เกี่ยวกับการลู่เข้าในความน่าจะเป็น


12

ปล่อยเป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม stในความเป็นไปได้โดยที่เป็นค่าคงที่คงที่ ฉันพยายามที่จะแสดงต่อไปนี้: และ ทั้งคู่ในความน่าจะเป็น ฉันมาที่นี่เพื่อดูว่าตรรกะของฉันเป็นเสียงหรือไม่ นี่คืองานของฉัน{Xn}n1Xnaa>0

Xna
aXn1

พยายาม

สำหรับส่วนแรกเรามี สังเกตว่า หลังจากนั้น

|Xna|<ϵ|Xna|<ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xnsqrta)+2a|
ϵ|Xna|+2ϵa<ϵ2+2ϵa
ϵ2+2ϵa>ϵa
P(|Xna|ϵ)P(|Xna|ϵa)1asn
Xnainprobability

สำหรับส่วนที่สองเรามี ตอนนี้เนื่องจากเป็นเรามีเป็นลำดับล้อมรอบ ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่เป็นจำนวนจริง STM ดังนั้น ดูที่ความน่าจะเป็นเรามี

|aXn1|=|XnaXn|<ϵ|Xna|<ϵ|Xn|
XnanXnM<|Xn|M
|Xna|<ϵ|Xn||Xna|<ϵM
P(|aXn1|>ϵ)=P(|Xna|>ϵ|Xn|)P(|Xna|>ϵM)0asn

ฉันค่อนข้างมั่นใจในครั้งแรก แต่ฉันค่อนข้างมั่นใจเมื่อสอง เสียงลอจิกของฉันคืออะไร?


6
พิจารณาลำดับที่และ n มันดูเหมือนว่าฉันว่าตั้งแต่ลำดับนี้ลู่ไปในโอกาส แต่อย่างชัดเจนมันเป็นมากมายตั้งแต่\XnPr(Xn=a)=11/nPr(Xn=n)=1/n11/n1asup(Xn)=max(a,n)
whuber

2
ทฤษฎีการทำแผนที่แบบต่อเนื่อง?
Christoph Hanck

คำตอบ:


13

รายละเอียดของบทพิสูจน์สำคัญน้อยกว่าการพัฒนาสัญชาตญาณและเทคนิคที่เหมาะสม คำตอบนี้มุ่งเน้นไปที่วิธีการที่ออกแบบมาเพื่อช่วยในการทำเช่นนั้น ประกอบด้วยสามขั้นตอน: "การตั้งค่า" ซึ่งมีการแนะนำสมมติฐานและคำจำกัดความ "ร่างกาย" (หรือ "ขั้นตอนสำคัญ") ซึ่งข้อสันนิษฐานนั้นเกี่ยวข้องกับสิ่งที่ต้องพิสูจน์และ "ข้อไขเค้าความเรื่อง" ที่การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ ในหลาย ๆ กรณีที่มีการพิสูจน์ความน่าจะเป็นขั้นตอนสำคัญในที่นี้คือการทำงานกับตัวเลข (ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม) แทนที่จะจัดการกับตัวแปรสุ่มที่ซับซ้อนมากขึ้น


บรรจบกันในความน่าจะเป็นลำดับของตัวแปรสุ่มเพื่อคง หมายความว่าไม่ว่าสิ่งที่ใกล้เคียงของคุณเลือกในที่สุดแต่ละโกหกในละแวกนี้ที่มีความน่าจะเป็นที่อยู่ใกล้กับพล1(ฉันจะไม่อธิบายวิธีการแปล "ในที่สุด" และ "ปิดโดยพลการ" เป็นคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ - ใครก็ตามที่สนใจในโพสต์นี้รู้เรื่องนี้แล้ว)Yna0Yna1

