อะไรคือสถานะปัจจุบันของศิลปะในการแก้ PDEs พาราโบลามิติที่สูงขึ้น (สมการSchrödingerหลายอิเล็กตรอน)

11

สถานะปัจจุบันของศิลปะสำหรับการแก้มิติที่สูงขึ้น (3-10) พาราโบลา PDEs ในโดเมนที่ซับซ้อนที่มีขั้วง่าย (ของรูปแบบ ) และดูดซับเงื่อนไขขอบเขต? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

โดยเฉพาะฉันสนใจที่จะแก้สมการหลายอิเล็กตรอนSchrödinger:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

สำหรับโมเลกุลไดอะตอมมิกที่มีมากกว่า 1 อิเล็กตรอน

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional

— Andrew Spott
แหล่งที่มา

6

คำตอบสำหรับสมการอยู่ใน ถ้าจำนวนอิเล็กตรอนมีขนาดเล็กพอคุณก็สามารถใช้วิธีการแบบเดิมๆได้ เช่นเดียวกับวิธีการแยกโดเมน (Finite Difference, Finite Element, Boundary Element) หรือวิธี pseudospectral เนื่องจากการแก้สมการนี้ไม่ได้ยากไปกว่าการแก้สมการคลื่นหลายมิติ

ψ \in C^{3 M} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

ในกรณีของระบบที่ใหญ่กว่ากลเม็ดบางอย่างจำเป็นต้องได้รับการแก้ไข เราแทนที่ปฏิสัมพันธ์อิเล็กตรอนอิเล็กตรอนสำหรับปฏิสัมพันธ์ของอิเล็กตรอนด้วยเมฆของอิเล็กตรอน (การประมาณค่าเฉลี่ยส่วนที่เหลือของพวกเขา), และจากนั้นก็แก้ปัญหาในรูปแบบที่สอดคล้องกันของตัวเอง (เนื่องจากความไม่เชิงเส้นที่มาจากสนามเฉลี่ย ระยะ) สิ่งนี้ทำในHartree-Fock and Density Functional Theory (DFT) ตำแหน่งที่สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมถูกแปลงเป็นสูตรการแปรผัน

DFT เป็นวิธีที่ใช้กันมากที่สุดในปัจจุบันและข้อได้เปรียบคือสมการทั้งหมดถูกกำหนดในรูปแบบของความหนาแน่นของอิเล็กตรอนและไม่ได้อยู่ในรูปของสมการคลื่น สมการนั้นอยู่ในพื้นที่สามมิติ หนังสือหนึ่งเล่มที่อธิบายวิธีการทั้งสองนี้คือ

Thijssen, Jos. ฟิสิกส์เชิงคำนวณ Cambridge University Press, 2007 ลิงค์ Amazon

— nicoguaro
แหล่งที่มา

3

คุณต้องการแก้ปัญหาสำหรับระบบอนุภาค 3 ถึง 10 ตัว (3D ต่ออนุภาค) หรือไม่ เท่าที่ฉันทราบทฤษฎีภาคสนามไม่ทำงานโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอนุภาคน้อยมาก แต่ดูเหมือนว่ามีงาน DFT ในโมเลกุลไดอะตอม

นี่เป็นระบบที่ Born-Oppenheimer ใช้ได้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นก็อาจจะมีแนวโน้มที่จะขยาย wavefunction อิเล็กทรอนิกส์ที่ใช้การรวมกันเชิงเส้นของตำหนิปัจจัยที่อาจจะใช้ตารางเบาบางหรือเบาบางสเปกตรัมร่อนบทความนี้อาจจะช่วยให้

อีกทางเลือกหนึ่งคือลองใช้วิธีการรัดกุมแม้ว่าความจริงที่ว่าคุณกล่าวถึงเงื่อนไขขอบเขตการดูดซับแสดงว่าคุณอาจกำลังคิดว่ามีปัญหาเกี่ยวกับการไอออไนซ์ / การแยกตัวออก วัณโรคส่วนใหญ่จะมีประโยชน์หากคุณพยายามที่จะประมาณสภาวะระดับต่ำ

