รูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอนสำหรับ "สมการคลื่น" วิธีการของลักษณะ

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้ โดยที่เงื่อนไขการบังคับสามารถขึ้นอยู่กับ (ดูแก้ไข 1ด้านล่างสำหรับสูตร) และและอนุพันธ์อันดับแรก นี่คือสมการคลื่น 1 + 1 มิติ เรามีข้อมูลเบื้องต้นกำหนดไว้ที่\}

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

ฉันสนใจวิธีการแก้ปัญหาภายในโดเมนของการพึ่งพาช่วงเวลา และกำลังพิจารณารูปแบบความแตกต่างแน่นอนดังต่อไปนี้

{ยู + โวลต์ = 0, ยู \in [- {ยู}_{M}, {ยู}_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

เป้าหมายคือการพัฒนาโดยและในทำนองเดียวกันโวลต์) รูปแบบนี้สามารถในแง่ที่ดังนั้นฉันจึงสามารถคำนวณจากข้อมูลเริ่มต้นได้อย่างต่อเนื่องโดยบูรณาการด้านบน; ด้วยเหตุนี้ผมเท่านั้นจริงๆต้องดูที่สมการวิวัฒนาการสำหรับและW_u $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (ยู, โวลต์) + W_{ยู} (ยู, โวลต์) + W_{โวลต์} (ยู + 1, โวลต์) = W (ยู + 1, โวลต์ + 1) = W (ยู, โวลต์) + W_{โวลต์} (ยู, โวลต์) + W_{ยู} (ยู, โวลต์ + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
สำหรับข้อมูลเบื้องต้นเราต้องสภาพความเข้ากันได้V) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าผมสามารถคำนวณข้อมูลเบื้องต้นโดยใช้ข้างหน้า (ใน ) จำกัด แตกต่างของในครั้งแรกกับค่าที่กำหนดที่จุดครึ่งจำนวนเต็มV-0.5) $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

คำถาม :

นี่เป็นโครงการที่รู้จักกันดีหรือไม่? โดยเฉพาะฉันสามารถค้นหาการวิเคราะห์ของโครงการนี้ได้ที่ไหน
มีสิ่งใดที่ชัดเจนที่ฉันควรระวัง

แบ็คกราวด์ : แกล้งฉันรู้ถัดจากสิ่งใด (ซึ่งอาจเป็นจริงในขณะที่ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่พยายามเรียนรู้กลไกการคำนวณเล็กน้อย)

แก้ไข 1 : เพียงเพื่อชี้แจง (เพื่อจัดการกับความคิดเห็นบางส่วน): สมการในพิกัดจะเป็น และและเป็นพิกัด¨nullที่ได้รับจาก 2)และเท็กซัส ดังนั้นข้อมูลเบื้องต้นที่ในความเป็นจริงที่\} $x$ $t$

W_{เสื้อ เสื้อ} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

ดังนั้นแทนที่จะเป็นตาข่ายที่ปรับให้เหมาะกับฉันจึงพิจารณาว่าตาข่ายนั้นถูกปรับให้เหมาะกับซึ่งได้รับการหมุน 45 องศา เมื่อเปรียบเทียบกับโดยที่รับค่าจำนวนเต็มเราสามารถคิดถึง mesh ว่ามีจุดเพิ่มเติมที่ซึ่งทั้งสอง (แต่ไม่ใช่เพียงหนึ่งใน)และรับค่าจำนวนเต็มครึ่ง $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— วิลลี่หว่อง
แหล่งที่มา

ฉันรู้สึกสับสนเล็กน้อยกับตัวห้อยของคุณ แต่นี่ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นสูตรกำหนดโดเมนเวลาต่างกันบ้าง . . อาจมีสูตรตาข่ายเซ (ครึ่งดัชนี?)

— meawoppl

@ meawoppl: เขาแค่เรียกตัวแปรของเขาว่าแทนตามปกติ (ในสูตรปกติพวกมันจะถูกหมุนด้วยในระนาบเวลาเทียบกับ , แต่นั่นเป็นเรื่องแยกต่างหาก)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Wolfgang Bangerth

ฉันได้แก้ไขเพื่อชี้แจง (คำอธิบายของ Wolfgang Bangerth คือสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจ)

— Willie Wong

คำตอบ:

มีวรรณกรรมเกี่ยวกับแผนการเช่นนี้อย่างแน่นอน คำหลักสองคำคือ

วิธีการแก้ไขของลักษณะ
รูปแบบกึ่งลากรองจ์

หลังจากผ่านไป 20 นาทีของ Google: เอกสารสำคัญบางอย่างอาจเป็นhttp://dx.doi.org/10.1137/0719063และhttp://dx.doi.org/10.1137/0728024 (ค้นหาจากที่นั่น) สิ่งเหล่านั้นอาจไม่ใช่แหล่งอ้างอิงที่ดีที่สุดแต่ควรเป็นจุดเริ่มต้นในการนำคุณไปสู่วรรณกรรมที่ถูกต้อง

W_{เสื้อ เสื้อ} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

ยู = เสื้อ + x, โวลต์ = เสื้อ - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ ซึ่งทั้งคู่เป็นลำดับแรกที่ถูกต้อง

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$

วิธีการแยกส่วนทั่วไปของการลด PDE ให้เป็นระบบของ ODE (เช่นในวิธีการของคุณ) เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นวิธีการของเส้น เช่นเดียวกับวิธีการแยกแยะบรรทัดใด ๆ คุณสามารถเพิ่มลำดับความถูกต้องโดยใช้ตัวแก้ ODE ที่สูงกว่าและคุณสามารถปรับปรุงความเสถียรโดยใช้ตัวแก้ ODE แบบปริยายที่เหมาะสม

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

"แต่ Google จะช่วยคุณได้มากกว่านี้" จริงๆแล้วนั่นเป็นปัญหาใหญ่อย่างหนึ่ง ฉันไม่แน่ใจว่าจะให้ Google ทำอะไร (ฉันสงสัยว่าวรรณกรรมที่เป็นตัวเลขอาจใช้คำที่แตกต่างจากวรรณกรรมบริสุทธิ์) หากคุณสามารถแนะนำคำหลักบางคำที่ฉันควรค้นหาฉันจะขอบคุณ (ตัวอย่างเช่น "วิธีการของบรรทัด" กำลังชี้ให้ฉันเห็นความมั่งคั่งที่แท้จริงของข้อมูล [บางทีอาจจะมากไปหน่อยสำหรับฉันที่จะสามารถกรองผ่าน :-)].)

— Willie Wong

@WillieWong - หนึ่งในการอ้างอิงสำหรับสมการผ่อนชำระที่เรามักอ้างเป็น LeVeque ของวิธีไฟไนต์ไดรฟ์สำหรับปัญหาที่เกินความจริง ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นข้อมูลอ้างอิงที่ถูกต้องหรือไม่สำหรับคุณที่จะเริ่มต้นใช้งาน แต่อย่างน้อยมันจะให้คำแนะนำเกี่ยวกับข้อกำหนดและเทคนิคต่าง ๆ ในฟิลด์

— Aron Ahmadia

ตกลงฉันเพิ่มคำหลักและการอ้างอิง ฉันหวังว่าพวกเขาช่วย

— David Ketcheson

ขอบคุณมากสำหรับการอ้างอิง! นั่นทำให้ฉันเริ่มต้นได้ดี

— Willie Wong

เริ่มต้นจากที่ David Ketcheson ทิ้งฉันไว้ในคำตอบของเขาการค้นหาอีกเล็กน้อยเผยให้เห็นบันทึกทางประวัติศาสตร์

โครงการที่ผมระบุไว้ข้างต้นได้รับการพิจารณาแล้วกลับมาอยู่ใน1900โดยเจ Massau ในMémoire sur l'บูรณาการ Graphique des สม aux dérivées partielles งานนี้เผยแพร่ซ้ำในปี 1952 โดย G. Delporte, Mons

การวิเคราะห์สมัยใหม่ครั้งแรก (แม้ว่าสั้น) ของการบรรจบกันและดังกล่าวได้รับโดย Courant, Friedrichs และ Lewy ในกระดาษคลาสสิกของพวกเขา 1928 ในคณิตศาสตร์ แอน

— วิลลี่หว่อง
แหล่งที่มา

ว้าวฉันไม่อยากจะเชื่อเลยว่าไม่ได้รู้ว่านี่เป็นกระดาษ CFL ...

— เดวิดเคตเชสัน