การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของลำดับขั้นตอนของยูนิต

จากหนังสือเรียนรู้ว่า DTFT ของ $u[n]$ ได้รับจาก

\begin{matrix} (1) & ยู (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

อย่างไรก็ตามฉันไม่ได้เห็นตำราเรียนของ DSP ที่อย่างน้อยก็แกล้งทำเป็นให้เสียงที่มาไม่มากก็น้อย $(1)$ .

Proakis [1] เกิดขึ้นครึ่งขวาของด้านขวามือของ $(1)$ โดยการตั้งค่า $z=e^{j\omega}$ ใน $\mathcal{Z}$ - การเปลี่ยนแปลงของ $u[n]$ และบอกว่าถูกต้องยกเว้น $\omega=2\pi k$ (ซึ่งแน่นอนว่าถูกต้อง) จากนั้นเขาก็กล่าวว่าที่เสาของ $\mathcal{Z}$ - เปลี่ยนเราต้องเพิ่มแรงกระตุ้นเดลต้ากับพื้นที่ของ $\pi$ แต่นั่นดูเหมือนสูตรสำหรับฉันมากกว่าสิ่งอื่นใด

Oppenheim and Schafer [2] พูดถึงในบริบทนี้

แม้ว่ามันจะไม่ตรงไปตรงมาเพื่อแสดงลำดับนี้สามารถแสดงโดยการแปลงฟูริเยร์ต่อไปนี้:

ซึ่งตามด้วยสูตรเทียบเท่ากับ $(1)$ . น่าเสียดายที่พวกเขาไม่ได้มีปัญหาในการแสดงให้เราเห็นว่าหลักฐาน "ไม่ตรงไปตรงมา"

หนังสือที่ฉันไม่รู้จริง ๆ แต่ฉันพบเมื่อมองหาหลักฐาน $(1)$ คือการแนะนำการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลและการออกแบบตัวกรองโดย BA Shenoi บนหน้า 138มี "มา" ของ $(1)$ แต่น่าเสียดายที่มันผิด ฉันถามคำถาม"DSP-puzzle"เพื่อให้ผู้คนแสดงสิ่งที่ผิดกับการพิสูจน์นั้น]

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

ใครสามารถให้หลักฐาน / มาของ $(1)$ นั่นคือเสียงหรือแม้กระทั่งเข้มงวดในขณะที่สามารถเข้าถึงได้สำหรับวิศวกรมีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์? ไม่สำคัญว่าจะเพิ่งคัดลอกมาจากหนังสือ ฉันคิดว่ามันคงจะดีถ้ามีไว้ในเว็บไซต์นี้อยู่ดี

โปรดทราบว่าแม้ในmath.SEเกือบไม่มีอะไรที่เกี่ยวข้องที่จะพบ: คำถามนี้มีคำตอบไม่ได้และที่หนึ่งมีสองคำตอบซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นสิ่งที่ผิด (เหมือนกับอาร์กิวเมนต์ Shenoi) และคนอื่น ๆ ใช้คุณสมบัติ "สะสม" ซึ่งฉันจะมีความสุข แต่ก็ต้องพิสูจน์คุณสมบัติซึ่งทำให้คุณกลับไปสู่จุดเริ่มต้น (เพราะหลักฐานทั้งสองพิสูจน์โดยทั่วไปในสิ่งเดียวกัน)

ในฐานะที่เป็นบันทึกสุดท้ายฉันได้มาพร้อมกับหลักฐาน (เช่นฉันเป็นวิศวกร) และฉันจะโพสต์เป็นคำตอบในอีกไม่กี่วันต่อจากนี้ แต่ฉันก็ยินดีที่จะรวบรวมหลักฐานอื่นที่เผยแพร่หรือไม่ได้เผยแพร่ ที่เรียบง่ายและสง่างามและที่สำคัญที่สุดคือสามารถเข้าถึงได้สำหรับวิศวกร DSP

PS: ฉันไม่สงสัยความถูกต้องของ $(1)$ ฉันต้องการเห็นหลักฐานที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาหนึ่งหรือหลายข้อ

[1] Proakis, JG และ DG Manolakis, การประมวลผลสัญญาณดิจิตอล: หลักการ, อัลกอริทึมและแอปพลิเคชั่น , รุ่นที่ 3, ส่วน 4.2.8

[2] Oppenheim, AV และ RW Schafer, การประมวลผลสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง , รุ่นที่ 2, p. 54

แรงบันดาลใจจากความคิดเห็นโดย Marcus Müllerฉันต้องการแสดงให้เห็นว่า

U (ω)

$U(\omega)$ ตามที่กำหนดโดย Eq

(1)

