รัฐควอนตัมเป็นเวกเตอร์หน่วย…ด้วยความเคารพต่อมาตรฐานใด?

15

คำจำกัดความทั่วไปที่สุดของสถานะควอนตัมที่ฉันพบคือ (การปรับปรุงคำนิยามใหม่จากWikipedia )

สถานะควอนตัมแสดงโดยเรย์ในพื้นที่ฮิลแบร์ตที่มีขอบเขต จำกัด หรือไม่มีมิติเหนือจำนวนเชิงซ้อน

นอกจากนี้เรารู้ว่าในเพื่อที่จะได้เป็นตัวแทนที่มีประโยชน์ที่เราต้องให้แน่ใจว่าเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของรัฐควอนตัมเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

แต่ในคำจำกัดความข้างต้นพวกเขาไม่ได้แม่นยำบรรทัดฐาน (หรือผลิตภัณฑ์สเกลาร์) ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ Hilbert ที่พิจารณา ได้อย่างรวดเร็วครั้งแรกที่ผมคิดว่าเป็นบรรทัดฐานไม่ได้เป็นสิ่งที่สำคัญจริงๆ แต่ฉันรู้ว่าเมื่อวานนี้ว่าเป็นบรรทัดฐานได้ทุกที่ได้รับการแต่งตั้งให้เป็นบรรทัดฐาน Euclidian (2 บรรทัดฐาน) แม้แต่สัญกรณ์bra-ket ก็ดูเหมือนจะถูกสร้างขึ้นมาโดยเฉพาะสำหรับบรรทัดฐานยูคลิด

คำถามของฉัน:เหตุใดจึงใช้บรรทัดฐาน Euclidian ทุกที่? ทำไมไม่ใช้บรรทัดฐานอื่น Euclidian norm มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์ที่สามารถใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมที่คนอื่นไม่ได้หรือไม่?

— Nelimee
แหล่งที่มา

2

ที่จริงฉันแค่อยากจะเพิ่มความคิดเห็น แต่ฉันไม่มีชื่อเสียง: โปรดทราบว่าในขณะที่คุณเขียนคำถามของคุณ - สถานะควอนตัมเป็นรังสีในพื้นที่ฮิลแบร์ต นี่หมายความว่าพวกมันไม่ได้ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน แต่เป็นเวกเตอร์ทั้งหมดในอวกาศของฮิลแบร์ตที่ชี้ไปในทิศทางเดียวกันนั้นเทียบเท่ากัน มันสะดวกกว่าที่จะทำงานกับสถานะปกติ แต่จริง ๆ แล้วฟิสิกส์นั้นซ่อนอยู่ในที่ซ้อนทับกันของสถานะซึ่งกันและกัน มันเป็นเพราะเหตุนี้ที่ไม่มีบรรทัดฐานในปัจจุบันในคำจำกัดความของรัฐ

— Omri Har-Shemesh

6

กฎของบอร์นระบุว่าซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่จะหาระบบควอนตัมในรัฐหลังจากการวัด เราต้องการผลรวม (หรืออินทิกรัล!) เหนือทั้งหมดเป็น 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

ทั้งสองอย่างนี้เป็นบรรทัดฐานที่ถูกต้องเพราะไม่เหมือนกัน คุณสามารถทำให้มันเป็นเนื้อเดียวกันโดยการทำสแควร์รูท:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

และคุณอาจรับรู้ว่าสิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานแบบยุคลิดและความเห็นทั่วไปของบรรทัดฐานแบบยุคลิดที่เป็นโดเมนไม่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้บรรทัดฐานอื่น:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

สำหรับเมทริกซ์ / ฟังก์ชัน A. เชิงบวกที่แน่นอน

อย่างไรก็ตาม-norm กับจะไม่เป็นประโยชน์เพราะตัวอย่างเช่น: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

ไม่จำเป็นต้องเป็น 1

ด้วยวิธีนี้กฎเกณฑ์ยูคลิดจึงมีความพิเศษเพราะ 2 คือพลังในการปกครองของเกิดซึ่งเป็นหนึ่งในสมมุติฐานของกลศาสตร์ควอนตัม

