ปรีชาสักครู่เกี่ยวกับความหมายของการแจกแจงหรือไม่?

ใครสามารถให้สัญชาตญาณว่าทำไมช่วงเวลาที่สูงขึ้นของการแจกแจงความน่าจะเป็นเช่นช่วงเวลาที่สามและสี่สอดคล้องกับความเบ้และความโด่งตามลำดับ? ทำไมค่าเบี่ยงเบนเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยยกกำลังสามหรือสี่จึงแปลเป็นตัวชี้วัดความเบ้และความโด่ง มีวิธีที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้กับอนุพันธ์อันดับสามหรือสี่ของฟังก์ชันหรือไม่?$p_X$

พิจารณาคำจำกัดความของความเบ้และความโด่ง:

$$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$$

ในสมการเหล่านี้เราเพิ่มค่าปกติเป็นพลังงานและนำค่าที่คาดไว้ ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมการเพิ่มตัวแปรสุ่มให้เป็นกำลังสี่ให้ "ความแหลม" หรือทำไมการเพิ่มตัวแปรสุ่มให้เป็นกำลังสามควรให้ "ความเบ้" ดูเหมือนว่ามหัศจรรย์และลึกลับ!$(X-\mu)/\sigma$

มีเหตุผลที่ดีสำหรับคำจำกัดความเหล่านี้ซึ่งจะชัดเจนขึ้นเมื่อคุณดูรูปแบบทั่วไปสำหรับช่วงเวลาของตัวแปรสุ่มมาตรฐาน เพื่อตอบคำถามนี้ก่อนพิจารณารูปแบบทั่วไปของ TH มาตรฐานกลางช่วงเวลา :$n$†$^\dagger$

$$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$$

ช่วงเวลากลางที่เป็นมาตรฐานสองช่วงแรกคือค่าและซึ่งมีไว้สำหรับการแจกแจงทั้งหมดที่มีการกำหนดปริมาณไว้ด้านบน ดังนั้นเราสามารถพิจารณาไม่น่ารำคาญช่วงเวลากลางมาตรฐานที่เกิดขึ้นสำหรับค่า3 เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ของเราเรากำหนด:$\phi_1=0$$\phi_2=1$$n \geqslant 3$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$$

เหล่านี้เป็นปริมาณที่ไม่ใช่เชิงลบที่ให้ TH แน่นอนอำนาจของเงื่อนไขตัวแปรสุ่มมาตรฐานบนมันจะสูงหรือต่ำกว่ามูลค่าที่คาดว่าจะ ตอนนี้เราจะสลายโมเมนต์ศูนย์กลางที่ได้มาตรฐานในส่วนเหล่านี้$n$

---

ค่าแปลก ๆ ของวัดความเบ้ที่หาง:$n$สำหรับค่าแปลก ๆ ของเรามีพลังแปลกในสมการโมเมนต์ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนโมเมนต์ศูนย์กลางที่ได้มาตรฐานเป็น- จากแบบฟอร์มนี้เราจะเห็นว่าช่วงเวลากลางมาตรฐานทำให้เรามีความแตกต่างระหว่างพลังสัมบูรณ์ที่ของตัวแปรสุ่มมาตรฐานซึ่งมีเงื่อนไขว่าอยู่เหนือหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ยของมันตามลำดับ$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$$n$

ดังนั้นสำหรับพลังแปลก ๆเราจะได้รับการวัดที่ให้ค่าเป็นบวกหากพลังงานสัมบูรณ์ที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มมาตรฐานสูงกว่าค่าที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยต่ำกว่าค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ยและให้ค่าลบหากคาดว่า พลังงานสัมบูรณ์นั้นต่ำกว่าสำหรับค่าที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยมากกว่าสำหรับค่าที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ปริมาณใด ๆ เหล่านี้อาจถูกพิจารณาอย่างสมเหตุสมผลว่าเป็นตัวชี้วัดประเภท "ความเบ้" ด้วยพลังที่สูงกว่าให้น้ำหนักสัมพัทธ์มากกว่าค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย$n \geqslant 3$

เนื่องจากปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นกับพลังแปลก ๆ ทุกอย่างทางเลือกตามธรรมชาติสำหรับการวัดตามแบบฉบับของ "ความเบ้" คือการนิยามเป็นความเบ้ นี่คือช่วงเวลากลางมาตรฐานที่ต่ำกว่าพลังแปลก ๆ ที่สูงกว่าและเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสำรวจช่วงเวลาที่มีลำดับต่ำกว่าก่อนที่จะพิจารณาช่วงเวลาที่สูงขึ้น ในสถิติเราได้นำการประชุมที่อ้างถึงช่วงเวลากลางที่เป็นมาตรฐานนี้มาเป็นความเบ้เนื่องจากเป็นช่วงเวลากลางที่มีมาตรฐานต่ำที่สุดที่ใช้วัดด้านนี้ของการกระจาย (พลังแปลก ๆ ที่สูงกว่านั้นก็วัดประเภทความเบ้ แต่ด้วยการเน้นค่าที่มากกว่าและไกลกว่าของค่าเฉลี่ย)$n \geqslant 3$$\phi_3$

