เหตุใดจึงไม่มีรหัสข้อผิดพลาดในการแก้ไขที่น้อยกว่า 5 qubits

ฉันอ่านเกี่ยวกับข้อผิดพลาด 9-qubit, 7-qubit และ 5-qubit เมื่อเร็ว ๆ นี้ แต่ทำไมไม่มีรหัสข้อผิดพลาดในการแก้ไขควอนตัมที่น้อยกว่า 5 qubits?

หลักฐานที่คุณต้องการอย่างน้อย 5 qubits (หรือ qudits)

นี่คือข้อพิสูจน์ว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดเดียว ( เช่นระยะทาง 3) รหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมมีอย่างน้อย 5 qubits ในความเป็นจริง generalises นี้เพื่อ qudits ของมิติใด ๆ$d$และรหัสข้อผิดพลาดใด ๆ ควอนตัมแก้ไขปกป้องหนึ่งหรือมากกว่า qudits ของมิติd$d$

(ตามที่Felix Huber บันทึกหลักฐานดั้งเดิมที่คุณต้องการอย่างน้อย 5 qubits เกิดจากบทความ Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] ซึ่งกำหนดเงื่อนไข Knill - Laflamme: ต่อไปนี้เป็นเทคนิคการพิสูจน์ ซึ่งใช้กันมากขึ้นในปัจจุบัน)

ข้อผิดพลาดของควอนตัมรหัสใด ๆ ซึ่งการแก้ไขสามารถแก้ไข$t$ข้อผิดพลาดที่ไม่รู้จักนอกจากนี้ยังสามารถแก้ไขได้ถึง$2t$ข้อผิดพลาดการลบ (ซึ่งเราก็สูญเสีย qubit บางส่วนหรือมันจะกลายเป็น depolarised สมบูรณ์หรือคล้ายกัน) ถ้าตำแหน่งของ qubits ลบเป็นที่รู้จักกัน [1, วินาที III A] * โดยทั่วไปแล้วเล็กน้อยข้อผิดพลาดของควอนตัมแก้ไขรหัสของระยะทาง$d$สามารถทนต่อข้อผิดพลาดในการลบ$d-1$ตัวอย่างเช่นในขณะที่$[\![4,2,2]\!]$รหัสไม่สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดใด ๆ ได้โดยเนื้อแท้เพราะมันสามารถบอกได้ว่าเกิดข้อผิดพลาด (และแม้แต่ชนิดของข้อผิดพลาด) แต่ไม่ใช่ qubit ที่เกิดขึ้นรหัสเดียวกันสามารถป้องกันข้อผิดพลาดในการลบเพียงครั้งเดียว (เพราะ โดยสมมติฐานเรารู้อย่างแม่นยำว่าข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในกรณีนี้)

มันตามมาว่าข้อผิดพลาดของควอนตัมแก้ไขรหัสซึ่งสามารถยอมรับข้อผิดพลาด Pauli หนึ่งสามารถกู้คืนจากการสูญเสียสอง qubits ตอนนี้: สมมติว่าคุณมีข้อผิดพลาดของควอนตัมแก้ไขรหัสใน$n \geqslant 2$ qubits การเข้ารหัสหนึ่ง qubit กับข้อผิดพลาดของ qubit เดียว สมมติว่าคุณมอบ$n-2$ qubits ให้กับ Alice และ$2$ qubits กับ Bob: จากนั้น Alice จะสามารถกู้คืนสถานะที่เข้ารหัสดั้งเดิมได้ ถ้า$n<5$แล้ว$2 \geqslant n-2$เพื่อให้บ๊อบควรยังสามารถกู้คืนสถานะการเข้ารหัสดั้งเดิม - ดังนั้นจึงได้รับการโคลนของรัฐอลิซ เนื่องจากสิ่งนี้ถูกตัดออกโดยทฤษฎีบทการโคลนนิ่งดังนั้นเราจึงต้องมี$n \geqslant 5$แทน

ในการแก้ไขข้อผิดพลาดในการลบ

* การอ้างอิงที่เร็วที่สุดที่ฉันพบคือ

[1] Grassl, Beth และ Pellizzari รหัสสำหรับควอนตัมลบช่อง
     
      สรวง รายได้ A 56 (หน้า 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- ซึ่งไม่นานหลังจากเงื่อนไข Knill – Laflamme ถูกอธิบายไว้ใน [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] และดังนั้นจึงเป็นหลักฐานดั้งเดิมของการเชื่อมต่อระหว่างรหัสระยะไกลและข้อผิดพลาดในการลบ โครงร่างมีดังนี้และนำไปใช้กับรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดของระยะทาง$d$ (และใช้ได้ดีกับ qudits ของมิติใด ๆ แทน qubits โดยใช้ตัวดำเนินการ Pauli ทั่วไป)