— user1271772
แหล่งที่มา

คำตอบนี้จะเกี่ยวข้องกับความคิดเห็นของฉันบน@ DaftWullie หนึ่ง ดังนั้นการใช้ยูคลิเดียนนอร์มนั้นใช้เพราะหลักของการวัดบอกเราว่ามันเป็นเพียง norm ที่ถูกต้อง?

p

$p$

— Nelimee

2

มันเป็น p-norm เพียงอย่างเดียวที่มีความหมาย เราต้องการผลรวมของความน่าจะเป็น 1 (ซึ่งเป็นกฎคณิตศาสตร์) และความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยกำลังสองของฟังก์ชันคลื่น (ซึ่งเป็นสมมุติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมที่เรียกว่ากฎของ Born)

— user1271772

@Nelimee: ขอบคุณสำหรับข้อความของคุณในการแชท ฉันไม่สามารถตอบได้เพราะฉันถูกแบนไม่ให้แชทอีก 2 วัน เหตุผลสำหรับคำตอบแรกคือเพราะฉันอ่านคำถามของคุณ "เหตุใดจึงใช้บรรทัดฐาน Euclidian ทุกที่ทำไมไม่ใช้บรรทัดฐานอื่น" และทันทีที่พิจารณาถึงกรณีที่บรรทัดฐานที่ถูกต้องไม่ใช่บรรทัดฐานแบบยุคลิด แต่เป็นอีก 2- บรรทัดฐานซึ่งเป็น 2- บรรทัดฐานในชุดตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง ฉันคิดว่ามันเพียงพอที่จะอธิบายว่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดไม่ได้เป็นบรรทัดฐานที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวและทำไมจึงใช้แบบบรรทัดฐานแบบยุคลิดเมื่อมันเป็นเช่นนั้น แต่เมื่อฉันสังเกตเห็น daftwullie ได้ upvote และฉันไม่ได้ฉัน

— user1271772

2

ดังนั้นคำตอบของคุณคือ "เพราะกฎของ Born" นั่นไม่ใช่แค่ย้ายคำถามไปที่ "ทำไมกฎของบอร์ถึงใช้กำลังของ 2?"

— DaftWullie

1

ดูเหมือนว่า "สิ่งที่มาก่อนไก่หรือไข่?" กรณี.

— user1271772

8

คำศัพท์บางคำดูเหมือนจะสับสนเล็กน้อยที่นี่ สถานะควอนตัมเป็นตัวแทน (ภายในขอบเขตมิติของฮิลแบร์ตปริภูมิ) โดยเวกเตอร์ที่ซับซ้อนของความยาว 1 โดยที่ความยาวถูกวัดโดยบรรทัดฐานแบบยุคลิด พวกมันไม่ใช่การรวมเข้าด้วยกันเพราะการรวมกันเป็นการจำแนกเมทริกซ์ไม่ใช่เวกเตอร์

สถานะควอนตัมมีการเปลี่ยนแปลง / พัฒนาตามเมทริกซ์บางส่วน ระบุว่ารัฐควอนตัมมีความยาว 1 มันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่แผนที่ของรัฐที่บริสุทธิ์ไปยังรัฐที่บริสุทธิ์จะถูกอธิบายโดยเมทริกซ์รวมกัน เหล่านี้เป็นเมทริกซ์เดียวที่รักษาบรรทัดฐาน (Euclidean)

แน่นอนว่าเป็นคำถามที่ถูกต้อง "เราสามารถใช้บรรทัดฐาน( ) อื่นสำหรับสถานะควอนตัมของเราได้หรือไม่" หากคุณจัดประเภทการดำเนินการที่แมปสถานะที่ทำให้เป็นบรรทัดฐานเป็นรัฐที่ทำให้เป็นบรรทัดฐานพวกมันจะถูก จำกัด อย่างไม่น่าเชื่อ ถ้าการดำเนินการที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง (ที่มีเฟสต่างกันในแต่ละองค์ประกอบ) ฟิสิกส์น่าเบื่อมากขึ้น $p$ $p\neq 2$

