การตีความอย่างง่ายของการแปลง Laplace

ดังนั้นฉันจะได้รับการแปลงฟูริเยร์ด้วย ตอนนี้ฉันเข้าใจได้อย่างชัดเจนว่ามันทำอะไรและจะติดตามชั้นเรียนคณิตศาสตร์ในไม่ช้า แต่จากนั้นฉันก็ไปอ่านเกี่ยวกับการแปลงเลซและฉันก็สูญเสียมันไป ช่วงเวลาของสัญญาณคืออะไร? เหตุใดฟูเรียร์จึงเปลี่ยนเป็นกรณีพิเศษของการแปลง Laplace ฉันจะเข้ามาจับกับ Laplace transform ได้อย่างไร?

ฉันเคยดูที่แหล่งข้อมูลเหล่านี้ก่อนที่ฉันจะถามคำถามนี้:

อะไรคือความหมายของ "การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น" และ "การตอบสนองความถี่"

วิธีแยกแยะระหว่างโดเมนความถี่ที่แตกต่างกันอย่างไร

Amplitude vs Frequency Response

ทำไมการแปลงฟูริเยร์จึงสำคัญมาก?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

หากคุณมีความเข้าใจในการแปลงฟูริเยร์แล้วคุณอาจมีรูปแบบแนวคิดของการแปลงสัญญาณเป็นโดเมนความถี่ Laplace transform ให้การแทนโดเมนความถี่ทางเลือกของสัญญาณ - โดยปกติจะเรียกว่า "S domain" เพื่อแยกความแตกต่างจากการแปลงโดเมนความถี่อื่น (เช่น Z transform - ซึ่งเป็นหลักการเทียบเท่ากับการแปลง Laplace)

ช่วงเวลาของสัญญาณคืออะไร?

ในขณะที่คุณไม่ต้องสงสัยเลยว่าการแปลง Laplace ทำให้เรามีรายละเอียดของสัญญาณจากช่วงเวลาคล้ายกับวิธีการแปลงฟูริเยร์ทำให้เรามีคำอธิบายจากเฟสและแอมพลิจูด

พูดกว้าง ๆ สักครู่จะได้รับการพิจารณาว่าตัวอย่างเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของสัญญาณ - ช่วงเวลาแรกคือความหมายที่แท้จริงที่สองคือความแปรปรวน ฯลฯ ... (นี่เป็นที่รู้จักกันในชื่อ "ช่วงเวลาของการกระจาย")

ด้วยฟังก์ชั่นของเรา F (t) เราสามารถคำนวณอนุพันธ์ของ n'th ที่ t = 0 เพื่อให้ช่วงเวลา n'th ของเรา เช่นเดียวกับสัญญาณที่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้เฟสและแอมพลิจูดมันสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยอนุพันธ์ทั้งหมดของมัน

เหตุใดฟูเรียร์จึงเปลี่ยนเป็นกรณีพิเศษของการแปลง Laplace

ถ้าเราดูการเปลี่ยนรูปแบบทวิภาคี:

มันควรจะค่อนข้างชัดเจนว่าการทดแทน $s=i\omega$ จะให้สมการการแปลงฟูริเยร์ที่คุ้นเคย:

มีบันทึกบางส่วนเกี่ยวกับความสัมพันธ์นี้ ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) แต่คณิตศาสตร์ควรมีความโปร่งใส

เหตุใดฟูเรียร์จึงเปลี่ยนเป็นกรณีพิเศษของการแปลง Laplace

Laplace transform สร้างพื้นผิว 2 มิติของค่าที่ซับซ้อนในขณะที่การแปลงฟูริเยร์จะสร้างบรรทัดที่ซับซ้อน 1D การแปลงฟูริเยร์คือสิ่งที่คุณได้รับเมื่อคุณหั่น Laplace transform ไปตามแกนjω ตัวอย่างเช่นตัวกรอง lowpass แบบง่าย$H(s)=\frac{1}{s+1}$ มีขั้วเดี่ยวในระนาบ S ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด:

เมื่อมองจากด้านข้างขนาดของการแปลง Laplace นี้ก่อให้เกิดพื้นผิวโดยมีขั้วที่ทำหน้าที่เหมือนเสาเต็นท์ที่เพิ่มขนาดให้กับอนันต์ที่จุดนั้น (และศูนย์โดยนัยที่ไม่มีที่สิ้นสุด ที่มาคุณไปในทิศทางใด):

หากคุณนำค่าของพื้นผิวไปตามแกนjωเท่านั้นนั่นคือการแปลงฟูริเยร์ มันคือเส้นโค้งสีแดงในภาพด้านบนซึ่งคุณสามารถเห็นรูปแบบตัวกรอง lowpass ถ้าคุณย้ายเสาให้ห่างจากแหล่งกำเนิดเต็นท์จะย้ายไปในทิศทางเดียวกันและชิ้นตามแนวแกนjωจะลดลงทั้งลดอัตราขยาย (ซึ่งเราชดเชยด้วยการเพิ่มอัตราขยายโดยรวม) และเพิ่มความถี่ตัด ฉันตั้งใจจะสร้างแอนิเมชันของสิ่งนี้ ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดของ Laplace transform ที่ฉันเคยเห็น:

เมื่อมองแวบแรกมันจะปรากฏว่ากลยุทธ์ของการแปลง Laplace เหมือนกับการแปลงฟูริเยร์: เชื่อมโยงสัญญาณโดเมนเวลากับชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานเพื่อสลายรูปคลื่น ไม่จริง! แม้ว่าคณิตศาสตร์จะเหมือนกันมาก แต่เหตุผลเบื้องหลังเทคนิคทั้งสองนั้นแตกต่างกันมาก

การแปลง Laplace สามารถดูเป็นการตรวจสอบการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบที่มีไซน์ซอยด์เน่าเปื่อยแบบทวีคูณ การตรวจสอบรูปคลื่นที่ก่อให้เกิดการยกเลิกนั้นเรียกว่าเสาและศูนย์

สิ่งนี้ช่วยให้เราแทนที่จะอธิบายการตอบสนองความถี่สำหรับทุกคน $\omega$ ใช้จุดคุณลักษณะเล็ก ๆ ที่กำหนดลักษณะการทำงานของระบบในจุดอื่น ๆ ทั้งหมด (รวมถึงส่วนหนึ่งของ $s$-เครื่องบิน $s=j\omega$ ซึ่งเป็นการตอบสนองความถี่)

มีการเปรียบเทียบที่ดีสำหรับสิ่งนี้ในหนังสือ:

ตอนนี้ลองคิดดูว่าคุณเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างระดับความสูงและระยะทางตามเส้นทางรถไฟอย่างไร เมื่อคุณวัดระดับความสูงได้โดยตรงคุณสามารถอ้างได้อย่างถูกต้องว่าคุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ ในการเปรียบเทียบตัวนำนั้นรู้ข้อมูลที่สมบูรณ์แบบนี้ แต่ในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าและใช้งานง่ายกว่า: ที่ตั้งของเนินเขาและหุบเขาที่ทำให้เกิดการจุ่มและฮัมตามเส้นทาง ในขณะที่คำอธิบายสัญญาณของคุณอาจประกอบด้วยการวัดหลายพันรายการ แต่คำอธิบายของสัญญาณตัวนำจะมีเพียงไม่กี่พารามิเตอร์