ด้วยหุ่นยนต์ 6 แกนให้ตำแหน่ง end-effector และช่วงของการวางแนววิธีการหาค่ารอยต่อที่ดีที่สุด

ด้วยแขนหุ่นยนต์หกเหลี่ยมที่มีแขนจับเครื่องมือที่ปลายเอฟเฟกต์ถ้าฉันมีตำแหน่งเครื่องมือและการวางแนวเครื่องมือที่ต้องการจะมีวิธีแก้ปัญหา 1 อย่างเดียวสำหรับสมการจลศาสตร์ผกผันสำหรับหุ่นยนต์ที่ไปถึงตำแหน่งนั้น
(หรือมากกว่า 16 โซลูชั่นที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับช่วงของข้อต่อ)

แต่ถ้าหุ่นยนต์กำลังถืออะไรบางอย่างเช่นปากกาและฉันต้องการให้หุ่นยนต์ทำเครื่องหมายจุดเฉพาะด้วยปากกานั้นบนเป้าหมายฉันไม่สนใจว่าปากกาจะถูกวางแนวอย่างไรตราบใดที่มันตั้งฉากกับพื้นผิวที่ทำเครื่องหมายไว้

ดังนั้นสมการผกผัน - จลนศาสตร์จะมีคำตอบมากมาย

ฉันจะเลือกวิธีการกำหนดค่าร่วมที่ใกล้เคียงกับการกำหนดค่าปัจจุบันที่สุดได้อย่างไร: วิธีหนึ่งที่จะต้องใช้การเคลื่อนไหวน้อยที่สุดในการเข้าถึง
(หรือการกำหนดค่าข้อต่อที่เหมาะสมที่สุดตามเกณฑ์อื่น ๆ ที่คล้ายกันเช่นว่ามุมรอยต่อทั้งหมดอยู่ไกลจากสูงสุดและต่ำสุด?)

— HugoRune
แหล่งที่มา

คำตอบ:

อันดับแรกเราจำเป็นต้องกำหนดที่ดีที่สุด เนื่องจากคุณไม่ได้พูดในสิ่งที่คุณคิดว่าดีที่สุดคนส่วนใหญ่จึงเลือกนิพจน์กำลังสอง ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณมีมุมร่วมในปัจจุบันโดยเวกเตอร์ $\vec{\alpha}$ . เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนไหวที่ต้องการน้อยที่สุด - ด้วยข้อผิดพลาด $\vec{x} = \vec{\alpha} - \vec{\alpha}_{start}$ คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันต้นทุน $J=\vec{x}^TQ\vec{x}$ สำหรับเมทริกซ์บางตัว $Q$ . โดยปกติเราใช้เมทริกซ์แนวทแยง แต่เมทริกซ์บวกแน่นอนใด ๆ จะทำ

ในตัวอย่างง่าย ๆ ที่มีสองมุมร่วมถ้าร่วมกัน $a$ มีมอเตอร์ราคาถูกกว่า (อาจใกล้เคียงกับเอฟเฟกต์ท้าย) เราอาจมีฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย

$J=\left[\begin{matrix}x_a\\x_b\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}1&0\\0&2\\\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}x_a&x_b\end{matrix} \right]$ เช่น การเคลื่อนไหวของข้อต่อ $b$ มีราคาแพงกว่าสองเท่า $a$ .

ตอนนี้สมการจลนศาสตร์เป็นสูตรเมทริกซ์และในเครื่องหมาย Denavit-Hartenberg อาจเป็น:

$\prod{T_i}=\left[\begin{matrix}1&0&0&x\\0&1&0&y\\0&0&1&z\\0&0&0&1\end{matrix} \right]$ ซึ่งด้านขวาแสดงถึงตำแหน่ง $(x,y,z)$ และการวางแนว (ตั้งค่าปัจจุบันเป็นศูนย์การหมุน) ได้รับมุมร่วมกัน

เนื่องจากเราไม่สนใจเกี่ยวกับทิศทางและเฉพาะตำแหน่งเราสามารถตัดทอนคอลัมน์ 3 คอลัมน์แรกของเมทริกซ์การแปลงล่าสุดและแถวสุดท้ายของเมทริกซ์การแปลงแรก เราสามารถแสดงสูตรนี้อย่างเท่าเทียมกันดังนี้:

$\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{matrix}\right]\prod{T_i}\left[\begin{matrix}0\\0\\0\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix} \right]$

การคูณทางซ้ายมือเราจะได้สามสมการ ถ้าพารามิเตอร์เป็นแบบเชิงเส้นมันจะง่ายต่อการแก้ ในกรณีนี้หากแอคชูเอเตอร์ทั้งหมดเป็นแอคชูเอเตอร์เชิงเส้น ในกรณีนี้ปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นจริงโปรแกรมกำลังสอง เราสามารถจัดเรียงทางซ้ายมือเพื่อรับสมการ:

$K\vec{x}=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]$ สำหรับเมทริกซ์บางตัว $K$ .

โปรแกรมกำลังสองเป็นปัญหาที่สามารถแสดงในรูปแบบ:

ลด $J=\frac{1}{2}\vec{x}^TQ\vec{x}+\vec{c}^T\vec{x}$

ขึ้นอยู่กับ $A\vec{x}\leq\vec{b}$ , $E\vec{x}=\vec{d}$

ในการแก้ปัญหานี้มีอัลกอริทึมจำนวนหนึ่งที่คุณสามารถใช้ได้เช่นจุดตกแต่งภายในชุดที่ใช้งานอยู่ ... แค่หาห้องสมุดที่เหมาะสมแล้วมันก็จะแก้ให้คุณ

ระบบสมการไม่เชิงเส้นนั้นยากต่อการแก้ สิ่งนี้เรียกว่าการเขียนโปรแกรมแบบไม่ใช่เชิงเส้นแต่เป็นสิ่งที่คุณมีหากคุณมีข้อต่อหมุน

โดยพื้นฐานแล้วในสถานที่ของสมการเมทริกซ์คุณมีฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้น

ลด $f(x)$ ภายใต้ $\vec{h}(x) = 0$ , $\vec{g}(x) \leq 0$ (จัดใหม่หากจำเป็นเพื่อทำให้ RHS ของข้อ จำกัด เป็นศูนย์)

อัลกอริธึมที่ใช้ในการแก้ปัญหานี้มีความซับซ้อนมากขึ้น แต่รวมถึง Interior-point, Sequential quadratic programming (SQP), Active-set, อัลกอริธึมไตร่ตรอง Trust-region เห็นได้ชัดว่าคำอธิบายวิธีการทำงานของอัลกอริทึมเหล่านี้มีความยาวมากและฉันจะปล่อยให้มันอยู่นอกขอบเขตของคำตอบนี้ พอพูดได้ว่าปริมาณของเนื้อหาในอัลกอริธึมที่ใช้สำหรับการเขียนโปรแกรมกำลังสองเพียงอย่างเดียวอาจเป็นหลักสูตรทั้งหมดด้วยตัวเอง

คุณควรหาไลบรารีเพื่อแก้ปัญหามันใช้เวลานานในการเขียนโค้ดการใช้งานที่มีประสิทธิภาพและการใช้งานที่มีประสิทธิภาพสามารถจัดการตัวแปร 100 ตัว (หรือมากกว่า) ในแต่ละครั้ง ตัวอย่างเช่นถ้าคุณใช้ MATLAB จะมีเอกสารเกี่ยวกับวิธีการใช้ฟังก์ชั่นfminconจาก Optimization Toolbox

หากต้องการแก้ปัญหาแบบออนไลน์คุณอาจต้องการ C ++ หรือการใช้งานเนทีฟอื่น ๆ เช่น NLopt โปรดทราบว่านี่อาจไม่ใช่สิ่งที่ไมโครคอนโทรลเลอร์สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วและห้องสมุดหลายแห่งอาจมีการพึ่งพาอื่น ๆ ซึ่งไม่สะดวกในการใช้งานบนไมโครคอนโทรลเลอร์ (เนื่องจากมีไว้สำหรับคอมพิวเตอร์)