$(1)$ ตอบสนองความต้องการ

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

ถ้า $U(\omega)$ คือ DTFT ของ $u[n]$ จากนั้น

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

ต้องเป็น DTFT ของ

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(ที่เรากำหนด $\text{sign}[0]=1$ ), เพราะ

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

ดังนั้นเราจึงมี

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

จากการที่มันตามมาว่า

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

ด้วยสิ่งนี้เราได้รับ

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

waaah อย่าทำลายโลกของฉัน ข้อสงสัยในสูตรดังกล่าวทำให้เกิดความสับสนวุ่นวาย ตัวอย่างเช่น,

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$ และด้วยเหตุนี้ (ด้วย prefactor นิยาม FT ต่อเนื่องขึ้นอยู่กับ

c

$c$ )

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Marcus Müller

@ MarcusMüller: ไม่ต้องสงสัยเลยว่าสูตรนั้นถูกต้อง คำถามคือวิธีแสดงให้เห็นในวิธีที่วิศวกรที่มีใจเรียบง่ายสามารถเข้าใจได้ และ

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$ ใช้งานได้กับ DTFT ที่กำหนดไม่มีปัญหา

— Matt L.

ฉันคิดว่าตัวเองเป็นคนที่เรียบง่ายและนั่นหมายความว่าฉันกังวลเมื่อสิ่งต่าง ๆ ไม่รู้สึก "ปลอดภัย" เมื่อฉันมองไม่เห็นว่ามันมาจากไหน

— Marcus Müller

ฉันเห็นว่าสิ่งที่คุณตามมาคือเพื่อไม่ให้พิสูจน์ว่าสมการนั้นถูกต้องหรือไม่ แต่จะเป็นการพิสูจน์อย่างจริงจังและโดยตรง มา

U (w)

$U(w)$ จากหลักการและคำจำกัดความแรกของ DTFT จากนั้นเมื่อใดก็ตามที่เราต้องการพิสูจน์หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับแรงกระตุ้นฉันคิดว่าควรอ้างถึงหนังสือที่อ้างถึงจากทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไป: Lighthill-1958อ้างใน Opp & Schafer สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันแรงกระตุ้นและการใช้ในการแปลงฟูริเยร์ หลักฐานอื่น ๆ ทั้งหมดย่อมจะขึ้นอยู่กับการพิสูจน์ที่อ้างอิงจากการอ้างอิงเหล่านั้นและจะไม่เพียงพอที่จะแทนที่การพิสูจน์ที่เข้มงวด

— Fat32

@ Fat32: นั่นเป็นมุมมองที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าเป็นไปได้ที่เราจะได้รับการแปลงพื้นฐานเช่น

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$ และถ้าเราพอใจที่จะกำหนดอินทิกรัลโดยค่านิยมหลักของโคชี

— Matt L.

คำตอบ:

Cedron Dawg โพสต์จุดเริ่มต้นที่น่าสนใจในคำตอบนี้ มันเริ่มต้นด้วยขั้นตอนเหล่านี้:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

ปรากฎว่าคำที่อยู่ในขีด จำกัดสามารถขยายได้ดังต่อไปนี้ :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

ปัจจัยทั่วไปที่อยู่นอกวงเล็บสามารถแสดงเป็น :

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

ส่วนที่แท้จริงภายในวงเล็บยังเท่ากับ :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

ในทางตรงกันข้ามส่วนจินตภาพสามารถเขียนใหม่เป็น :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

การเขียนคำศัพท์ต้นฉบับใหม่เราจะได้รับ:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

ที่ฉันใช้ $M=N-1$ และขีด จำกัด ยังคงไม่ได้รับผลกระทบเหมือน $M\to \infty$ เช่นกัน

ตามคำจำกัดความที่ 7 ในเว็บไซต์นี้ :

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

จนถึงตอนนี้เราก็มี:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าคำที่สองทางด้านขวาของความเสมอภาคคือ $0$ ในบางแง่มุมแล้วเราก็ทำเสร็จแล้ว ฉันถามมันที่ math.SEและแน่นอนว่าลำดับฟังก์ชั่นนั้นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์การกระจาย ดังนั้นเราจึงมี:

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่ดีมาก! ฉันตรวจสอบแล้วและทุกอย่างดูเหมือนจะถูกต้องดังนั้นส่วนจินตภาพต้องมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ในบางแง่มุม ฉันจะคิดเกี่ยวกับมันสักหน่อย

— Matt L.

@MattL แจ้งให้เราทราบหากคุณสามารถดำเนินการใด ๆ !

— Tendero

@MattL หลักฐานก็เสร็จสมบูรณ์ในที่สุด!