อาจจะเป็นสิ่งที่ต้องการในเวลาขึ้นอยู่กับหลายวิธีการปรับแต่ง Hartree-Fock สามารถทำงานที่นี่MCTDHF

ในที่สุดคุณสามารถดูวิธีการควอนตัม Monte Carlo นี่เป็นวิธีการที่แบบจำลองการทำงานและการแลกเปลี่ยนความสัมพันธ์สำหรับอะตอมเดี่ยวได้รับการคำนวณ DFT ดูเหมือนว่ามีส่วนขยายโพลีอะตอมมิก (ฉันไม่ได้ใช้สิทธิ์เชื่อมโยง)

— เกร็ก
แหล่งที่มา

3-10 มิติไม่ใช่อนุภาค: โดยเฉพาะ 1 ถึง 3 อิเล็กตรอน, 2 นิวเคลียส (1d สำหรับนิวเคลียส, 6d สำหรับอนุภาค) โดยไม่มีการประมาณ Born-Oppenheimer และฉันกำลังทำสิ่งประเภทไอออนไนซ์

— Andrew Spott

1

$M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

จากการพิจารณานี้เป็นไปไม่ได้ที่จะพิจารณาปัญหาของอิเล็กตรอนทั้งหมดในเวลาเดียวกัน - คุณจำเป็นต้อง จำกัด ตัวเองให้อิเล็กตรอนหนึ่งหรือสองตัวพร้อมกัน สิ่งนี้จะนำคุณไปสู่วิธีการต่าง ๆ เช่นวิธี Hartree Fock ที่วนซ้ำอิเล็กตรอนในขณะที่รักษาส่วนที่เหลือของระบบไว้

ฉันไม่ทราบว่าฟิลด์นี้ดีพอ แต่ลองจินตนาการว่ามีบทความวิจารณ์จำนวนมากที่ถูกอ้างถึงและเขียนอย่างดีในหัวข้อ

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

10^{9}

$10^9$

ระบบเฟอร์มิออนมีระบบสมมาตร (anti-) ค่อนข้างน้อยเนื่องจากหลักการของ Pauli ที่คุณสามารถใช้เพื่อลดจำนวนองศาความเป็นอิสระได้อย่างมีนัยสำคัญ (แทนที่จะเป็น hypercube มิติ 3 มิติคุณต้องพิจารณาซิมเพล็กซ์ที่เกี่ยวข้อง ก้อนบรรจุ (3M)! copy) ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องการฟังก์ชั่นพื้นฐาน binom (N, 3M) - ยังคงเป็นเลขชี้กำลัง แต่เพิ่มขึ้นช้ากว่ามาก ซึ่งอาจทำให้ส่วนล่างของช่วงอยู่ในระยะเอื้อมถึงเวิร์กสเตชันเนื้อ

— Christian Clason

สำหรับระบบ 3 อิเล็กตรอนอาจเป็นไปได้ แต่คุณยังคงไม่สามารถทำอะไรได้มากกว่านี้ แต่นั่นไม่ได้ทำให้โมเลกุลจำนวนมาก :-)

— Wolfgang Bangerth

แต่คำถามก็แค่ขอตัวแปร 3-10 เท่านั้น :) (แต่ประเด็นของคุณถูกต้อง: สำหรับทุกสิ่งที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าจำนวนเล็กน้อยคุณต้องพิจารณาแบบจำลองสนามโดยประมาณเช่น DFT จุดของฉันคือระหว่าง "สามารถ แก้ไขด้วยวิธีการมาตรฐาน "และ" สามารถแก้ไขได้โดยประมาณ "มีปัญหามากมายที่" สามารถ (เท่านั้น) ได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน ".)

— Christian Clason