วิธีที่ดีในการทำความเข้าใจสำหรับสิ่งนี้คือลองวาดชุดแกนสองมิติ วาดรูปร่างที่สอดคล้องกับชุดของจุดความยาว 1 ภายใต้ -norms ที่แตกต่างกัน ให้วงกลม,ให้เพชรกับคุณและให้สี่เหลี่ยม คุณสามารถทำอะไรที่แมปรูปร่างลงบนตัวเอง สำหรับวงกลมมันคือการหมุนใด ๆ สำหรับสิ่งอื่นก็เพียงหมุนโดยหลายรายการ 2 ต่อไปนี้มาจาก Wikipedia: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

หากคุณต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมที่คุณอาจต้องการที่จะดูที่นี่

— DaftWullie
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำศัพท์เฉพาะทาง! คุณพูดถูกฉันทำผิดเงื่อนไข

— Nelimee

อย่างไรก็ตามคำถามนั้นใช้ได้ตราบใดที่คุณแทนที่ "unitary" โดย "unit vector"

— user1271772

แต่คำตอบนี้ไม่ตอบว่าทำไมเราถึงใช้บรรทัดฐานยูคลิด ฉันเข้าใจว่าบรรทัดฐานอื่น ๆ นั้นไม่สะดวก แต่เราไม่สามารถควบคุมสิ่งที่ "สะดวก" ในกฎหมายฟิสิกส์ได้และเราไม่ได้ทำอะไร?

— Nelimee

@Nemee มันไม่สะดวก นั่นคือการดำเนินการจำนวนมากไม่มีอยู่หากคุณไม่ได้ใช้ 2-norm การดำเนินการเช่นสแควร์รูทซึ่งเราสามารถออกไปทำการทดลองและสังเกตการณ์ได้ ดังนั้นจึงไม่รวมทุกอย่างยกเว้น 2 บรรทัดฐาน

— DaftWullie

1

เช่นเดียวกับฟิสิกส์ทั้งหมด! ทฤษฎีทั้งหมดเป็นทฤษฎีที่เหมาะสมกับข้อมูลที่มี

— DaftWullie

5

เพิ่มเติมทางคณิตศาสตร์เพราะกับบรรทัดฐานเป็นพื้นที่ Hilbert เฉพาะสำหรับ 2 $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Federico Poloni
แหล่งที่มา

ฉันยกระดับคำตอบของคุณ (ซึ่งเป็นคำตอบแรกที่ดีเยี่ยมสำหรับ QCSE!) แต่มันจะต้องเป็น 2 บรรทัดฐานหรือไม่? คุณกำลังบอกว่า 1-norm และ 3-norm นั้นไม่ถูกต้อง แต่สิ่งที่เกี่ยวกับบรรทัดฐานในคำตอบของฉันซึ่งเป็นสแควร์ของ 2-norm?

— user1271772

3

@ user1271772 ขอบคุณ! ถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องฟังก์ชันที่คุณแนะนำไม่ได้เป็นบรรทัดฐานเวกเตอร์เพราะมันไม่เหมือนกัน

— Federico Poloni

2

อย่างไรก็ตามสิ่งที่คุณแนะนำเป็นจริง: หนึ่งสามารถสร้างโครงสร้างพื้นที่ Hilbert กับที่แตกต่างกันบรรทัดฐานกว่าบรรทัดฐาน (แม้ว่าไม่ได้กับบรรทัดฐานในสถานที่ของ 2 บรรทัดฐาน) ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ: เลือกใด ๆ บวกแน่นอนเมทริกซ์และใช้บรรทัดฐานขวาน}

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

— Federico Poloni

มันเป็นเนื้อเดียวกันกับทำไมต้องเป็น ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

@ user1271772เป็นข้อกำหนดในข้อกำหนด หนึ่งในสัจพจน์ของเวกเตอร์บรรทัดฐานคือ2 p (av) = | a | p (v) (เป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์หรือปรับขนาดได้อย่างแน่นอน) (ตรวจสอบสำหรับการอ้างอิงอย่างรวดเร็วหน้า Wikipedia ที่ฉันลิงค์ด้านบน) แน่นอนว่าเป็นเพียงการโต้แย้งที่รุนแรง "เพราะมันเป็นเช่นนั้น" และฉันเข้าใจว่านักฟิสิกส์อาจต้องการเหตุผลทางกายภาพมากกว่า

k = 1

$k=1$

— Federico Poloni

4

เราสามารถสร้างอาร์กิวเมนต์ที่สง่างามได้โดยถามว่าทฤษฎีใดที่เราสามารถสร้างได้ซึ่งอธิบายโดย vectorsซึ่งการแปลงที่อนุญาตคือแผนที่เชิงเส้น , ความน่าจะเป็น ที่กำหนดโดยบรรทัดฐานบางอย่างและความน่าจะเป็นต้องได้รับการเก็บรักษาโดยแผนที่เหล่านั้น $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