— Tendero

การทำงานที่ดี! ฉันพบว่าคำศัพท์โคไซน์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจาก Riemann-Lebesgue lemma แต่ปัญหาของฉันคือกรณี

ω = 0

$\omega=0$ . เพราะสูตรแรกนั้นขึ้นอยู่กับผลรวมทางเรขาคณิตซึ่งใช้ได้สำหรับเท่านั้น

ω \neq 0

$\omega\neq 0$ . มันใช้งานได้ดี แต่ก็ยังมีข้อบกพร่องเล็กน้อย ฉันมีรากศัพท์อื่นที่ไม่แยกคำ

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$ ซึ่งในกรณีนี้

ω = 0

$\omega=0$ ได้รับการดูแลอย่างระมัดระวังมากขึ้น แต่ก็ยังเป็น "หลักฐานของวิศวกร" ฉันอาจโพสต์เมื่อฉันมีเวลามากขึ้น

— แมตต์แอล

ฉันจะให้หลักฐานอันง่าย ๆ สองข้อที่ไม่ต้องการความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีการกระจาย สำหรับหลักฐานที่คำนวณ DTFT โดยกระบวนการ จำกัด โดยใช้ผลลัพธ์จากทฤษฎีการกระจายให้ดูคำตอบนี้โดย TenderoTendero

ฉันจะพูดถึง (และไม่อธิบายรายละเอียด) หลักฐานแรกที่นี่เพราะฉันโพสต์มันเป็นคำตอบสำหรับคำถามนี้วัตถุประสงค์ที่จะแสดงให้เห็นว่าหลักฐานที่ตีพิมพ์บางข้อผิดพลาด

หลักฐานอื่นไปดังนี้ ก่อนอื่นเรามาเขียนส่วนคู่ของลำดับขั้นตอนหน่วย $u[n]$ :

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

DTFT ของ $(1)$ คือ

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

ซึ่งเท่ากับส่วนที่แท้จริงของ DTFT ของ $u[n]$ :

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

ตั้งแต่ $u[n]$ เป็นลำดับที่มีคุณค่าที่เราทำเพราะชิ้นส่วนจริงและจินตภาพของ $U(\omega)$ มีความเกี่ยวข้องผ่านการแปลงของฮิลแบร์ตและดังนั้น $U_R(\omega)$ กำหนดเฉพาะ $U(\omega)$ . อย่างไรก็ตามในข้อความ DSP ส่วนใหญ่ความสัมพันธ์ที่แปลงฮิลแบร์ตเหล่านี้ได้มาจากสมการ $h[n]=h[n]u[n]$ (ซึ่งใช้ได้สำหรับลำดับเชิงสาเหตุใด ๆ $h[n]$ ) ซึ่งมันตามมานั้น $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ . ดังนั้นเพื่อที่จะแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของฮิลแบร์ตความสัมพันธ์ระหว่างส่วนจริงและจินตภาพของ DTFT เราจำเป็นต้องมี DTFT ของ $u[n]$ ซึ่งเราอยากได้มาที่นี่จริงๆ ดังนั้นการพิสูจน์จะกลายเป็นวงกลม นั่นเป็นเหตุผลที่เราจะเลือกวิธีที่แตกต่างเพื่อให้ได้ส่วนจินตภาพของ $U(\omega)$ .

สำหรับการสืบมา $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ เราเขียนส่วนที่แปลก ๆ ของ $u[n]$ ดังต่อไปนี้:

\begin{matrix} (4) & {ยู}_{โอ} [n] = \frac{1}{2} (ยู [n] - ยู [- n]) = ยู [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

ถ่าย DTFT ของ $(4)$ จะช่วยให้

\begin{aligned} J {ยู}_{ผม} (ω) & = {อี}^{- J ω} ยู (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = {อี}^{- J ω} ({ยู}_{R} (ω) + J {ยู}_{ผม} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = {อี}^{- J ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + {อี}^{- J ω} J {ยู}_{ผม} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + {อี}^{- J ω}) + {อี}^{- J ω} J {ยู}_{ผม} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

ที่ฉันเคยใช้ $(3)$ . อีคิว $(5)$ สามารถเขียนเป็น

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

ข้อสรุปที่ถูกต้องจาก $(6)$ คือ (ดูคำตอบนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

แต่เนื่องจากเรารู้ว่า $U_I(\omega)$ จะต้องเป็นฟังก์ชันคี่ของ $\omega$ (เพราะ $u[n]$ มีมูลค่าจริง) เราสามารถสรุปได้ทันที $c=0$ . ดังนั้นจาก $(3)$ และ $(7)$ ในที่สุดเราก็ได้

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา