ผลกระทบที่เกิดจากการปรับประตูหลังและประตูหน้า

หากเราต้องการคำนวณผลกระทบเชิงสาเหตุของต่อในกราฟสาเหตุด้านล่างเราสามารถใช้ทั้งการปรับประตูหลังและทฤษฎีการปรับประตูหน้าเช่น $X$ $Y$

P (y | do (X = x)) = \sum_{u} P (y | x, u) P (u)

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_u P(y | x, u) P(u)$

และ

P (Y | ทำ (X = x)) = \underset{Z}{Σ} P (Z | x) \underset{x^{'}}{Σ} P (Y | x^{'}, Z) P (x^{'}) .

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_z P(z | x) \sum_{x'} P(y|x', z)P(x').$

เป็นการบ้านที่ง่ายหรือไม่ที่จะแสดงว่าการปรับสองอย่างนี้นำไปสู่ผลที่เป็นสาเหตุเดียวกันของใน ? $X$ $Y$

— แจ
แหล่งที่มา

นี่เป็นการบ้านจริงหรือไม่? จากนั้นโปรดเพิ่มแท็กศึกษาด้วยตนเอง จากนั้นผู้คนอาจให้คำแนะนำแก่คุณปล่อยให้ความคิด (และการเรียนรู้) มาถึงคุณ บอกเราว่าคุณพยายามทำอะไรและติดอยู่ที่ไหน โปรดจำไว้ว่า CV ไม่ได้สำหรับการจ้างบ้าน ...

— Knarpie

สวัสดี Knarpie มันเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาด้วยตนเองและไม่ใช่การบ้าน ฉันกำลังอ่าน "การอนุมานเชิงสถิติ" โดย Pearl และคณะ และใช้เวลาประมาณ 1 ชั่วโมงเพื่อไตร่ตรองคำถามที่ฉันถามไว้ข้างต้นเพราะเป็นคำถามธรรมดาที่จะถาม แต่ไม่สามารถแสดงความเท่าเทียมกันได้ ฉันอาจจะพลาดอะไรบางอย่างที่นี่หรือทั้งสองนิพจน์ไม่เท่ากัน

— แจ

การกระทำที่สอดคล้องกับการแทรกแซงในตัวแปรที่ชุดมัน $do(x)$ $X$ $x$ xเมื่อเราเข้าไปแทรกแซงนี่หมายความว่าผู้ปกครองของไม่ส่งผลกระทบต่อมูลค่าของมันอีกต่อไปซึ่งสอดคล้องกับการลบลูกศรที่ชี้ไปที่ดังนั้นเราจะเป็นตัวแทนของการแทรกแซงนี้ใน DAG ใหม่ $X$ $X$ $X$

ขอเรียกเดิมกระจายเชิง และการกระจายการโพสต์การแทรกแซง *เป้าหมายของเราคือการแสดงความในแง่ของPแจ้งให้ทราบว่าในเรามี Xนอกจากนี้ความน่าจะเป็นของการแทรกแซงระหว่างก่อนและหลังการแทรกแซงร่วมกันแบ่งเป็นสอง invariances: และ $P$ $P^*$ $P^*$ $P$ $P^*$ $U \perp X$ $P^*(U) = P(U)$ เนื่องจากเราไม่ได้สัมผัสลูกศรใด ๆ ที่เข้าสู่ตัวแปรเหล่านั้นในการแทรกแซงของเรา ดังนั้น: $P^*(Y|X, U) = P(Y|X, U)$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & := P^{*} (Y | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &:= P^*(Y|X) \\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U|X)\\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U)\\ &=\sum_{U}P(Y|X, U)P(U) \end{aligned}$

ความเป็นมาของประตูหน้านั้นซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย การสังเกตครั้งแรกว่าไม่มีการรบกวนระหว่างและดังนั้น $X$ $Z$

P (Z | d o (X)) = P (Z | X)

$P(Z|do(X)) = P(Z|X)$

นอกจากนี้การใช้ตรรกะเดียวกันสำหรับการรับเราเห็นว่าการควบคุมสำหรับนั้นเพียงพอสำหรับการรับผลกระทบของต่อนั่นคือ $P(Y|do(X))$ $X$ $Z$ $Y$

P (Y | d o (Z)) = \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'})

$P(Y|do(Z)) = \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')$

ที่ซึ่งฉันกำลังใช้งานนายกเพื่อความสะดวกในการแสดงสัญกรณ์ต่อไป ดังนั้นการแสดงออกทั้งสองนี้จึงอยู่ในรูปของการแจกแจงก่อนการแทรกแซงและเราก็ใช้เหตุผลแบ็คดอร์ก่อนหน้าเพื่อรับมา