หากคุณไม่กังวลเกี่ยวกับประสิทธิภาพและเพียงต้องการบางสิ่งบางอย่างที่คุณสามารถเขียนโค้ดด้วยตัวเองแล้วสมมติว่ามีฟังก์ชั่นที่คุณสามารถโทรหาเพื่อแก้ปัญหาการเคลื่อนไหวแบบผกผันคุณสามารถทำได้โดยวิธีการไล่ระดับสี ตัวอย่างเช่นการเลือกการวางแนวเริ่มต้นแบบสุ่มแก้ปัญหาผกผันจากนั้นตรวจสอบฟังก์ชันต้นทุน จากนั้นคุณสามารถใช้การวิเคราะห์การก่อกวนเพื่อตรวจสอบว่าคุณควรปรับทิศทางให้แตกต่างกันอย่างไร ตัวอย่างเช่นหากคุณตรวจสอบทิศทางที่คล้ายกันรอบทิศทางปัจจุบันของคุณ (เช่น 8 คะแนนในตารางลูกบาศก์) คุณจะได้รับการประมาณคำสั่งที่สองว่าฟังก์ชันต้นทุนแตกต่างกันไปในแต่ละทิศทางอย่างไร

ใช้การประมาณลำดับที่สอง (รู้จักกันในชื่อ Hessian matrix เนื่องจากเป็นตัวแปรหลายมิติ - 3 มิติสำหรับการวางแนว) คุณสามารถค้นหาการข้ามศูนย์ของการไล่ระดับสีของฟังก์ชันต้นทุน (เช่นการคำนวณท้องถิ่นขั้นต่ำ)

ด้วยการวางแนวที่คาดการณ์ใหม่เพียงใส่ผ่านตัวแก้ปัญหาผกผันอีกครั้งและทำซ้ำจนกว่าความแม่นยำจะเพียงพอ

โปรดทราบว่าสิ่งนี้อาจไม่ได้มีประสิทธิภาพเพราะปัญหาจลน์แบบผกผันต้องได้รับการแก้ไขซ้ำ ๆ (ดังนั้นคุณจึงต้องใช้ฟังก์ชั่นที่ต้องใช้เวลานานในการแก้ปัญหา) นอกจากนี้รหัสที่เกี่ยวข้องอาจน้อยกว่าอัลกอริธึมการปรับให้เหมาะสมเต็มที่ แต่ก็ยังค่อนข้างสำคัญและไม่ใช่การลงทุนที่ไม่มีนัยสำคัญของเวลา

ใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง (การแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการเป็นโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นหรือการใช้ฟังก์ชั่นซ้ำ ๆ เพื่อแก้ปัญหาผกผัน) วิธีการแก้ปัญหาอาจไม่เหมาะสมหากมีหลายท้องถิ่นน้อยที่สุด ในกรณีนี้คุณสามารถลองค้นหา minima ทั่วโลกโดยใช้วิธีการต่างๆ แม้ว่าจะมีตัวแก้การเขียนโปรแกรมที่ไม่ใช่เชิงเส้นคุณก็คาดหวังว่าจะได้รับค่าเริ่มต้น (เช่นมุมร่วม) คุณสามารถเรียกใช้เมธอดอย่างใดอย่างหนึ่งซ้ำ ๆ ได้โดยใช้เมล็ดพันธุ์ที่สร้างขึ้นในรูปแบบต่างๆ:

รีสตาร์ทแบบสุ่ม (มันถูกสร้างขึ้นแบบสุ่ม)
ตามตาราง

หรือวิธีการที่กำหนดเองอื่น ๆ

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าหากมีจำนวนน้อยมากไม่มีวิธีที่ดีที่จะรับประกันได้ว่าคุณจะพบกับระดับต่ำสุดในโลก คุณสามารถปรับปรุงโอกาสของคุณเท่านั้น

— ronalchn
แหล่งที่มา

เนื่องจากคำถามเกี่ยวกับหุ่นยนต์อุตสาหกรรมเราอาจไม่มีแบบจำลองพลวัตของหุ่นยนต์ดังนั้นฉันสมมติว่าเรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะที่สุดกับเกณฑ์จลนศาสตร์เท่านั้น