ปรากฎว่ามีเพียงสามตัวเลือกโดยทั่วไป:

ทฤษฎีที่กำหนดขึ้น จากนั้นเราไม่ต้องการเวกเตอร์เหล่านั้นเนื่องจากเรามักจะอยู่ในสถานะหนึ่งเสมอนั่นคือเวกเตอร์คือและสิ่งที่คล้ายกันและของเป็นเพียงการเรียงสับเปลี่ยนเท่านั้น $(0,1,0,0,0)$ $L$
ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก ที่นี่เราใช้แผนที่ -norm และ stochastic มีความน่าจะเป็น $1$ $v_i$
กลศาสตร์ควอนตัม ที่นี่เราใช้การแปลงแบบรูปแบบและรวมกัน มีความกว้างของคลื่น $2$ $v_i$

นี่เป็นเพียงความเป็นไปได้เท่านั้น สำหรับบรรทัดฐานอื่น ๆ ไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่น่าสนใจ

หากคุณต้องการคำอธิบายรายละเอียดมากขึ้นและมีความสุขในการนี้สกอตต์ Aaronson ของ "ควอนตัมคอมพิวเตอร์ตั้งแต่ Democritus" มีการบรรยายในครั้งนี้เช่นเดียวกับกระดาษ

— Norbert Schuch
แหล่งที่มา

2

คำตอบอื่น ๆ ได้อธิบายว่าทำไมในแง่ของพื้นที่จะใช้ แต่ไม่ใช่การกำหนดน้ำหนัก $p=2$ $L^p$

คุณสามารถใส่ในเทียนบวกแน่นอนเมทริกซ์เพื่อที่ว่าผลิตภัณฑ์ภายในเป็นy_j แต่นั่นไม่ได้ทำให้คุณได้รับมาก นี่เป็นเพราะคุณอาจเปลี่ยนแปลงตัวแปรเช่นกัน เพื่อความสะดวกพิจารณากรณีที่เป็นเส้นทแยงมุม กับกรณีที่เส้นทแยงมุมที่จะตีความน่าจะเป็นแทน 2ดังนั้นทำไมไม่เพียงแค่เปลี่ยนตัวแปรx_i คุณสามารถคิดว่านี้เป็นฟังก์ชั่นในพื้นที่ของจุดซึ่งแต่ละจุดจะมีน้ำหนักโดย{} $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

สำหรับกรณีของตัวแปร 1 ตัวต่อเนื่องคุณสามารถใช้เช่นกัน แค่ปรับความยาวใหม่ นั่นคือพื้นที่ Hilbert ที่ดีอย่างสมบูรณ์แบบ แต่ปัญหาคือการแปลควรจะเป็นสมมาตรและจะแตก ดังนั้นอาจใช้เช่นกัน เพื่อวัตถุประสงค์บางอย่างที่สมมาตรไม่เป็นปัจจุบันเพื่อให้คุณจะมี1 $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

ในบางกรณีมันมีประโยชน์ที่จะไม่ย้ายไปยังแบบฟอร์มมาตรฐาน มันวนรอบวิธีการคำนวณบางอย่าง ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังทำตัวเลขบางอย่างคุณสามารถลดข้อผิดพลาดของคุณโดยการปรับรูปแบบใหม่เพื่อหลีกเลี่ยงจำนวนน้อยหรือจำนวนมากที่เครื่องของคุณพบว่ายาก

สิ่งที่ยุ่งยากคือการทำให้แน่ใจว่าคุณได้ติดตามเมื่อคุณเปลี่ยนตัวแปรและเมื่อคุณไม่ได้ทำ คุณไม่ต้องการสับสนระหว่างการเปลี่ยนเป็นผลิตภัณฑ์ภายในมาตรฐานที่ทำบางอย่างรวมกันและเปลี่ยนแปลงตัวแปรกลับไปเทียบกับพยายามทำในขั้นตอนเดียว คุณมีแนวโน้มที่จะวางปัจจัยของฯลฯ โดยไม่ได้ตั้งใจดังนั้นโปรดระมัดระวัง $\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
แหล่งที่มา

-1

บรรทัดฐานในยุคลิดพื้นที่มิติตามที่กำหนดไว้ที่นี่เป็นไม่ปกติใช้สำหรับรัฐควอนตัม $n$

ไม่จำเป็นต้องกำหนดสถานะควอนตัมในอวกาศฮิลแบร์ต n- มิติตัวอย่างเช่นสถานะควอนตัมสำหรับออสซิลโล 1D ฮาร์มอนิกคือฟังก์ชั่นซึ่งออร์โธ -กำหนดไว้โดย: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

ถ้าเราได้รับ: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

เนื่องจากความน่าจะเป็นทั้งหมดจะต้องเป็น 1
ถ้าเราได้ 0 หมายความว่าฟังก์ชันเป็นมุมฉาก $i\ne j$

บรรทัดฐานของปริภูมิแบบยุคลิดตามที่นิยามไว้ในลิงค์ที่ฉันให้นั้นเป็นสถานะควอนตัมมากกว่าสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องโดยที่คือจำนวนที่นับได้ ในกรณีดังกล่าวข้างต้น (ซึ่งก็คือจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ที่สามารถ) เป็นนับไม่ได้ดังนั้นบรรทัดฐานไม่พอดีกับความหมายที่กำหนดให้เป็นบรรทัดฐานในยุคลิดก้าวมิติ $n$ $n$ $x$ $n$

เราสามารถใช้โอเปอเรเตอร์รากที่สองกับบรรทัดฐานข้างต้นได้และเราก็ยังต้องการคุณสมบัติที่ , และค่าปริภูมิแบบยุคลิดนั้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของบรรทัดฐานนี้แม้ว่า สำหรับกรณีที่สามารถเลือกได้จากค่าบางค่าที่นับได้เท่านั้น เหตุผลที่เราใช้บรรทัดฐานข้างต้นในกลศาสตร์ควอนตัมก็เพราะมันรับประกันได้ว่าฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นรวมกับ 1 ซึ่งเป็นกฎคณิตศาสตร์ตามนิยามของความน่าจะเป็น หากคุณมีบรรทัดฐานอื่นที่สามารถรับประกันได้ว่ากฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่น่าพึงพอใจทั้งหมดคุณก็สามารถใช้บรรทัดฐานนั้นได้เช่นกัน $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

— user1271772
แหล่งที่มา

@Nelimee: ฉันไม่สามารถตอบกลับข้อความแชทของคุณ "ฉันไม่ได้รับคะแนนจากคำตอบของคุณ 0 คะแนน" เพราะฉันถูกแบนจากการแชทอีก 2 วัน แต่คำตอบส่วนใดที่คุณไม่ได้รับ?

— user1271772

@Nelimee ตอนนี้ฉันอยู่ที่ -1 เพื่อจะได้รู้ว่าส่วน

— ไหน

สิ่งที่คุณเขียนเป็นเพียงบรรทัดฐานแบบยุคลิดในมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำแถลงของคุณ"Euclidean norm บนช่องว่าง n-มิติดังที่นิยามไว้ที่นี่ไม่ใช่บรรทัดฐานเดียวที่ใช้สำหรับสถานะควอนตัม" กำลังทำให้เข้าใจผิดถึงขอบเขตของความผิด

— Norbert Schuch

@Norbert (1) นี่คือ SQUARE ของมาตรฐานยูคลิด (2) ที่นี่มันไม่มีที่สิ้นสุด UNCOUNTABLY มันไม่มีมิติอีกต่อไปแม้จะเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ถ้วน

— user1271772

@ (1) นั่นเป็นเพราะคุณลืมใส่สแควร์รูท นอกจากนี้รากที่สองของคือ1(2) นั่นไม่จริง พื้นที่ของฟังก์ชัน normlized ด้วยบรรทัดฐานนั้นเป็นพื้นที่ที่แบ่งแยกได้นั่นคือมันมีพื้นฐานที่นับไม่ถ้วน

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

— Norbert Schuch