอร์อิสระของผู้ประกอบการ Pauli $+1$ $n-k$

— James Wootton
แหล่งที่มา