หุ่นยนต์มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับจลนศาสตร์ผกผันของมัน แต่โชคร้ายที่ผู้สร้างเอฟเฟกต์นั้นมีระดับการหมุนอิสระที่เพิ่มขึ้นซึ่งหมายความว่าหุ่นยนต์นั้นมีอิสระในระดับ 7 องศา แต่เนื่องจากนี่เป็นเพียงอานนท์อีกครั้งจึงไม่เป็นปัญหามากเท่าที่คิด

เคล็ดลับที่พบบ่อยสำหรับหุ่นยนต์ที่เกือบจะไม่ซ้ำซ้อนเช่นนั้นคือการล็อคองศาอิสระเพิ่มขึ้นและแก้ปัญหาสำหรับค่ารอยต่อที่เหลือวิเคราะห์ สมมติว่าเราเขียน solver IK แบบปิดสำหรับหุ่นยนต์6 dofที่ส่งคืนโซลูชัน $0.05$ ms โดยเฉลี่ย โดยวนซ้ำจาก $1$ ถึง $360$ คุณจึงสามารถหาคำตอบที่ดีที่สุดสำหรับการลดมุมของมุมปากกา $1^\circ$ ในประมาณ $18$ ms ซึ่งได้รับแอปพลิเคชันอาจมากกว่าเพียงพอ

หากเวลาส่วนใหญ่ปากกาเคลื่อนที่เพียงเล็กน้อย (เช่นเมื่อวาดเส้น) เคล็ดลับอีกวิธีในการเพิ่มความเร็วในการค้นหาคือการใช้ตัวเลข IK เช่นเมธอด pseudoinverse:

ปล่อย $q_1$ เป็นการกำหนดค่าปัจจุบันของหุ่นยนต์ให้ $J$ เป็นของ Jacobian และปล่อยให้ $\Delta x$ เป็นการกระจัดของเป้าหมายที่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลง end-effector ปัจจุบัน แก้ $\Delta x = J \, \Delta q$ สำหรับ $\Delta q$ และคำนวณการกำหนดค่าใหม่ $q_2 = q_1 + \Delta q$ . ฉันกำลังข้ามรายละเอียดที่นี่ แต่วิธีแก้ปัญหา $\Delta q$ ควรลด $\|\Delta q\|$ สำหรับเมตริกที่เลือกอย่างเหมาะสม

สิ่งนี้ทำสำหรับหุ่นยนต์7 อานนท์และควรใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาทีเท่านั้น แม้ว่า $q_2$ อาจไม่ใช่การกำหนดค่าที่ถูกต้อง (ค่าร่วมอาจเกินขอบเขต) และอาจไม่ใช่วิธีแก้ไขปัญหา IK ที่แม่นยำ (คุณสามารถใช้ขั้นตอน pseudoinverse เพิ่มเติมได้) ส่วนใหญ่จะเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีสำหรับการค้นหาโดยใช้ ตัวแก้แบบปิด

— antonakos
แหล่งที่มา

มีรูปแบบปิดที่ดีสำหรับสิ่งนี้ สมมติว่าเราไม่สนใจอะไร $r_z$ คือ (คือเราไม่สนใจว่าเราจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร)

J^{- 1} \dot{X} = \dot{Θ} = [\begin{matrix} \vec{J_{1}} & \vec{J_{2}} & \vec{J_{3}} & \vec{J_{4}} & \vec{J_{5}} & \vec{J_{6}} \end{matrix}] [\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{Y} \\ \dot{Z} \\ \dot{R_{x}} \\ \dot{R_{Y}} \\ \dot{R_{Z}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \dot{θ_{1}} \\ \dot{θ_{2}} \\ \dot{θ_{3}} \\ \dot{θ_{4}} \\ \dot{θ_{5}} \\ \dot{θ_{6}} \end{matrix}]

