^{หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์: คำว่า "hamiltonian" ถูกใช้ในคำถามนี้เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับเมทริกซ์ชาวเฮอร์มิเนียน}

อัลกอริทึม HHL ดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่ใช้งานอยู่ของการวิจัยในด้านการคำนวณควอนตัมส่วนใหญ่เป็นเพราะมันแก้ปัญหาที่สำคัญมากซึ่งคือการหาวิธีการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นของสมการ

ตามขั้นตอนวิธี Quantumกระดาษต้นฉบับสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009)และคำถามบางคำถามที่ถามในเว็บไซต์นี้

• การประมาณเฟสควอนตัมและอัลกอริทึม HHL - ต้องมีความรู้เกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะหรือไม่
• อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (HHL09): ขั้นตอนที่ 2 - การจัดทำสถานะเริ่มต้นและ| ข$\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

อัลกอริทึม HHL นั้น จำกัด เฉพาะบางกรณี นี่คือบทสรุป (ซึ่งอาจไม่สมบูรณ์!) ของคุณลักษณะของอัลกอริทึม HHL:

อัลกอริทึม HHL

อัลกอริทึม HHL แก้ระบบเชิงเส้นของสมการ

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับ :$A$

• ความต้องการที่จะเป็นเทียน (และผลงานของแมทริกซ์เทียนดูการสนทนานี้ในการสนทนา)$A$
• ค่าลักษณะเฉพาะของ Aจำเป็นต้องอยู่ใน [ 0 , 1 ) (ดูการประมาณระยะควอนตัมและอัลกอริทึม HHL - ความรู้เกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะที่ต้องการหรือไม่)$A$$[0,1)$
• $e^{iAt}$จะต้อง implementable ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในขณะนี้เมทริกซ์ที่รู้จักเท่านั้นที่ตอบสนองคุณสมบัตินี้คือ:
  • hamiltonians ท้องถิ่น (ดูUniversal Quantum Simulators (Lloyd, 1996) )
  • hamiltonians หยาบ (ดูการสร้างสถานะควอนตัม Adiabatic และความรู้เกี่ยวกับสถิติเป็นศูนย์ (Aharonov & Ta-Shma, 2003))$s$

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับ :$\vert b \rangle$

• $\vert b \rangle$ควรเตรียมได้อย่างมีประสิทธิภาพ นี่เป็นกรณีสำหรับ:
  1. นิพจน์เฉพาะของ ⟩ ตัวอย่างเช่นรัฐ| b ⟩ = n ⨂ i = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. เป็นตัวแทนของการกระจายความน่าจะเป็นแบบรวมได้อย่างมีประสิทธิภาพ discretisation (ดูการสร้าง superpositions ที่สอดคล้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบรวมได้อย่างมีประสิทธิภาพ (Grover & Rudolph, 2002))$\vert b \rangle$

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับ (เอาต์พุต):$\vert x \rangle$

• $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

คำถาม: คำนึงถึงทั้งหมดข้อ จำกัด เหล่านี้และจินตนาการว่าเราอยู่ในปี 2050 (หรืออาจจะในปี 2568 ใครจะรู้?) กับชิปควอนตัมขนาดใหญ่ทนต่อความผิดพลาด (เช่นเราไม่ได้ถูก จำกัด ด้วยฮาร์ดแวร์) ปัญหาโลกแห่งความจริง อัลกอริทึม HHL สามารถแก้ไขได้หรือไม่ (รวมถึงปัญหาที่ HHL ใช้เป็นรูทีนย่อยเท่านั้น)

ฉันรู้กระดาษวิเคราะห์ทรัพยากรคอนกรีตของควอนตัมเชิงเส้นขั้นตอนวิธีการระบบที่ใช้ในการคำนวณกระเจิงแม่เหล็กไฟฟ้าตัดขวางของเป้าหมาย 2D (เรอร์ Valiron, เมา, อเล็กซานเด van den Berg & Chapuran 2016)และจากการดำเนินงานที่สอดคล้องกันในการเขียนโปรแกรมภาษา Quipperและฉันกำลังมองหาตัวอย่างจริงของโลกอื่น ๆ ที่ HHL จะบังคับในทางปฏิบัติ ผมไม่จำเป็นต้องมีการตีพิมพ์ไม่ได้กระดาษที่ไม่ได้เผยแพร่ผมแค่อยากจะมีตัวอย่างบางส่วนของโลกแห่งความจริงกรณีการใช้งาน

แก้ไข:

แม้ว่าฉันจะสนใจในทุกกรณีการใช้งานฉันต้องการตัวอย่างที่ HHL ใช้โดยตรงเช่นไม่ได้ใช้เป็นรูทีนย่อยของอัลกอริทึมอื่น

ฉันสนใจตัวอย่างระบบเชิงเส้นมากขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากการแยกส่วนของตัวดำเนินการส่วนต่างที่สามารถแก้ไขได้ด้วย HHL

แต่ให้ฉันเน้นอีกครั้งหนึ่งที่ฉันสนใจโดยการใช้งานทุกกรณี (ซับรูทีนหรือไม่) คุณรู้เกี่ยวกับ

สองสามปีที่ผ่านมามันถูกแสดงในอัลกอริทึมควอนตัมและวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์โดย Montanaro และ Pallister ว่าอัลกอริทึม HHL สามารถนำไปใช้กับวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ (FEM) ซึ่งเป็น"เทคนิคสำหรับการหาตัวเลขประมาณ problems (BVPs) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนโดยใช้การแยกพื้นที่พารามิเตอร์ผ่านทาง finite mesh "ตาข่าย"

พวกเขาแสดงให้เห็นว่าในบริบทนี้ HHL สามารถนำมาใช้เพื่อให้บรรลุ (อาจจะมากที่สุด) การเร่งความเร็วพหุนามมากกว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมมาตรฐาน ("วิธีการไล่ระดับสีคอนจูเกต"

ด้วยความเคารพต่อกรณีการใช้งานจริงพวกเขากล่าวว่า

$n$

$A$

Rebentrost และคณะ เมื่อเร็ว ๆ นี้ใช้อัลกอริทึม HHL09 ในกระดาษA Quantum Hopfield Neural Network (2018)ของพวกเขาเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการทำงานด้านพลังงานของเครือข่าย Hopfield

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

ในระยะสั้นฉันเชื่อว่าเมื่อเรามีคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่มีจำนวน qubits และเวลา decoherence เพียงพออัลกอริทึม HHL จะเป็นหนึ่งในรูทีนย่อยที่มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับอัลกอริทึมการเรียนรู้เครื่องควอนตัมใด ๆ อัลกอริทึมเกี่ยวข้องกับรูปแบบ "การไล่ระดับสี" หรือ "การปรับให้เหมาะสม" บางรูปแบบ)