ความน่าจะเป็นที่การจัดการลับของซานต้าจะส่งผลให้การจับคู่สมบูรณ์แบบ

ดังนั้นเราจึงมี Secret Santa ในที่ทำงาน

เรา 8 คน เราแต่ละคนผลัดกันดึงกระดาษชิ้นเล็ก ๆ จากชามที่มีชื่ออยู่ กฎข้อเดียว: ถ้าคุณดึงชื่อของคุณคุณต้องใส่กระดาษกลับเข้าไปในชามแล้วลองอีกครั้ง

ลองเรียกคน A, B, C, D, E, F, G, H ซึ่งเป็นลำดับที่พวกเขาหยิบกระดาษ

เมื่อคืนเราแลกเปลี่ยนของขวัญกัน

ซานต้าเป็นความลับของเอฟ
B คือซานต้าที่เป็นความลับของ E
C เป็นซานต้าที่เป็นความลับ
D คือซานต้าที่เป็นความลับของซี
E เป็นซานต้าที่เป็นความลับของ B
F เป็นซานต้าที่เป็นความลับของ A
ซานต้าเป็นความลับของเอช
H คือซานต้าลับของ G

ดูว่าเกิดอะไรขึ้น เราสร้างคู่รัก

A และ F เป็นซานต้าที่เป็นความลับของกันและกัน
B และ E เป็นซานต้าที่เป็นความลับของกันและกัน
C และ D เป็นซานต้าที่เป็นความลับของกันและกัน
G และ H เป็นซานต้าที่เป็นความลับของกันและกัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คืออะไรและคุณคำนวณได้อย่างไร

combinatorics odds

— แฮร์มันน์
แหล่งที่มา

"ถ้าคุณดึงชื่อของคุณคุณต้องใส่กระดาษกลับเข้าไปในชามแล้วลองอีกครั้ง" จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเป็นคนสุดท้ายที่เลือกและดึงชื่อของคุณเอง?

— Juho Kokkala

หากบุคคล A ดึงฉลาก C (พูด) จากนั้นบุคคล B วาดป้าย B บุคคล A จะใส่ป้าย C กลับเข้าหมวกแล้วดึงอีกครั้งหรือไม่ นี่คือสิ่งที่คำตอบดูเหมือนจะบ่งบอกถึง แต่ฉันเข้าใจถ้อยคำที่หมายความว่า A เก็บฉลาก C และ B ออกจากหมวกซึ่งมีฉลาก (A, B, D, E, F, G, H)

— Juho Kokkala

คำตอบ:

จำนวนรวมของการมอบหมายในหมู่คนโดยที่ไม่มีใครมอบหมายให้ตัวเองคือ (สิ่งเหล่านี้เรียกว่าderangements ) ค่าใกล้เคียงกับ . $2n$

d (2 n) = (2 n)! (1 / 2 - 1 / 6 + \dots + (- 1)^{k} / k! + \dots + 1 / (2 n)!) .

$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$

(2 n)! / e

$(2n)! / e$

หากพวกเขาสอดคล้องกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบแล้วพวกเขาก็เป็นผลิตภัณฑ์ของเคล็ดtranspositions นี่แสดงถึงโครงสร้างวงจรของพวกเขาเป็นรูปแบบ

(a_{11} a_{12}) (a_{21} a_{22}) \dots (a_{n 1} a_{n 2}) .

$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$

จำนวนของรูปแบบที่แตกต่างดังกล่าวคือลำดับของกลุ่มของพีชคณิตทั้งหมดของชื่อหารด้วยลำดับของโคลงของรูปแบบ องค์ประกอบที่มีความเสถียรอาจสลับจำนวนคู่ใดก็ได้และมันอาจเปลี่ยนคู่ไหนมีองค์ประกอบที่มีเสถียรภาพ ดังนั้นจึงมี $2n$ $n!$ $2^n n!$

p (2 n) = \frac{(2 n)!}{2^{n} n!}

$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

การจับคู่ดังกล่าว

เนื่องจากการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบทั้งหมดนั้นเป็นความผิดเพี้ยนและโอกาสที่เท่าเทียมกันทั้งหมดจึงเท่ากับ

\frac{p (2 n)}{d (2 n)} = \frac{1}{2^{n} n! (1 - 1 / 2 + 1 / 6 - \dots + (- 1)^{k} / k! + \dots + 1 / (2 n)!)} \approx \frac{e}{2^{n} n!} .