$\mathbf{J}^{-1}\dot{\mathbf{X}}= \dot{\mathbf{\Theta}}= \begin{bmatrix} \vec{j_{1}} & \vec{j_{2}} & \vec{j_{3}} & \vec{j_{4}} & \vec{j_{5}} & \vec{j_{6}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \dot{r_x}\\ \dot{r_y}\\ \dot{r_z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\theta_1}\\ \dot{\theta_2}\\ \dot{\theta_3}\\ \dot{\theta_4}\\ \dot{\theta_5}\\ \dot{\theta_6}\\ \end{bmatrix}$ ที่ไหน

\vec{j_{i}}

$\vec{j_{i}}$ คือ

i^{t h}

$i^{th}$ คอลัมน์ของ

J^{- 1}

$\mathbf{J}^{-1}$ . เราสามารถเลิกกันได้

\dot{Θ}

$\dot{\mathbf{\Theta}}$ เป็นส่วนที่ขึ้นอยู่กับ

\dot{r_{z}}

$\dot{r_z}$ และส่วนที่ไม่

\dot{Θ} = {\dot{Θ}}_{\dot{x} ... \dot{R_{Y}}} + {\dot{Θ}}_{\dot{R_{Z}}} {\dot{Θ}}_{\dot{R_{Z}}} = \vec{J_{6}} \dot{R_{Z}}

$\dot{\mathbf{\Theta}}= \dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{x}\dots \dot{r_y}} + \dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{r_z}} \\ \dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{r_z}}= \vec{j_{6}} \dot{r_z}$ ดังนั้นตอนนี้เกมได้กลายเป็นให้ลดลง

({\dot{Θ}}_{\dot{x} ... \dot{R_{Y}}} + {\dot{Θ}}_{\dot{R_{Z}}})^{T} D ({\dot{Θ}}_{\dot{x} ... \dot{R_{Y}}} + {\dot{Θ}}_{\dot{R_{Z}}})

$(\dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{x}\dots \dot{r_y}} + \dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{r_z}})^T D(\dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{x}\dots \dot{r_y}} + \dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{r_z}})$ สำหรับเมทริกซ์ทแยงมุมบางอัน

D

$D$ เหมือน Ronchchn กล่าวข้างต้น ฉันจะใช้

A = {\dot{Θ}}_{\dot{x} \dots \dot{r_{y}}}

$A=\dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{x}\dots \dot{r_y}}$ และ

B = {\dot{Θ}}_{{\dot{r_{z}}}^{*}}

$B=\dot{\mathbf{\Theta}}_{\dot{r_z}^*}$ สำหรับการดูง่ายขึ้น

เราสามารถขยายออกไปเป็น

A^{T} D A + 2 B^{T} D A + B^{T} D B หรือ A^{T} D A + 2 \dot{R_{Z}} {\vec{J_{6}}}^{T} D A + {\dot{R_{Z}}}^{2} {\vec{J_{6}}}^{T} D \vec{J_{6}}

$A^TDA+2B^TDA+B^TDB\\ \text{or}\\ A^TDA+2\dot{r_z}\vec{j_{6}}^TDA+\dot{r_z}^2\vec{j_{6}}^TD\vec{j_{6}}$

ตอนนี้เรามีสมการง่าย ๆ ที่จะแยกความแตกต่าง $\dot{r_z}$ . เราหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ $\dot{r_z}$ และตั้งเป็น $0$ .

2 {\vec{J_{6}}}^{T} D A + 2 \dot{R_{Z}} {\vec{J_{6}}}^{T} D \vec{J_{6}} = 0 \dot{R_{Z}} = \frac{- {\vec{J_{6}}}^{T} D A}{{\vec{J_{6}}}^{T} D \vec{J_{6}}}

$2\vec{j_{6}}^TDA+2\dot{r_z}\vec{j_{6}}^TD\vec{j_{6}}=0\\ \dot{r_z} = \frac{-\vec{j_6}^TDA}{\vec{j_6}^TD\vec{j_6}}$ วิธีนี้จะลดมุมร่วม "ระยะทาง" ระหว่างสองตำแหน่งของคุณ

— joshkarges
แหล่งที่มา