เราได้รับนั้น
limn→∞P(|Xn−α|>ϵ)=0
และเราต้องการแสดงให้เห็นว่า
limn→∞P(∣∣∣αXn−1∣∣∣>ϵ)=0
เรามีสิ่งนั้น
∣∣∣αXn−1∣∣∣=∣∣∣1Xn(α−Xn)∣∣∣=∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|
ดังนั้นอย่างเท่าเทียมกันเรากำลังตรวจสอบขีด จำกัด ความน่าจะเป็น
limn→∞P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ)=?0
เราสามารถแบ่งความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นร่วมแบบเอกสิทธิ์เฉพาะบุคคลซึ่งกันและกัน
P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ)=P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ,|Xn|≥1)+P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ,|Xn|<1)
สำหรับองค์ประกอบแรกเรามีชุดของความไม่เท่าเทียมกัน
P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ,|Xn|≥1)≤P[|Xn−α|>ϵ,|Xn|≥1]≤P[|Xn−α|>ϵ]
ความไม่เท่าเทียมแรกมาจากความจริงที่ว่าเรากำลังพิจารณาภูมิภาคที่สูงกว่าความสามัคคีและดังนั้นจึงกลับซึ่งมีขนาดเล็กกว่าความสามัคคี ความไม่เท่าเทียมที่สองเนื่องจากความน่าจะเป็นร่วมของชุดเหตุการณ์ไม่สามารถมากกว่าความน่าจะเป็นของชุดย่อยของเหตุการณ์เหล่านี้
ขีด จำกัด ของคำขวาสุดคือศูนย์ (นี่คือหลักฐาน) ดังนั้นขีด จำกัด ของคำซ้ายสุดจึงเป็นศูนย์ องค์ประกอบแรกของความน่าจะเป็นที่เราสนใจคือศูนย์|Xn|
สำหรับองค์ประกอบที่สองเรามี
P(∣∣∣1Xn∣∣∣|Xn−α|>ϵ,|Xn|<1)=P(|Xn−α|>ϵ|Xn|,|Xn|<1)
กำหนด. ตั้งแต่ที่นี่มีขอบเขตมันตามที่สามารถทำ arnitrarily ขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่และดังนั้นจึงเป็นเทียบเท่ากับ\ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันδ≡ϵ⋅max|Xn||Xn|δϵ
P[|Xn−α|>δ,|Xn|<1]≤P[|Xn−α|>δ]
อีกครั้งขีด จำกัด ทางด้านขวาคือศูนย์โดยหลักฐานของเราดังนั้นขีด จำกัด ทางด้านซ้ายก็เป็นศูนย์ ดังนั้นองค์ประกอบที่สองของความน่าจะเป็นที่เราสนใจก็เช่นกัน QED