$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$

สำหรับคนคำตอบที่แน่นอนคือในขณะที่การประมาณคือ : พวกเขาเห็นด้วยกับตัวเลขที่มีความหมายห้าตัว $2n=8$ $15/2119 \approx 0.00707881$ $e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

ในการตรวจสอบRการจำลองนี้ดึงการสุ่มเรียงลำดับเป็นล้าน ๆ ชิ้นจากวัตถุแปดชิ้นเท่านั้นที่เก็บรักษาสิ่งที่เลวร้ายและนับจำนวนที่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ มันส่งผลการประมาณการข้อผิดพลาดมาตรฐานของการประเมินและคะแนน Z เพื่อเปรียบเทียบกับค่าทางทฤษฎี เอาท์พุทมันคือ

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

คะแนน Z ขนาดเล็กสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎี (ผลลัพธ์เหล่านี้จะสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎีใด ๆ ระหว่างถึง ) $0.0066$ $0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

— whuber
แหล่งที่มา

+1 สำหรับใบหน้าแรคคูนโง่และแว่นตา ... ฉันใช้ทางลัดเล็กน้อยในแนวคิด "องค์ประกอบที่มีเสถียรภาพ" เพราะฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มมองหาที่ไหน อย่างสังหรณ์ใจ

— Antoni Parellada

@Antoni ดูen.wikipedia.org/wiki/Burnside's_lemmaเป็นต้น

— whuber

@ Amoeba ฉันคิดว่าจะทำอย่างนั้น แต่ตัดสินใจที่จะจดจ่อกับปัญหาที่เกิดขึ้นในปัจจุบัน บทความ Wikipedia ที่ฉันเชื่อมโยงเพื่อให้ได้หลายวิธีในการรับสูตรนี้ วิธีการที่ชัดเจนที่สุดใช้หลักการของการรวม - แยกเช่นที่เห็นได้ชัดในการแสดงออกผลรวมสลับ

— whuber

คุณคิดว่าการวาดฉลากเริ่มจากศูนย์หรือไม่ถ้ามีคนดึงป้ายของตัวเอง (ดูความเห็นของฉันต่อคำถาม) มิฉะนั้นฉันไม่คิดว่าทุกสิ่งล้วนมีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน

— Juho Kokkala

@Juho นั่นเป็นคำถามที่ดีคุ้มค่าที่จะคิดต่อไป ฉันได้ตอบตามความตั้งใจโดยนัยของขั้นตอนการวาดซึ่งจะเป็นการสร้างความสับสนทั้งหมดที่มีความน่าจะเป็นที่เท่ากัน แต่ไม่ชัดเจนว่ากระบวนการใดที่ตามมาหรือไม่ว่ามันจะสร้างความยุ่งเหยิงที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันหรือไม่ รับประกันได้ว่าจะประสบความสำเร็จในการผลิตความผิดเพี้ยน!)

— whuber

ฉันประทับใจมากกับความงดงามในคำตอบของ @whuber พูดตามตรงฉันต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ ๆ เพื่อทำตามขั้นตอนในการแก้ปัญหาของเขา หลังจากใช้เวลาไปกับมันฉันตัดสินใจที่จะโพสต์สิ่งที่ฉันได้รับ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้เป็นบันทึก exegetical เพื่อตอบสนองของเขาได้รับการยอมรับแล้ว ด้วยวิธีนี้ไม่มีความพยายามในการสร้างสรรค์และจุดประสงค์เดียวของฉันคือการให้จุดยึดเพิ่มเติมเพื่อทำตามขั้นตอนที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นที่นี่มันจะไป ...

1. ทำไม ? $2n$ อันนี้อาจเป็นวิธีพื้นฐานเกินไป: เราต้องการคนจำนวนคู่เพื่อเล่นเกม

2. เราสามารถหาสูตรสำหรับความแตกต่างได้หรือไม่?