---

ค่าแม้แต่วัดความอุดมสมบูรณ์ของหาง:$n$สำหรับค่าแม้ใด ๆ ของเรามีอำนาจแม้จะอยู่ในสมการในขณะนี้และเพื่อให้เราสามารถเขียนในขณะที่ภาคกลางมาตรฐานเป็น\ จากแบบฟอร์มนี้เราจะเห็นว่าช่วงเวลากลางที่เป็นมาตรฐานนั้นให้ผลรวมของกำลังสัมบูรณ์ที่ของตัวแปรสุ่มมาตรฐานซึ่งมีเงื่อนไขว่ามันอยู่เหนือหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ยของมันตามลำดับ$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$$n$

ดังนั้นสำหรับพลังงานใด ๆ แม้แต่เราจะได้รับการวัดที่ให้ค่าที่ไม่เป็นลบด้วยค่าที่สูงกว่าที่เกิดขึ้นหากส่วนท้ายของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มมาตรฐานนั้นอ้วนขึ้น โปรดทราบว่านี่เป็นผลลัพธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปรสุ่มมาตรฐานและดังนั้นการเปลี่ยนแปลงในระดับ (การเปลี่ยนแปลงความแปรปรวน) จึงไม่มีผลต่อการวัดนี้ มันเป็นเครื่องวัดความอ้วนของหางได้อย่างมีประสิทธิภาพหลังจากสร้างมาตรฐานสำหรับความแปรปรวนของการกระจาย ปริมาณใด ๆ เหล่านี้อาจถือได้ว่าเป็นตัวชี้วัดชนิดหนึ่งของ "kurtosis" ด้วยพลังที่สูงกว่าให้น้ำหนักสัมพัทธ์มากกว่าค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย$n \geqslant 3$

เนื่องจากปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นสำหรับทุก ๆ แม้แต่ powerทางเลือกตามธรรมชาติสำหรับการวัดแบบดั้งเดิมของkurtosisคือการนิยามเป็น kurtosis นี่คือช่วงเวลากลางมาตรฐานที่ต่ำกว่าพลังที่สูงกว่าและเป็นธรรมดาที่จะสำรวจช่วงเวลาที่มีลำดับต่ำกว่าก่อนที่จะพิจารณาช่วงเวลาที่สูงขึ้น ในสถิติเราได้รับรองอนุสัญญาว่าด้วยช่วงเวลากลางที่เป็นมาตรฐานนี้ว่า "kurtosis" เนื่องจากเป็นช่วงเวลากลางที่มีมาตรฐานต่ำที่สุดที่ใช้วัดด้านนี้ของการกระจาย (ผู้มีอำนาจยิ่งใหญ่ยิ่งกว่านั้นยังสามารถวัดประเภทของความโด่งได้ แต่เน้นที่ค่านิยมที่มากกว่าและห่างไกลจากค่าเฉลี่ย)$n \geqslant 3$$\phi_4$

---

$^\dagger$สมการนี้ถูกนิยามไว้อย่างดีสำหรับการแจกแจงใด ๆ ที่มีสองช่วงเวลาแรกและมีความแปรปรวนที่ไม่เป็นศูนย์ เราจะสมมติว่าการกระจายความสนใจตกอยู่ในคลาสนี้สำหรับการวิเคราะห์ที่เหลือ

คำถามที่คล้ายกัน'ช่วงเวลา' เกี่ยวกับ 'ช่วงเวลา' ของการแจกแจงความน่าจะเป็นอย่างไร ฉันให้คำตอบทางกายภาพกับสิ่งที่แก้ไขเวลา

"ความเร็วเชิงมุมเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเชิงมุมซึ่งเป็นอนุพันธ์ของมุมเทียบกับเวลาคือ . พิจารณาว่าโมเมนต์ที่สองนั้นคล้ายกับแรงบิดที่ใช้กับการเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือถ้าคุณจะทำการเร่งความเร็ว / ความเร่ง (เช่นอนุพันธ์อันดับสอง) ของการเคลื่อนที่แบบวงกลมนั้น (เช่นแองกูลาร์, ) ในทำนองเดียวกัน เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของแรงบิดและอื่น ๆ สำหรับช่วงเวลาที่สูงขึ้นเพื่อให้อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลงคืออนุพันธ์ตามลำดับของการเคลื่อนที่แบบวงกลม .... "$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

ดูลิงก์เนื่องจากอาจทำให้เห็นภาพตัวอย่างนี้ได้ง่ายขึ้น

ง่ายต่อการเข้าใจความเบ้ง่ายกว่าเคิร์ตซีส ลบความเบ้เป็นหางซ้ายที่หนักกว่า (หรือทิศทางลบด้านนอก) กว่าทางด้านขวาและความเบ้บวกในทางตรงกันข้าม

วิกิพีเดียอ้างอิง Westfall (2014) และบอกเป็นนัยว่า kurtosis สูงเกิดขึ้นสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าผิดปกติไกลหรือฟังก์ชันความหนาแน่นที่มีหางหนาหนึ่งหรือสองตัวในขณะที่อ้างว่าแนวโน้มของข้อมูลหรือความหนาแน่นส่วนกลางมีผลค่อนข้างน้อยต่อค่า kurtosis ค่า kurtosis ที่ต่ำจะบ่งบอกถึงความตรงกันข้ามนั่นคือการขาด -axis outliers และค่าความสว่างสัมพัทธ์ของหางทั้งสอง$x$