ความสำคัญของการดำเนินการ Clifford จากมุมมองการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม

ในวรรณคดีเกี่ยวกับ QECC ประตู Clifford ครอบครองสถานะที่สูงขึ้น

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ที่รับรองสิ่งนี้:

• เมื่อคุณศึกษาโคลงโค้ดคุณจะต้องศึกษาวิธีการทำประตู Clifford ที่เข้ารหัส (แยกจากกัน) แม้ว่าจะไม่สามารถใช้งานได้ตามขวาง) เนื้อหาเบื้องต้นทั้งหมดใน QECC เน้นที่การดำเนินการ Clifford ที่เข้ารหัสในรหัสควอนตัม และให้เน้นที่ประตู Clifford (เช่นแม้ว่าจะไม่ได้ทำการเข้ารหัสประตู Clifford ในรหัสควอนตัม)

• หัวข้อทั้งหมดของการกลั่นรัฐมายากล * ขึ้นอยู่กับการจัดหมวดหมู่ของการดำเนินงานบางอย่าง (รวมถึงประสิทธิภาพการทำงานของประตู Clifford) เช่นการดำเนินงานที่มีต้นทุนต่ำในขณะที่ตัวอย่างเช่นการแสดง Toffoli ประตูหรือ -gate เป็น การดำเนินงานที่มีต้นทุนสูงกว่า$\pi/8$

คำตอบที่เป็นไปได้:

1. นี้ได้รับการพิสูจน์ในบางสถานที่ในวรรณคดีสำหรับเช่น Gottesman ของวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกและเอกสารจำนวนมากโดยเขาและยังอยู่ในhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 เหตุผลที่ให้ไว้ในสถานที่เหล่านี้คือเป็นไปได้ที่จะแสดงคลิฟฟอร์ดบางประตูตามขวาง ในทางตรงกันข้ามมันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะหาการประยุกต์ใช้ข้ามประตูที่ไม่ใช่คลิฟฟอร์ดในรหัสควอนตัม ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบตัวเอง แต่เพียงไปตามงบที่ Gottesman ทำในปริญญาเอกของเขา วิทยานิพนธ์และบทความวิจารณ์บางส่วน

การไม่สามารถทำการเกตเกตที่เข้ารหัสตามขวางบนรหัสควอนตัมได้ทันทีจะทำให้ค่าใช้จ่ายในการเกตดังกล่าวในโค้ดเพิ่มขึ้นในทันที และด้วยเหตุนี้การทำประตู Clifford จึงเข้าสู่หมวดที่มีต้นทุนต่ำในขณะที่ประตูที่ไม่ใช่ Clifford จะเข้าสู่หมวดที่มีราคาสูง

2. จากมุมมองทางวิศวกรรมมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องตัดสินใจในรายการมาตรฐานของหน่วยการคำนวณควอนตัมพื้นฐาน (การเตรียมของรัฐ, ประตู, การตรวจวัด / พื้นฐาน), ฯลฯ การแสดงประตู Clifford ทำให้เป็นทางเลือกที่สะดวกในรายการนั้น (ชุดที่รู้จักกันดีที่สุดของประตูควอนตัมสากลรวมถึงประตู Clifford จำนวนมากในนั้นทฤษฎีบท Gottesman-Knill ทฤษฎีบท ** ฯลฯ )

นี่เป็นเพียงสองเหตุผลที่ฉันคิดได้ว่าทำไมกลุ่มคลิฟฟอร์ดจึงมีสถานะที่สูงขึ้นในการศึกษาของ QECC (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณกำลังศึกษารหัสโคลง) ทั้งสองเหตุผลมาจากมุมมองทางวิศวกรรม

ดังนั้นคำถามคือสามารถระบุเหตุผลอื่น ๆ ซึ่งไม่ได้เกิดจากมุมมองทางวิศวกรรม? มีบทบาทสำคัญอื่นอีกไหมที่ประตู Clifford เล่นซึ่งฉันพลาดไป?

เหตุผลอื่นที่เป็นไปได้: ฉันรู้ว่ากลุ่ม Clifford เป็น normaliser ของกลุ่ม Pauli ในกลุ่มรวมกัน (บนระบบ qubit) นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างผลิตภัณฑ์ semidirect (จริง ๆ แล้วเป็นตัวแทน projective ของกลุ่มผลิตภัณฑ์ semidirect) ความสัมพันธ์ / คุณสมบัติเหล่านี้ด้วยตัวเองให้เหตุผลอื่นว่าทำไมคนเราควรศึกษากลุ่ม Clifford ร่วมกับรหัส Stabilizer หรือไม่?$n$

* อย่าลังเลที่จะแก้ไขสิ่งนี้ ** ซึ่งระบุว่า จำกัด การดำเนินการบางอย่างคุณจะไม่สามารถได้รับประโยชน์จากควอนตัมและด้วยเหตุนี้คุณจึงจำเป็นต้องมีชุดปฏิบัติการที่คุณ จำกัด ตัวเองอยู่เล็กน้อย

การดำเนินการของ Clifford นั้นมักจะง่ายต่อการทำ fault-tolerantly ในโคลงโค้ดไม่ว่าจะเป็นแบบขวางหรือแบบแมพ เหตุผลก็คือตามที่คุณคิด: ความสัมพันธ์พิเศษระหว่างประตูเหล่านี้และ Paulis เนื่องจากหลังถูกนำมาใช้ในการกำหนดรหัสโคลง

เป็นไปได้ที่จะได้ประตูที่ไม่ใช่คลิฟฟอร์ดเป็นรหัส แต่ต้องชำระราคา โดยเฉพาะมีความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งทางเรขาคณิตของรหัสและประตูที่พวกเขาสามารถทำตามขวาง ดังนั้นหากคุณได้รับอนุญาตให้ทำประตูควบคุมเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในตาข่าย 2 มิติ (เช่นพื้นผิวหรือรหัสสี) เท่านั้น Cliffords จะเป็นไปได้ ดูเอกสารเช่นนี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้

ความจริงที่ว่าเราสามารถคาดหวังว่า Cliffords ที่ทนต่อความผิดพลาดจากรหัสโคลงได้ถูกนำมาเป็นหัวใจของเทคนิคในการสังเคราะห์ชุดประตูสากล ดังนั้นหากมีวิธีในการสร้างสถานะการเข้ารหัสที่ไม่ทำให้เสถียรในวิธีที่ไม่ผิดพลาดเรารู้วิธีทำความสะอาดโดยใช้ตรรกะของ Clifford ในการเปลี่ยนสถานะเหล่านี้เป็นการหมุนเราใช้ตรรกะคลิฟฟอร์ดของเรา ดังนั้นหากคุณมีรหัสและต้องการใช้ผลการค้นหาแบบผิดปกติทั้งหมดคุณควรหา Cliffords ที่ทนต่อความผิดพลาดได้ดีกว่า หรืออย่างน้อย Paulis, H และ CZ หรือ CNOT หากคุณไม่สามารถจัดการพวกมันทั้งหมดได้