ชิ้นสุดท้ายที่เราต้องการก็คือการสรุปผลของการบนรวมผลกระทบของในและบนZหากต้องการทำเช่นนั้นให้สังเกตในกราฟของเรา $X$ $Y$ $Z$ $Y$ $X$ $Z$ $P(Y|Z, do(X)) = P(Y|do(Z), do(X)) = P(Y|do(Z))$ เนื่องจากผลกระทบของในเป็นสื่อกลางอย่างสมบูรณ์โดยและเส้นทางลับๆจากเพื่อถูกบล็อกเมื่อแทรกแซงในXดังนั้น: $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $Y$ $X$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & = \sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) P (Z | X) \\ = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &= \sum_{Z} P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')P(Z|X)\\ &= \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') \end{aligned}$

โดยที่สามารถเข้าใจได้ในวิธีต่อไปนี้: เมื่อฉันเข้าไปแทรกแซงแล้วการกระจายของเปลี่ยนเป็น ; แต่จริง ๆ แล้วฉันเข้ามาแทรกแซงดังนั้นฉันอยากรู้ว่าจะให้คุณค่าที่เจาะจงเมื่อฉันเปลี่ยนซึ่งเป็น $\sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))$ $Z$ $Y$ $P(Y|do(Z))$ $X$ $Z$ $X$ ) $P(Z|do(X))$

ดังนั้นการปรับสองค่านี้จะให้การกระจายแบบโพสต์แทรกสอดแบบเดียวกันบนกราฟนี้ตามที่เราได้แสดงให้เห็น

อ่านคำถามของคุณอีกครั้งซึ่งเกิดขึ้นกับคุณคุณอาจสนใจแสดงโดยตรงว่าด้านขวามือของสมการทั้งสองนั้นเท่ากันในการแจกแจงก่อนการแทรกแซง (ซึ่งพวกเขาต้องเป็นตามที่เราได้รับมาก่อนหน้านี้) นั่นไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงโดยตรงเช่นกัน มันเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าใน DAG ของคุณ:

\sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U)

$\sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') = \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)$

สังเกตว่า DAG แปลว่าและจากนั้น : $Y \perp X|U, Z$ $U \perp Z|X$

\begin{aligned} \sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) & = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, X^{'}, U) P (U | Z, X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, U) P (U | X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) \sum_{X^{'}} P (U | X^{'}) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, X', U)P(U|Z, X') \right)P(X') \\ &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, U)P(U| X') \right)P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) \sum_{X'}P(U| X')P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U) \\ \end{aligned}$

ดังนั้น:

\begin{aligned} \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) & = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, U) P (Z | X) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, X, U) P (Z | X, U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') &= \sum_{Z}P(Z|X)\sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)\\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, U)P(Z|X) \\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, X, U)P(Z|X, U) \\ &= \sum_{U}P(Y| X, U) P(U)\\ \end{aligned}$

— Carlos Cinelli
แหล่งที่มา

P (Y | d o (X))

$P(Y|do(X))$

\sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)

$\sum_{Z}P(Y|do(Z))P(Z|do(X)$

\sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X))

$\sum_{Z}P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))$

@JulianSchuessler นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันเขียนว่า“ สามารถคิดได้ว่าเป็น” เป็นวิธีที่จะช่วยให้เข้าใจ แต่ไม่ได้พูดอย่างแท้จริง เกี่ยวกับการมาของประตูหน้ามันไม่ชัดเจนว่า OP รู้วิธีได้รับนั่นคือเหตุผลที่ฉันวางไว้ที่นั่น

— Carlos Cinelli

คำตอบที่ดี ขอบคุณ Carlos ส่วนที่สองของคำตอบคือสิ่งที่ฉันขอ ฉันมีคำถามติดตามสองคำถามที่นี่ 1) กลยุทธ์การค้นหาใดที่คุณใช้เพื่อจัดการกับนิพจน์ในพีชคณิตในคำตอบที่สอง (โดยการย่อที่การแสดงออกนานพอ?) เนื่องจากพื้นที่การค้นหามีขนาดใหญ่ฉันจึงสงสัยว่าวิธีการเขียนอัลกอริทึมจะสามารถสรุปโดยอัตโนมัติได้อย่างไร

— แจ

\sum_{z} P (Y | do (Z) P (Z | do (X))

$\sum_z P(Y|\textit{do}(Z)P(Z|\textit{do}(X))$

do (Z)

$\textit{do}(Z)$

Z

$Z$

Z

$Z$

P (X, U)

$P(X, U)$

P (Y | X, U)

$P(Y|X, U)$

M

$M$

M^{*}

$M^*$

P

$P$

P^{*}

$P^*$

Y

$Y$

X

$X$

U

$U$