การดำเนินงานเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การบวกการลบการคูณและการหารของตัวแปรสุ่มปกติมีความหมายที่ดี แต่การดำเนินการเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ?

ยกตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันพยายามหามุมของสามเหลี่ยมลิ่ม (จำลองเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก) โดยมีสอง catheti ที่มีมิติ $d_1$ และ $d_2$ ทั้งคู่อธิบายว่าเป็นการแจกแจงแบบปกติ

ทั้งสัญชาตญาณและการจำลองบอกว่าการกระจายที่เกิดเป็นเรื่องปกติที่มีค่าเฉลี่ยขวา) แต่มีวิธีคำนวณการกระจายตัวของมุมที่เกิดขึ้นหรือไม่? การอ้างอิงเกี่ยวกับที่ฉันจะหาคำตอบ? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(สำหรับบริบทฉันกำลังทำงานกับความอดทนทางสถิติของชิ้นส่วนเครื่องจักรแรงกระตุ้นแรกของฉันคือการจำลองกระบวนการทั้งหมดเพียงแค่ตรวจสอบว่าผลลัพธ์สุดท้ายนั้นเป็นเรื่องปกติพอสมควรและคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่ฉันสงสัยว่า หากอาจมีวิธีวิเคราะห์เชิง neater)

— Bossykena
แหล่งที่มา

คุณช่วยยืนยันได้ไหมว่า (a) d1 และ d2 เป็นความยาวด้านข้าง (ไม่ใช่มุม); (b) คุณกำลังสมมุติว่ามุมระหว่างมุมทั้งสองเป็นมุมฉาก (ไม่เช่นนั้นสูตรสงสัยของ atan); และ (c) คุณสนใจที่จะกระจายมุมอีกมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้หรือไม่? นอกจากนี้สมมุติว่า SD ของการกระจายความยาวแต่ละอันนั้นเล็กกว่าที่คาดไว้มากเพราะสามเหลี่ยมไม่ควรมีความน่าจะเป็นที่ประเมินได้ของความยาวด้านลบ :-)

— whuber

แน่นอน ฉันได้ปรับปรุงปัญหาใหม่เพื่อให้ชัดเจนขึ้น และใช่ SD จะมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาด

— Bossykena

ใช้สูตรสำหรับการคูณและการเพิ่มคุณสามารถลองใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์

ขอขอบคุณสำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยมของคุณซึ่ง (เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ด้วยความเชี่ยวชาญด้านสถิติที่ จำกัด ของฉัน) มีทั้งความเข้าใจง่ายและเสียง

— Bossykena

คำตอบ:

ในการตีความนี้สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมขวาของด้านยาวและกระจาย binormally กับความคาดหวังและเบี่ยงเบนมาตรฐานและและความสัมพันธ์ρเราพยายามกระจายของ )ด้วยเหตุนี้มาตรฐานและเพื่อให้ $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

และ

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

กับและ variates ปกติมาตรฐานที่มีความสัมพันธ์ρให้เป็นมุมและเพื่อความสะดวกในการเขียน )แล้วก็ $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

ด้านซ้ายมือเป็นเชิงเส้นของการรวมกัน Normals, เป็นเรื่องปกติที่มีค่าเฉลี่ยและแปรปรวน Y $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

ความแตกต่างของ cdf ปกติของพารามิเตอร์เหล่านี้เทียบกับให้ผลกับ pdf ของมุม การแสดงออกค่อนข้างน่าสยดสยอง แต่ส่วนสำคัญของมันคือเลขชี้กำลัง $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

แสดงทันทีว่ามุมไม่ได้กระจายตามปกติ อย่างไรก็ตามการจำลองของคุณแสดงและสัญชาตญาณแนะนำมันควรจะประมาณปกติหากรูปแบบของความยาวด้านมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของตัวเอง ในกรณีนี้การประมาณ Saddlepointควรให้ผลลัพธ์ที่ดีสำหรับค่าเฉพาะของ , , , , และแม้ว่าจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแบบปิด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณจะลดลงทันทีเมื่อพบอนุพันธ์อันดับสอง (เทียบกับ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) ของลอการิทึมของ pdf (ดังแสดงในสมการ (2.6) และ (3.1) ของการอ้างอิง) ฉันขอแนะนำระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ (เช่น MatLab หรือ Mathematica) สำหรับการดำเนินการนี้!

— whuber
แหล่งที่มา

ไม่เคยมีโอกาสแพร่กระจายได้ตามปกติ มันคือมุม! ใช้ค่าใน

เท่านั้น

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam

P (Y / X

q) = P (Y

qX) ไม่ถูกต้องหาก X เป็น rv ปกติ - X สามารถเป็นลบได้เช่นกัน

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ronaf

@ronaf: อันที่จริงแล้วเนื่องจาก

และ

เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมทางกายภาพเราจึงไม่ควรมี

เชิงลบ!

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef

@ronaf: นั่นเป็นความคิดที่ถูกต้อง หากใช้ความยาวด้านที่มีลายเซ็นและถือว่ามุมเป็นมูลค่าที่แท้จริง (แทนที่จะเป็นค่าโมดูโล

) จะไม่มีความไม่สอดคล้องกับปกติในกรณีใดกรณีหนึ่ง ประเด็นของคุณเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมที่อาจจะผิดนั้นยอดเยี่ยม สิ่งที่ฉันทำได้ก็คืออ้างว่าสมการนั้นเป็นค่าประมาณที่ยอดเยี่ยมภายใต้สมมติฐานที่ทำเพราะโอกาสของ X หรือ Y ที่เป็นลบนั้นน้อยมาก

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE ฉันยอมรับว่า "+" ตัวสุดท้ายของฉันดูเหมือนว่ามันไม่ได้อยู่ในนั้น - มันอาจจะลื่นเมื่อฉันทำความสะอาดมาร์กอัปของ TeX ฉันไม่มีการอ้างอิงเพราะฉันคำนวณอนุพันธ์เอง

— whuber

คุณกำลังมองหาที่สถิติวงกลมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายวงกลมเรียกว่าคาดการณ์การกระจายปกติ

ด้วยเหตุผลบางอย่างหัวข้อนี้อาจเป็นเรื่องยากที่จะ google แต่ทั้งสองข้อความที่สำคัญเกี่ยวกับสถิติวงกลมคือการวิเคราะห์ทางสถิติของข้อมูลวงกลมโดยฟิชเชอร์และ สถิติทิศทางโดย Mardia และ Jupp

สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียดของการแจกแจงแบบปกติที่คาดการณ์ไว้ดูหน้า 46 ของ Mardia และ Jupp มีการแสดงออกของรูปแบบปิด (ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่สำคัญ) สำหรับการแจกแจงและตามที่ whuber ได้เสนอแนะมันดูคล้ายกับปกติเมื่อ `ความแปรปรวน '(ระวังที่นี่ความแปรปรวนหมายถึงตัวแปรสุ่มบนวงกลม) !) มีขนาดเล็กกล่าวคือเมื่อการกระจายค่อนข้างเข้มข้นที่จุดหนึ่ง (หรือทิศทางหรือมุม)

— Robby McKilliam
แหล่งที่มา