จำได้ว่าละแวกใกล้เคียงเป็นชุดของจำนวนจริงใด ๆ ที่มีชุดเปิดซึ่งเป็นสมาชิก00

การตั้งค่าเป็นประจำ พิจารณาลำดับและปล่อยเป็นย่านใด ๆ0โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงให้เห็นว่าในที่สุดจะมีโอกาสสูงโดยพลการโกหกใน{O} ตั้งแต่เป็นพื้นที่ใกล้เคียงจะต้องมีที่เปิดช่วงเวลา{O} เราอาจย่อหากจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าเช่นกัน สิ่งนี้จะทำให้มั่นใจได้ว่าการดัดแปลงที่ตามมานั้นถูกต้องและเป็นประโยชน์Yn=a/XnO0Yn1OOϵ>0(ϵ,ϵ)Oϵϵ<1

ขั้นตอนที่สำคัญจะมีการเชื่อมต่อกับX_nที่ไม่ต้องมีความรู้เกี่ยวกับตัวแปรสุ่มเลย พีชคณิตของความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข (การหาประโยชน์จากสมมติฐาน ) บอกเราว่าเซตของตัวเลขสำหรับใด ๆอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดของทั้งหมดYnXna>0 {Yn(ω)|Yn(ω)1(ϵ,ϵ)}ϵ>0Xn(ω)

a1+ϵ<Xn(ω)<a1ϵ.

ค่าเท่ากัน

Xn(ω)a(aϵ1+ϵ,aϵ1ϵ)=U.

ตั้งแต่ทางด้านขวามือเป็นย่านจริง ๆ (สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงสิ่งที่หยุดพักเมื่อ )a0U0a=0

เราพร้อมสำหรับข้อไขเค้าความเรื่อง

เนื่องจากน่าจะเป็นเรารู้ว่าในที่สุดแต่ละจะอยู่ในมีความน่าจะเป็นสูงโดยพลการ เท่าในที่สุดจะอยู่ภายในมีโอกาสสูงโดยพลQEDXnaXnaUYn1(ϵ,ϵ)O


ฉันขอโทษสำหรับคำตอบที่ดีที่สุด มันเป็นสัปดาห์ที่วุ่นวาย ขอบคุณมากสำหรับสิ่งนี้ !!!
โหดเฮนรี่

5

เราได้รับนั้น

limnP(|Xnα|>ϵ)=0

และเราต้องการแสดงให้เห็นว่า

limnP(|αXn1|>ϵ)=0

เรามีสิ่งนั้น

|αXn1|=|1Xn(αXn)|=|1Xn||Xnα|

ดังนั้นอย่างเท่าเทียมกันเรากำลังตรวจสอบขีด จำกัด ความน่าจะเป็น

limnP(|1Xn||Xnα|>ϵ)=?0

เราสามารถแบ่งความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นร่วมแบบเอกสิทธิ์เฉพาะบุคคลซึ่งกันและกัน

P(|1Xn||Xnα|>ϵ)=P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|1)+P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|<1)

สำหรับองค์ประกอบแรกเรามีชุดของความไม่เท่าเทียมกัน

P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|1)P[|Xnα|>ϵ,|Xn|1]P[|Xnα|>ϵ]

ความไม่เท่าเทียมแรกมาจากความจริงที่ว่าเรากำลังพิจารณาภูมิภาคที่สูงกว่าความสามัคคีและดังนั้นจึงกลับซึ่งมีขนาดเล็กกว่าความสามัคคี ความไม่เท่าเทียมที่สองเนื่องจากความน่าจะเป็นร่วมของชุดเหตุการณ์ไม่สามารถมากกว่าความน่าจะเป็นของชุดย่อยของเหตุการณ์เหล่านี้ ขีด จำกัด ของคำขวาสุดคือศูนย์ (นี่คือหลักฐาน) ดังนั้นขีด จำกัด ของคำซ้ายสุดจึงเป็นศูนย์ องค์ประกอบแรกของความน่าจะเป็นที่เราสนใจคือศูนย์|Xn|

