เพื่ออำนวยความสะดวกให้แสดงว่าอย่างต่อเนื่องเป็นศูนย์หมายถึงตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของและพิจารณาที่0 เรามี
ที่infty)} ถ้าเป็นแม้จำนวนเต็มและจำนวนจริงบวกแล้ว
และ
Xf(x)P{X≥a}a>0
P{X≥a}=∫∞af(x)dx=∫∞−∞g(x)f(x)dx=E[g(X)]
g(x)=1[a,∞)nbh(x)=(x+ba+b)n≥g(x),−∞<x<∞,
E[h(X)]=∫∞−∞h(x)f(x)dx≥∫∞−∞g(x)f(x)dx=E[g(X)].
ดังนั้นเราจึงมีจำนวนจริงบวกและ ,
โดยที่ความคาดหวังสูงสุดในคือช่วงเวลา -th (คู่) ของ about . เมื่อขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของ
จะได้รับเมื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันด้านเดียว Chebyshev (หรือความไม่เท่าเทียมกัน Chebyshev-Cantelli):
สำหรับค่าที่ใหญ่กว่าของให้ย่อเล็กสุดด้วยความเคารพ
abP{X≥a}≤E[(X+ba+b)n]=(a+b)−nE[(X+b)n](1)
(1)nnX−bn=2P{X≥a}b=σ2/aP{X≥a}≤σ2a2+σ2.
nbคือ messier