การแจกแจงแบบไม่ปกติที่มีความเบ้เป็นศูนย์และไม่มีความโด่งเกินศูนย์?

คำถามเชิงทฤษฎีเป็นส่วนใหญ่ มีตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ปกติที่มีช่วงเวลาสี่ช่วงแรกเท่ากับช่วงเวลาปกติหรือไม่? พวกมันมีอยู่ในทฤษฎีหรือไม่?

ใช่ตัวอย่างที่มีความเบ้และความโด่งเกินกำหนดทั้งสองศูนย์นั้นค่อนข้างง่ายต่อการสร้าง (ตัวอย่างจริง (a) ถึง (d) ด้านล่างนี้ยังมีความเบ้ของเพียร์สันค่าเฉลี่ยมัธยฐาน 0)

(a) ตัวอย่างเช่นในคำตอบนี้มีตัวอย่างให้โดยการผสมแกมม่า 50-50 ตัว (ซึ่งผมเรียกว่า$X$ ) และการลบของอันที่สองซึ่งมีความหนาแน่นเช่นนี้:

เห็นได้ชัดว่าผลที่ได้คือสมมาตรและไม่ปกติ พารามิเตอร์สเกลไม่สำคัญที่นี่ดังนั้นเราจึงสามารถทำได้ 1. การเลือกอย่างระมัดระวังของพารามิเตอร์รูปร่างของแกมม่าให้ผลเป็นความต้องการที่จำเป็น:

1. ความแปรปรวนของแกมมาคู่ ( $Y$ ) นี้ง่ายต่อการทำงานในแง่ของแกมม่าแปรผันตาม: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. ช่วงเวลากลางที่สี่ของตัวแปร$Y$เหมือนกับ$E(X^4)$ซึ่งสำหรับแกมม่า ( $\alpha$ ) คือ$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

ผลที่ตามมาคือ kurtosis คือ$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ ) นี่คือ$3$เมื่อ$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$2.303

(b) เราสามารถสร้างตัวอย่างเป็นส่วนผสมของสเกลสองชุด ให้$U_1\sim U(-1,1)$และให้$U_2\sim U(-a,a)$และให้$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$2 ชัดเจนโดยพิจารณาว่า$M$เป็นสมมาตรและมีขอบเขต จำกัด เราต้องมี$E(M)=0$; ความเบ้ก็จะเป็น 0 และช่วงเวลากลางและช่วงเวลาดิบจะเหมือนกัน

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$]

ในทำนองเดียวกัน$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$และ kurtosis ก็คือ$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

ถ้าเราเลือก$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$จากนั้น kurtosis คือ 3 และความหนาแน่นมีลักษณะดังนี้:

(c) นี่เป็นตัวอย่างที่สนุก Let $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$สำหรับ$i=1,2$ 2

ให้$Y$เป็นส่วนผสม 50-50 ของ$\sqrt{X_1}$และ$-\sqrt{X_2}$ :

โดยสมมาตร$E(Y)=0$ (เราต้องการ$E(|Y|)$ที่จะ จำกัด แต่$E(X_1)$มี จำกัด เรามีสิ่งนั้น)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

โดยสมมาตร (และความจริงที่ว่าช่วงเวลาที่แน่นอนอยู่ 3) เอียง = 0

$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

$\lambda=\frac12$

(d) ตัวอย่างทั้งหมดของฉันจนถึงตอนนี้มีความสมมาตรเนื่องจากคำตอบที่สมมาตรนั้นง่ายต่อการสร้าง แต่วิธีแก้ปัญหาแบบอสมมาตรก็เป็นไปได้เช่นกัน นี่คือตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่อง

อย่างที่คุณเห็นไม่มีตัวอย่างใดที่ดูเป็นพิเศษ "ปกติ" มันจะเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องจำนวนเต็มหรือต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติเดียวกัน ในขณะที่ตัวอย่างส่วนใหญ่ของฉันถูกสร้างขึ้นเป็นแบบผสมไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับการผสมกันนอกจากพวกเขามักจะเป็นวิธีที่สะดวกในการกระจายคุณสมบัติด้วยวิธีที่คุณต้องการเหมือนการสร้างสิ่งที่มีเลโก้

คำตอบนี้ให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ kurtosis ที่ควรพิจารณาในการสร้างตัวอย่างอื่นให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

คุณสามารถจับคู่ช่วงเวลาในแบบเดียวกันได้มากขึ้นแม้ว่าจะต้องใช้ความพยายามมากขึ้น อย่างไรก็ตามเนื่องจาก MGF ของปกติมีอยู่คุณไม่สามารถจับคู่ช่วงเวลาเต็มจำนวนทั้งหมดของค่าปกติกับการแจกแจงแบบไม่ปกติเนื่องจากนั่นหมายถึงการจับคู่ MGF ของพวกเขานั่นหมายความว่าการแจกแจงครั้งที่สองนั้นเป็นปกติเช่นกัน

คะแนนที่ดีทำโดย Glen_b ฉันจะเพิ่มการพิจารณาของฟังก์ชั่นเดลต้า Dirac เป็นตัวเลือกเพิ่มเติมสำหรับโรงสีเท่านั้น ตามที่วิกิพีเดียบันทึก "DDF เป็นฟังก์ชั่นทั่วไปหรือการแจกแจงในจำนวนจริงที่เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่ศูนย์ด้วยการรวมของหนึ่งในทุกสายจริง" ด้วยเหตุที่ช่วงเวลาที่สูงขึ้นของ DDF ทั้งหมด ศูนย์.

Paul Dirac นำไปใช้กับกลศาสตร์ควอนตัมในหนังสือของเขาในปี 1931 หลักการของกลศาสตร์ควอนตัมแต่กำเนิดมาจาก Fourier, Lesbesgue, Cauchy และคนอื่น ๆ DDF ยังมี analogues ทางกายภาพในการสร้างแบบจำลองการกระจายเช่นของรอยแตกของค้างคาวตีเบสบอล