สำหรับองค์ประกอบที่สองเรามี

P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|<1)=P(|Xnα|>ϵ|Xn|,|Xn|<1)

กำหนด. ตั้งแต่ที่นี่มีขอบเขตมันตามที่สามารถทำ arnitrarily ขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่และดังนั้นจึงเป็นเทียบเท่ากับ\ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันδϵmax|Xn||Xn|δϵ

P[|Xnα|>δ,|Xn|<1]P[|Xnα|>δ]

อีกครั้งขีด จำกัด ทางด้านขวาคือศูนย์โดยหลักฐานของเราดังนั้นขีด จำกัด ทางด้านซ้ายก็เป็นศูนย์ ดังนั้นองค์ประกอบที่สองของความน่าจะเป็นที่เราสนใจก็เช่นกัน QED


5

สำหรับส่วนแรกใช้และทราบว่า ดังนั้นสำหรับ , การนิยาม , เรามี เมื่อหมายความว่า{a}x,a,ϵ>0

|xa|ϵ|xa|ϵaa|xa|ϵax+a|(xa)(x+a)|ϵa|xa|ϵa.
ϵ>0δ=ϵa
Pr(|Xna|ϵ)Pr(|Xna|δ)0,
nXnPra

สำหรับส่วนที่สองลองอีกครั้งและโกงจากคำตอบของ Hubber (นี่คือขั้นตอนสำคัญ ;-) เพื่อกำหนด ตอนนี้ contrapositiveของคำสั่งนี้จะ x,a,ϵ>0

δ=min{aϵ1+ϵ,aϵ1ϵ}.
|xa|<δaδ<x<a+δaaϵ1+ϵ<x<a+aϵ1ϵa1+ϵ<x<a1ϵ1ϵ<ax<1+ϵ|ax1|<ϵ.
|ax1|ϵ|xa|δ.

ดังนั้น เมื่อหมายความว่า1

Pr(|aXn1|ϵ)Pr(|Xna|δ)0,
naXnPr1

หมายเหตุ:ทั้งสองรายการเป็นผลลัพธ์ของผลลัพธ์ทั่วไปที่มากขึ้น ก่อนอื่นจำเล็มม่านี้:ถ้าหากว่าสำหรับการเรียงลำดับใด ๆมีการเรียงตัวเช่นว่าเกือบแน่นอนเมื่อเจนอกจากนี้โปรดจำไว้ว่าจากการวิเคราะห์จริงว่านั้นต่อเนื่องที่จุด จำกัดของหากและต่อเมื่อทุกลำดับในมันถือว่าหมายถึง(x) ดังนั้นถ้าXnPrX{ni}N{nij}{ni}XnijXjg:ARxA{xn}Axnxg(xn)g(x)gต่อเนื่องและแทบจะแน่นอนแล้ว และตามมาว่าเกือบแน่นอน นอกจากนี้เป็นอย่างต่อเนื่องและถ้าเราเลือก subsequence ใด ๆแล้วโดยใช้บทแทรกมี subsequenceเช่นว่าเกือบแน่นอนเมื่อเจแต่ตามที่เราได้เห็นมันตามมาว่าเกือบแน่นอนเมื่อXnX

Pr(limng(Xn)=g(X))Pr(limxXn=X)=1,
g(Xn)g(X)gXnPrX{ni}N{nij}{ni}XnijXjg(Xnij)g(X)j. เนื่องจากเรื่องนี้ถือสำหรับทุก subsequenceโดยใช้บทแทรกในทิศทางอื่น ๆ ที่เราสรุปได้ว่า(X) ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของคุณคุณสามารถกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องได้และ , สำหรับและใช้ผลลัพธ์นี้{ni}Ng(Xn)Prg(X)g(x)=xh(x)=a/xx>0

Zen ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ นี่ชัดเจนมาก!
โหดเฮนรี่
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.