จะประมาณจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ขนาดใหญ่ได้อย่างไร

ฉันจะประมาณจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ขนาดใหญ่ได้อย่างไร $G$ถ้า $G$ เป็นการรวมกันของการแปลงฟูริเยร์ $F$ (ไม่เหมือนกันหรือเหมือนกัน) ความแตกต่างแน่นอน $R$และเมทริกซ์ทแยงมุม $S$?

เมทริกซ์มีขนาดใหญ่มากและไม่ได้เก็บไว้ในหน่วยความจำและมีให้ใช้งานในฐานะฟังก์ชันเท่านั้น

โดยเฉพาะฉันมีเมทริกซ์ต่อไปนี้:

$G_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR$

ฉันต้องการตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่าง $\mu$ และหมายเลขเงื่อนไข $k(G_\mu)$.

ฉันคิดว่าคนเราต้องการวิธีการวนซ้ำบางอย่าง? อย่างดีที่สุดจะมีโค้ด MATLAB บ้าง

MATLAB มีฟังก์ชั่น "แน่นอน" สองอย่างสำหรับเรื่องนี้condและrcondเมื่อคืนค่าหมายเลขเงื่อนไขกลับคืนมา ฟังก์ชั่นโดยประมาณของ Matlab condestได้อธิบายไว้อย่างสมบูรณ์ด้านล่าง

บ่อยครั้งที่การประเมินหมายเลขเงื่อนไขถูกสร้างขึ้นเป็นผลพลอยได้จากการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์ดังนั้นคุณอาจจะสามารถประเมินตัวเลขเงื่อนไขเกี่ยวกับงานอื่นที่คุณต้องทำต่อไปได้ ดูที่นี่สำหรับคำอธิบายโดยย่อเกี่ยวกับวิธีคำนวณการประมาณ นอกจากนี้ข้อสังเกตของเอกสาร Sandia Labs AztecOO (ดู Sec. 3.1) ว่าการประเมินหมายเลขเงื่อนไขเพิ่มเติมมีให้บริการจากนักแก้ปัญหาซ้ำ ๆ (โดยใช้เมทริกซ์ Tridiagonal Lanczos ที่สร้างขึ้นด้วย Conjugate Gradients หรือเมทริกซ์ Hessenburg ที่สร้างขึ้นใหม่ด้วย GMRES ที่เริ่มใหม่)

เนื่องจากเมทริกซ์ของคุณมี "ใหญ่มาก" และ "พร้อมใช้งานเป็นฟังก์ชั่นเท่านั้น" เท่านั้นวิธีการทางตรรกะจึงเป็นวิธีการที่ piggybacks บนตัวแปลงไล่ระดับสีคอนจูเกตหรือตัวแปร

กระดาษ arXiv.org เมื่อเร็ว ๆ นี้การประมาณค่าลักษณะเฉพาะแบบไม่อยู่กับที่สุดขั้วในการแก้ปัญหาแบบวนซ้ำของระบบเชิงเส้นและตัวประมาณสำหรับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เสนอวิธีการดังกล่าวและมีการอ้างอิงไม่กี่วรรณกรรมก่อนหน้า

ตอนนี้ที่ฉันดูฟอรั่มนี้มีคำถามที่เกี่ยวข้องจำนวนมากก่อนหน้านี้ (ไม่ใช่ทั้งหมดที่มีคำตอบ แต่ตรวจสอบความคิดเห็น):

ประมาณการค่าสุดขีดสุดขั้วกับ CG

การประมาณจำนวนเงื่อนไขสำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่มาก

อัลกอริทึมที่เร็วที่สุดในการคำนวณจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์ขนาดใหญ่ใน Matlab / Octave

เนื่องจากความพร้อมใช้งานของรหัส MATLAB เป็นส่วนหนึ่งของคำถามนี่คือข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับcondestฟังก์ชั่นในตัวที่ประมาณหมายเลขเงื่อนไข 1 นอร์ม$\|A\|_1 \|A^{-1}\|_1$. แนวคิดมาจาก Hager (1984) โดยมีการเขียนและส่วนขยาย 2010 ที่นี่เพื่อคำนวณอย่างชัดเจน (หาค่าสูงสุด 1 บรรทัดฐานของคอลัมน์) และประมาณด้วยวิธีการไล่ระดับสี ดูที่CONDITIONของ John Burkardt ซึ่งเป็นไลบรารี MATLAB (ภาษาอื่น ๆ ที่มี) "สำหรับการคำนวณหรือการประมาณจำนวนเงื่อนไขของเมทริกซ์"$\|A\|_1$$\|A^{-1}\|_1$

เนื่องจากเมทริกซ์ของคุณชัดเจนว่าเป็นคน Hermitian และมีความแน่นอนในเชิงบวกอาจเป็นไปได้ว่าเงื่อนไขจำนวน 2 บรรทัดนั้นน่าสนใจกว่า จากนั้นปัญหาก็คือการประเมินอัตราส่วนของค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด (น้อยที่สุด) ความท้าทายค่อนข้างขนานกับกรณี 1 บรรทัดฐานซึ่งโดยทั่วไปแล้วการประมาณค่าที่ดีสำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดสามารถหาได้ง่าย แต่การประมาณค่าลักษณะเฉพาะน้อยที่สุดนั้นพิสูจน์ได้ยากขึ้น

แม้ว่าการเล็งที่กรณีที่ไม่ใช่ SPD (และแม้แต่ที่ไม่ใช่สแควร์) กระดาษ arXiv.org ล่าสุดการประมาณค่าเงื่อนไขซ้ำจำนวนที่เชื่อถือได้ให้ภาพรวมที่ดีของปัญหาการประมาณค่าลักษณะเฉพาะน้อยที่สุดและแนวการโจมตีที่มีแนวโน้มโดย Krylov-subspace วิธีการ (LSQR) ที่มีจำนวนการผันแปรคอนจูเกตในกรณี SPD