วิธีปรับให้พอดีกับ PDF โดยประมาณ (เช่น: การประเมินความหนาแน่น) โดยใช้ช่วงเวลา k (เชิงประจักษ์) ครั้งแรก

ฉันมีสถานการณ์ที่ฉันสามารถประมาณค่าช่วงเวลาแรกของชุดข้อมูลและต้องการใช้เพื่อสร้างการประมาณของฟังก์ชันความหนาแน่น $k$

ฉันได้พบกับการกระจายของเพียร์สันแล้ว แต่ฉันรู้ว่ามันขึ้นอยู่กับช่วงเวลา 4 ช่วงแรกเท่านั้น

ฉันยังเข้าใจว่าช่วงเวลาที่ จำกัด ใด ๆ นั้นไม่เพียงพอที่จะ "ตรึง" การแจกแจงเฉพาะเมื่อไม่ใช้สมมติฐานเพิ่มเติม อย่างไรก็ตามฉันยังต้องการการแจกแจงระดับทั่วไปเพิ่มเติม (นอกเหนือจากการแจกแจงแบบครอบครัวของเพียร์สัน) มองไปที่คำถามอื่น ๆ ที่ฉันไม่สามารถหาเช่นการกระจาย (ดู: ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่และที่นี่ )

มีการกระจายทั่วไป ("ง่าย") ครอบครัวที่สามารถกำหนดสำหรับช่วงเวลาใด ๆ ? (อาจเป็นชุดของการแปลงที่สามารถทำการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและแปลงมันจนกว่ามันจะยืนยันกับทุกช่วงเวลา ) $k$ $k$

(ฉันไม่สนใจมากถ้าเราถือว่าช่วงเวลาอื่นเป็น 0 หรือไม่) $k+1\ldots\infty$

ขอบคุณ

PS: ฉันจะมีความสุขสำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม ควรมีตัวอย่างรหัส R เป็นพิเศษ

pdf kernel-smoothing moments

— Tal Galili
แหล่งที่มา

ครั้งแรกช่วงเวลาที่กำหนดครั้งแรกอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นลักษณะที่ศูนย์:(0) คุณก็รู้คำศัพท์แรกของฟังก์ชันขยายตัวเทย์เลอร์รอบศูนย์ จากนั้นคุณอาจจะสามารถใช้ทฤษฎีบทการผกผันเพื่อให้ได้ความหนาแน่น

k

$k$

k

$k$

E [X^{k}] = (- i)^{k} ϕ_{X}^{(k)} (0)

$E[X^k] = (-i)^k\phi_X^{(k)}(0)$

k

$k$

— Stephan Kolassa

ขอบคุณ @StephanKolassa - โอกาสใด ๆ สำหรับคำตอบเพิ่มเติม / ตัวอย่างรหัส R

— Tal Galili

en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distributionแนะนำวิธีการทั่วไป

— whuber

เรียน @whuber คุณช่วยแนะนำตัวอย่างรหัส R ได้หรือไม่ (ยังไม่ไปนี้กับคำตอบของ wolfies?)

— Tal Galili

นี่เป็นแนวทางที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากคำตอบนั้น

— whuber

วิธีที่ 1: ระบบเพียร์สันลำดับสูงกว่า

ระบบของเพียร์สันคือการประชุมซึ่งนำไปสู่ตระกูลของการแก้ปัญหาในสมการเชิงอนุพันธ์: $p(x)$

\frac{d พี (x)}{d x} = - \frac{(a + x)}{ค_{0} + ค_{1} x + ค_{2} x^{2}} พี (x)

$\frac{d p (x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2} \; p(x)$

$(a, c_0, c_1, c_2)$

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$ $p(x)$

\frac{d พี (x)}{d x} = - \frac{(a + x)}{ค_{0} + ค_{1} x + ค_{2} x^{2} + ค_{3} x^{3}} พี (x)

$\frac{d p(x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3} \; p (x)$

ซึ่งให้ทางออก:

ฉันแก้ไขมันเพื่อความสนุกในบางเวลา (มีรถไฟความคิดแบบเดียวกับ OP): ได้รับมาและวิธีแก้ปัญหาในบทที่ 5 ของหนังสือของเรา หากสนใจสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีที่นี่:

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

โปรดทราบว่าในขณะที่ครอบครัวเพียร์สันอันดับสอง (กำลังสอง) สามารถแสดงในช่วงเวลา 4 ช่วงแรก แต่ครอบครัวเพียร์สันลำดับที่สาม (ลูกบาศก์) ต้องใช้เวลา 6 ช่วงแรก

วิธีที่ 2: การขยาย Gram-Charlier

$k^{th}$

ช่วงเวลาของประชากรหรือช่วงเวลาตัวอย่าง?

สำหรับระบบสไตล์เพียร์สัน: หากทราบช่วงเวลาของประชากรการใช้ช่วงเวลาที่สูงขึ้นนั้นน่าจะให้ผลที่ดีกว่าอย่างไม่น่าสงสัย อย่างไรก็ตามหากข้อมูลที่สังเกตได้เป็นตัวอย่างแบบสุ่มที่ดึงมาจากประชากรนั่นคือการแลกเปลี่ยน: พหุนามคำสั่งที่สูงกว่าหมายถึงช่วงเวลาคำสั่งซื้อที่สูงกว่านั้นและการประมาณการหลังอาจไม่น่าเชื่อถือ (มีความแปรปรวนสูง) ยกเว้นขนาดตัวอย่างคือ 'ใหญ่' ในคำอื่น ๆ ที่ได้รับข้อมูลตัวอย่างการปรับการใช้ช่วงเวลาที่สูงขึ้นอาจกลายเป็น 'ไม่เสถียร' และให้ผลลัพธ์ที่ต่ำกว่า เช่นเดียวกับการขยายตัวของ Gram-Charlier การเพิ่มคำพิเศษอาจทำให้ได้รับความผิดพลาดดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการดูแล

— wolfies
แหล่งที่มา

เรียน @wolfies - ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ! ถ้าฉันเข้าใจคุณถูกต้องการขยายตัวของ Gram-Charlier นั้นสอดคล้องกับสิ่งที่ฉันกำลังมองหามากขึ้น (ถึงแม้ว่าการกระจายของเพียร์สันจะเป็นเรื่องน่าสนใจมากกว่าก็ตาม) ฉันดูที่หนังสือของคุณ (บทที่ 5 เริ่มต้นจากหน้า 175) และเห็นคุณให้คำอธิบายโดยละเอียด (รวมถึงวิธีที่จะจัดการกับช่วงเวลาโดยประมาณซึ่งเป็นกรณีของฉัน) สิ่งเดียวคือฉันไม่สามารถใช้รหัสของคุณได้ (ตั้งแต่ฉันเป็นผู้ใช้ R) ขอขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ (และสำหรับหนังสือของคุณที่น่าประทับใจและน่าสนใจโดยทั่วไป)

— Tal Galili

เพิ่งพบแพ็คเกจ R เพื่อจัดการกับวิธีการต่างๆ: cran.us.r-project.org/web/packages/PDQutils/vignettes/ …

— Tal Galili