ต่อไปนี้รายการวิกิพีเดียมีตัวอย่างอยู่บนพื้นฐานของการจับคู่ของผู้คนและหมวก ,หมวกจะแม่นยำเรามีตัวเลือกสำหรับคนแรกที่ยกขึ้นหมวกจะแสดงที่นี่ดังนี้ $n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$ ซึ่งสามารถจัดระเบียบใหม่เป็น:

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$ (n-2)]

ตอนนี้สังเกตเห็นความขนานระหว่าง LHS ของสมการนี้และส่วนบน RHS ภายในวงเล็บเราสามารถทำซ้ำได้:

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

นี่ก็หมายความว่า n $d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

ทำงานย้อนหลัง:

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

โดยทั่วไปแล้ว

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

และจดจำซีรีย์ Taylor ของประเมินที่ : $e^x$ $x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

3. การขนย้าย Disjoint :แนวคิดของการขนย้ายเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับจากลิงก์ที่ให้ไว้ในคำตอบดั้งเดิมแต่ "disjoint" ค่อนข้างชัดเจนน้อยลง ดูตัวอย่างจากชุด , การเปลี่ยนรูป สามารถแสดงเป็นวัฏจักรเป็น: แต่รูปแบบของวง บนตัวเอง - รอบแยกตัวออก หรือวางทั้งสองรอบด้วยกันการเปลี่ยนแปลงที่สามารถแสดงเป็นสินค้า{EF}) ${a,b,c,d,e,f}$ ${b,d,a,c,f,e}$ a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f $(\text {a b d c})(\text{e f})$

ในคำถามของซานตาคลอส (พนักงานแปดคนที่วาดชื่อเป็นคู่ที่ตรงกันอย่างสมบูรณ์: แอนนาให้ของขวัญกับมาร์ธาในขณะที่มาร์ธาดึงชื่อของแอนนา) จะมีลูปปิดตัว $4$

4. ในการหาจำนวนลูปสององค์ประกอบเราต้องแบ่งพีชคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของกลุ่มแปด ( ) คนโดยจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการแลกเปลี่ยนสององค์ประกอบและจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของคู่เหล่านี้ทั้งหมด:NN!} $(2n)!$ $2n$ $2^n$ $n!$ $p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

สำหรับการRจำลอง:

1 paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

ฟังก์ชั่นนี้ช่วยลดความเข้าใจลงx[x]: มีวัตถุประสงค์เพื่อประเมินเวกเตอร์องค์ประกอบที่เป็นตัวแทนของการมอบหมายปัจจุบันและพิจารณาว่ามันประกอบด้วยลูป 2 องค์ประกอบเช่นเดียวกับในปัญหาของซานตาคลอส ตราบใดที่การเปลี่ยนลำดับสอดคล้องกับ transposing องค์ประกอบเพื่อที่ว่าถ้าพอลก็ควรที่จะให้ของขวัญมาเรีย ( และในทางกลับกัน) และแม็กซ์จอห์น ( / ) แรกขนย้ายผลเพียงผลในการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบใหม่ ( / และ/ ) เรากำลังบรรลุเงื่อนไขเริ่มต้นของการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ: $8$ Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

ในคำอื่น ๆ ถ้าเรากลับไปที่ตัวอย่างของหมวกในที่วิกิพีเดียคนi มักจะใช้เวลากลับหมวก1 $1$

2 good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

ฟังก์ชั่นนี้ประเมินว่าเรากำลังเผชิญกับความยุ่งเหยิงโดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบเวกเตอร์ชาญฉลาดกับเวกเตอร์และทำให้แน่ใจว่าไม่มีความบังเอิญ $x$ $(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired)จะมีการยกเว้นการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ดังที่แสดงไว้ด้านบนในแผนภาพหรือไม่

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา

+1 แต่สูตรสำหรับ derangements กับควรจะเป็นตัวอย่างเท่านั้นเช่นกับไม่=

e

$e$

\approx

$\approx$

=

$=$

— อะมีบา

+1 เนื่องจากเป็นความพยายามที่คู่ควรและมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจและอธิบายวิธีแก้ปัญหา คำอธิบายของผลิตภัณฑ์กากบาทดูไม่ถูกต้อง: มันแค่คำนวณผลรวมของกำลังสองของรายการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งและไม่สามารถ "ยกเลิก" ได้ การใช้ผลิตภัณฑ์ข้ามเป็นสิ่งที่ไม่จำเป็น มันเป็นเพียงวิธีแรกที่มีประสิทธิภาพพอสมควรที่นึกถึงการตรวจสอบความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ตัวเลขสองตัวซึ่งเป็นบทบาทเชิงตรรกะในอัลกอริทึม อย่าสับสนในการใช้งานพร้อมคำอธิบาย!

1

$1$

- 1

$-1$

— whuber

@whuber ขอบคุณ ฉันโง่มากที่นั่น ฉันไม่เก่งเรื่องการทำดัชนีซ้ำ ๆ ... ฉันรู้ว่ามีบางอย่างไม่ถูกต้อง ตอนนี้มันควรได้รับการแก้ไข

— Antoni Parellada