การเป็นตัวแทนของพื้นที่รัฐของ ARMA (p, q) จากแฮมิลตัน

ฉันได้อ่านแฮมิลตันบทที่ 13 และเขามีตัวแทนพื้นที่ของรัฐต่อไปนี้สำหรับ ARMA (p, q) ให้นั้นกระบวนการ ARMA (p, q) จะเป็นดังนี้: \ start {aligned} y_t - \ mu & = \ phi_1 (y_ {t-1} - \ mu) + \ phi_2 (y_ {t-2} - \ mu) + ... + \ phi_3 (y_ {t-3} - \ mu) \\ & + \ epsilon_t + \ theta_1 \ epsilon_ {t-1} + .. + \ theta_ {r-1} \ epsilon_ {t-r + 1} \ end {aligned} จากนั้นเขาจะกำหนดสมการสถานะดังนี้:$r = \max(p,q+1)$

$$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$$

$$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

และสมการสังเกตเป็น:

$$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$$

ฉันไม่เข้าใจว่า$\xi_t$คืออะไรในกรณีนี้ เนื่องจากในการแทนค่า AR (p) ของเขามันคือ$\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$และปริญญาโท (1) การแสดงมันเป็น$\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}${bmatrix}

ใครช่วยอธิบายเรื่องนี้ให้ฉันดีขึ้นหน่อยได้ไหม

แฮมิลตันแสดงให้เห็นว่านี่เป็นการนำเสนอที่ถูกต้องในหนังสือเล่มนี้ แต่วิธีการอาจดูเหมือนขัดกับความเป็นจริงเล็กน้อย ดังนั้นก่อนอื่นให้ฉันให้คำตอบระดับสูงที่กระตุ้นการเลือกแบบจำลองของเขาแล้วอธิบายรายละเอียดเล็กน้อยเกี่ยวกับที่มาของเขา

แรงจูงใจ :

อย่างที่ควรจะชัดเจนจากการอ่านบทที่ 13 มีหลายวิธีในการเขียนแบบไดนามิกในรูปแบบพื้นที่ของรัฐ ดังนั้นเราจึงควรถามว่าทำไมแฮมิลตันจึงเลือกตัวแทนพิเศษนี้ เหตุผลก็คือว่าการเป็นตัวแทนนี้ช่วยให้มิติของสถานะเวกเตอร์ต่ำ สังหรณ์ใจคุณจะคิด (หรืออย่างน้อยฉันจะ) ที่เวกเตอร์รัฐสำหรับ ARMA ( , ) จะต้องมีอย่างน้อยของมิติ Q หลังจากที่ทุกคนเพียง แต่จากการสังเกตการพูดเราไม่สามารถสรุปค่าของ{t-1} ถึงกระนั้นเขาก็แสดงให้เห็นว่าเราสามารถกำหนดการเป็นตัวแทนของรัฐในพื้นที่อย่างชาญฉลาดที่ทำให้เวกเตอร์สถานะของมิติ$p$$q$$p+q$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$r = \max\{p, q + 1 \}$. ฉันคาดว่าการรักษามิติข้อมูลระดับต่ำของรัฐอาจมีความสำคัญสำหรับการใช้งานการคำนวณ ปรากฎว่าการเป็นตัวแทนพื้นที่รัฐของเขายังนำเสนอการตีความที่ดีของกระบวนการ ARMA: รัฐที่ไม่ได้สังเกตเห็นคือ AR ( ) ในขณะที่ส่วน MA ( ) เกิดขึ้นเนื่องจากข้อผิดพลาดในการวัด$p$$q$

แหล่งที่มา :

ตอนนี้มาจาก โปรดทราบว่าการใช้เครื่องหมายตัวดำเนินการล้าหลัง ARMA (p, q) ถูกกำหนดเป็น: ที่เราให้สำหรับและสำหรับและเราละเว้นเนื่องจากเป็นอย่างน้อย . สิ่งที่เราต้องแสดงก็คือสมการสถานะและการสังเกตของเขาแสดงถึงสมการข้างต้น ปล่อยให้เวกเตอร์สถานะเป็น ดูที่ สมการสถานะ คุณสามารถตรวจสอบสมการถึง

$$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$$ $\phi_j = 0$$j>p$$\theta_j = 0$$j>q$$\theta_r$$r$$q+1$ $$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$$ $2$$r$ก็ย้ายรายการจะระยะเวลาหนึ่งข้างหน้าและทิ้งในเวกเตอร์รัฐที่ 1 สมการแรกที่นิยามจึงเป็นสมการที่เกี่ยวข้อง กำลังเขียนมัน: เนื่องจากองค์ประกอบที่สองของเป็นองค์ประกอบแรกของและองค์ประกอบที่สามของคือ องค์ประกอบแรกของ$\xi_{i,t}$$\xi_{i-1,t+1}$$\xi_{r,t}$$t+1$$\xi_{i,t+1}$ $$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$$ $\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-1}}$$\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-2}}$และอื่น ๆ เราสามารถเขียนสิ่งนี้โดยใช้สัญกรณ์ตัวดำเนินการล้าและย้ายพหุนามความล่าช้าไปทางด้านซ้ายมือ (สมการ 13.1.24 ใน H. ): ดังนั้นสถานะที่ซ่อนอยู่จะเป็นไปตามกระบวนการอัตโนมัติ ในทำนองเดียวกันสมการสังเกตคือ หรือ สิ่งนี้ดูไม่เหมือน ARMA แต่ตอนนี้มาถึงแล้ว ส่วนที่ดี: คูณสมการสุดท้ายด้วย : $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$$ $$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$$ $$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$$ $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$$ แต่จากสมการของรัฐ (ล่าช้าด้วยช่วงเวลาหนึ่ง) เรามี ! ดังนั้นข้างต้นจึงเท่ากับ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการให้แสดง! ดังนั้นระบบสังเกตสถานะอย่างถูกต้องจึงแสดงถึง ARMA (p, q) ฉันแค่ถอดความแฮมิลตันจริงๆ แต่ฉันหวังว่านี่จะเป็นประโยชน์$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$$

นี่เป็นเหมือนข้างต้น แต่ฉันคิดว่าฉันจะให้คำตอบที่สั้นและกระชับยิ่งขึ้น อีกครั้งนี้เป็นตัวแทนของแฮมิลตันสำหรับสาเหตุ ARMA ( , ) กระบวนการที่1) หมายเลขนี้จะเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์สถานะและจำเป็นต้องสร้างจำนวนแถวของ จับคู่สถานะกับจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์การสังเกต นั่นหมายความว่าเราต้องตั้งค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ทุกครั้งที่ดัชนีใหญ่เกินไป$p$$q$$r=\max(p,q+1)$$r$$(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

1. สมการการสังเกต

$$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$$

2. สมการของรัฐ

$$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$$