• การสูญเสีย$d-1$ qubits นั้นสามารถจำลองได้โดย qubits ที่อยู่ภายใต้ช่อง depolarising ซึ่งจะถูกจำลองโดย qubits เหล่านั้นที่อยู่ภายใต้ข้อผิดพลาดแบบสุ่มของ Pauli

• หากไม่ทราบตำแหน่งของ$d-1$ qubits จะเป็นอันตรายถึงชีวิต อย่างไรก็ตามเป็นที่ตั้งของพวกเขาเป็นที่รู้จักข้อผิดพลาด Pauli คู่ใด ๆ ใน$d-1$ qubits สามารถแยกความแตกต่างจากกันโดยอุทธรณ์ไปยังเงื่อนไข Knill-Laflamme

• ดังนั้นโดยการแทนที่ qubits ที่ถูกลบด้วย qubits ในสถานะผสมสูงสุดและการทดสอบหาข้อผิดพลาดของ Pauli ใน$d-1$ qubits ที่เฉพาะเจาะจง สถานะเดิม

สิ่งที่เราพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายคือไม่มีโค้ดที่ไม่เสื่อมขนาดเล็กลง

ในรหัสที่ไม่เสื่อมโทรมคุณจะต้องมี 2 สถานะทางตรรกะของ qubit และคุณจะต้องมีสถานะที่แตกต่างกันสำหรับข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้แต่ละข้อเพื่อจับคู่แต่ละสถานะทางลอจิคัล สมมุติว่าคุณมีรหัส qubit 5 ค่าโดยมีสองสถานะเชิงตรรกะ$|0_L\rangle$และ$|1_L\rangle$ ⟩ ข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้ของ single-qubit คือ$X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$และหมายความว่าทุกรัฐ

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ ต้องจับคู่กับสถานะมุมฉาก

ถ้าเราใช้อาร์กิวเมนต์นี้โดยทั่วไปก็แสดงให้เราเห็นว่าเราต้อง

$$2+2\times(3n)$$ รัฐที่แตกต่างกัน แต่สำหรับ$n$ qubits, จำนวนสูงสุดของรัฐที่แตกต่างกันเป็น$2^n$ n ดังนั้นสำหรับข้อผิดพลาดรหัสที่ถูกต้องไม่ใช่คนเลวของระยะทาง 3 (เช่นการแก้ไขข้อผิดพลาดอย่างน้อยหนึ่ง) หรือมากกว่าเราต้อง $$2^n\geq 2(3n+1).$$ สิ่งนี้เรียกว่า Quantum Hamming Bound คุณสามารถตรวจสอบว่าเป็นความจริงสำหรับทุก$n\geq 5$แต่ไม่ถ้า$n<5$. แน่นอนสำหรับ$n=5$ความไม่เท่าเทียมกันคือความเท่าเทียมกันและเราเรียกรหัสที่สมบูรณ์แบบ 5-qubit ซึ่งเป็นรหัสที่สมบูรณ์แบบ

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ $n$$k$$t$$t$ข้อผิดพลาด -qubit แก้ไขโดยรหัส เช่น$t$ เกี่ยวข้องกับระยะทางด้วย $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, then such non-degenerate quantum code will be a $[[n,k,d]]$ quantum error correction code. This bound is obtained by using an sphere-packing like argument, so that the $2^n$ dimensional Hilbert space is partitioned into $2^{n-k}$ spaces each deistinguished by the syndrome measured, and so one error is assigned to each of the syndromes, and the recovery operation is done by inverting the error associated with such measured syndrome. That's why the number of total errors corrected by a non-degenerate quantum code should be less or equal to the number of partitions by the syndrome measurement.

However, degeneracy is a property of quantum error correction codes that imply the fact that there are classes of equivalence between the errors that can affect the codewords sent. This means that there are errors whose effect on the transmitted codewords is the same while sharing the same syndrome. This implies that those classes of degenerate errors are corrected via the same recovery operation, and so more errors that expected can be corrected. That is why it is not known if the quantum Hamming bound holds for this degenerate error correction codes, as more errors than the partitions can be corrected this way. Please refer to this question for some information about the violation of the quantum Hamming bound.

I wanted to add a short comment to the earliest reference. I believe this was shown already a bit earlier in Section 5.2 of

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

where the specific result is:

Theorem 5.1. A $(2^r,k)$ $e$-error-correcting quantum code must satisfy $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$.

Here, an $(N,K)$ code is an embedding of a $K$-dimensional subspace into an $N$-dimensional system; it is an $e$-error-correcting code if the system decomposes as a tensor product of qubits, and the code is capable of correcting errors of weight $e$. In particular, a $(2^n, 2^k)$ $e$-error-correcting code is what we would now describe as an $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ code. Theorem 5.1 then allows us to prove that for $k \geqslant 1$ and an odd integer $d \geqslant 3$, an $[\![n,k,d]\!]$ code must satisfy

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.