มีทั้งหมด

ทฤษฎีบท 2 ของ [1] ฯ :

สมมติ $C$ เป็นรหัสย่อยเสริมแบบตั้งฉากของตัวเอง $\textrm{GF}(4)^n$ที่มี $2^{n-k}$ เวกเตอร์ดังกล่าวไม่มีน้ำหนักเวกเตอร์ $<d$ ใน $C^\perp/C$. จากนั้น eigenspace ใด ๆ ของ$\phi^{-1}(C)$ เป็นรหัสแก้ไขควอนตัมแก้ไขข้อผิดพลาดด้วยพารามิเตอร์ $[[n, k, d]]$.

ที่นี่ที่ไหน $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ เป็นแผนที่ระหว่างการแสดงเลขฐานสองของ $n$- ตัวดำเนินการ Pauli และ codeword ที่เกี่ยวข้องและ $C$เป็นมุมฉากตนเองถ้า$C \subseteq C^\perp$ ที่ไหน $C^\perp$ เป็นคู่ของ $C$.

สิ่งนี้บอกเราว่าแต่ละมุมฉากเสริมตัวเอง $\textrm{GF}(4)^n$ รหัสคลาสสิกแสดงให้เห็นถึง $[[n, k, d]]$ รหัสควอนตัม

คำถามของฉันคือว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริงหรือไม่นั่นคือ: คือทุกคน$[[n, k, d]]$ รหัสควอนตัมที่แสดงโดยตัวเอง orthogonal เพิ่มเติม $\textrm{GF}(4)^n$ รหัสคลาสสิก?

หรือเทียบเท่า: มี$[[n, k, d]]$ รหัสควอนตัมที่ไม่ได้แสดงด้วยตนเอง - orthogonal เพิ่มเติม $\textrm{GF}(4)^n$ รหัสคลาสสิก?

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "การแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมด้วยรหัสผ่าน GF (4)" ธุรกรรม IEEE บนทฤษฎีข้อมูล 44.4 (1998): 1369-1387

ข้อ จำกัด ของตัวเอง - orthogonal ในรหัสคลาสสิคเพื่อสร้างโคลงควอนตัมรหัสเป็นสิ่งจำเป็นเพราะความจริงที่ว่าเครื่องปั่นไฟต้องเดินทางระหว่างเครื่องปั่นไฟเพื่อสร้างรหัสพื้นที่ที่ถูกต้อง เมื่อสร้างรหัสควอนตัมจากรหัสคลาสสิกความสัมพันธ์ในการแลกเปลี่ยนสำหรับความคงตัวนั้นเทียบเท่ากับการมีรหัสคลาสสิกแบบมุมฉากตนเอง

อย่างไรก็ตามรหัสควอนตัมสามารถสร้างได้จากรหัสคลาสสิกที่ไม่ได้ตั้งฉากกับตัวเองมากกว่า $GF(4)^n$โดยใช้วิธีการพัวพัน - ช่วยเหลือ ในสิ่งปลูกสร้างนี้จะเลือกรหัสคลาสสิกตามอำเภอใจและโดยการเพิ่มคู่เบลล์ในระบบ qubit จะได้รับการแลกเปลี่ยนระหว่างความคงตัว

กระบวนทัศน์ที่มีพัวพันช่วยในการสร้าง QECCs จากรหัสคลาสสิกใด ๆ ที่นำเสนอในarXiv: 1610.04013ซึ่งจะขึ้นอยู่กับกระดาษ

คำถามของคุณในบางส่วนถือเป็นประเด็นที่น่าสังเกต

สัญกรณ์ $[[n,k,d]]_D$มักจะ (แต่ไม่เสมอไป) สงวนไว้สำหรับรหัสประเภทโคลง เมื่อกระดาษโดย Calderbank et al แสดงให้เห็นว่ารหัสโคลงสั้นของ qubit นั้นเทียบเท่ากับรหัสดั้งเดิม (self-orthogonal GF) ที่เพิ่มขึ้น (4) ^ n การก่อสร้างทั่วไปวางไว้ที่จุดอ้างอิง Ketkar et al. และAshikhmin และ Knill ที่นี่มิติของรหัสคือ$D^k$ สำหรับ quDits

ผู้เขียนบางคนใช้ $((n,K,d))_D$ เพื่อแสดงถึงรหัส (โคลงและไม่ใช่โคลง) ที่มีมิติ $K$. สังเกตได้ว่า$K$ ไม่จำเป็นต้องเป็นพลังของ $D$.

ฝนและอื่น ๆ เป็นคนแรกที่สร้าง$((5,6,2))$ โค้ดที่ไม่ใช่ประเภทโคลงและเป็นสิ่งที่พิสูจน์ได้ดีกว่าโคลงโค้ดใด ๆ ในห้า qubits: ในการเปรียบเทียบสิ่งที่ดีที่สุดมีพารามิเตอร์ $[[5,2,2]]$และเป็นมิติ $2^2 = 4 < 6$. คุณจะพบตัวอย่างเพิ่มเติมสำหรับรหัสควอนตัมที่ไม่ใช่สารเติมแต่งในYu และคณะ , Smolin และคณะ และGrassl เบ ธ