กระบวนการใดที่สามารถสร้างข้อมูลหรือพารามิเตอร์แบบกระจาย Laplace (double exponential)

16

การแจกแจงจำนวนมากมี "ตำนานต้นกำเนิด" หรือตัวอย่างของกระบวนการทางกายภาพที่อธิบายได้ดี:

คุณสามารถรับข้อมูลที่กระจายตามปกติจากผลรวมของข้อผิดพลาดที่ไม่เกี่ยวข้องโดยใช้ทฤษฎีการ จำกัด ส่วนกลาง
คุณสามารถรับข้อมูลแบบกระจายสองทางได้จากการโยนเหรียญอิสระหรือตัวแปรกระจายแบบปัวซองจากกระบวนการที่ จำกัด
คุณสามารถรับข้อมูลแบบกระจายชี้แจงจากเวลาที่รอภายใต้อัตราการสลายตัวคงที่

และอื่น ๆ

แต่แล้วการกระจายแบบ Laplaceล่ะ? มันมีประโยชน์สำหรับการทำให้เป็นมาตรฐาน L1 และการถดถอยแบบ LADแต่มันยากสำหรับฉันที่จะนึกถึงสถานการณ์ที่ใคร ๆ ควรคาดหวังที่จะเห็นมันในธรรมชาติ การกระจัดกระจายคือเกาส์เซียนและตัวอย่างทั้งหมดที่ฉันสามารถนึกได้ด้วยการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (เช่นเวลาที่รอ) เกี่ยวข้องกับค่าที่ไม่เป็นลบ

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
แหล่งที่มา

2

ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

14

ที่ด้านล่างของหน้า Wikipedia ที่คุณเชื่อมโยงเป็นตัวอย่าง:

ถ้าและเป็นการแจกแจงแบบ IID, $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$ มีการแจกแจงแบบ Laplace
ถ้าเป็น IID การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีการกระจายแบบ Laplace มาตรฐาน ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แบบสุ่มมีรายการปกติมาตรฐาน IID มีการแจกแจงแบบลาปลาซ $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
หากเป็นชุด IID ที่ให้ $X_1, X_2$ $[0,1]$ $\log \frac{X_1}{X_2}$ has a standard Laplace distribution.

— Douglas Zare
แหล่งที่มา

16

+1 It may be worth noticing that all three examples are really the same: #2 can be rewritten as

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$ , a scaled difference of two scaled

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ (Exponential) distributions, and #3 is the difference of two Exponential distributions because the

\log (X_{i})

$\log(X_i)$ are Exponential.

— whuber

2

@whuber: Thanks for that explanation for why the determinant was the same as the others! I was surprised to see it, since I would have guessed that the density of the determinant would vary smoothly, as it does everywhere except

0

$0$ .

— Douglas Zare

2

So I'm trying to think of a "story" that would fit any of the examples on wikipedia. Say I'm playing pinball with my equally lousy brother. Each game we play one ball each. Roughly any given moment there is an equal chance that I (or he) will lose a ball and the score is basically a linear function of for how long I play. Then my score (and his) could be modelled by an exponential distribution and the difference between me and my brother's score each round will be Laplace distributed. Sort of works?

— Rasmus Bååth

2

Define a compound geometric distribution as the sum of $N_p$ iid random variables $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , where $N_p$ is distributed like a geometric distribution with parameter $p$ . Assume that the iid random variables $X_i$ have finite mean $\mu$ and variance $v$ .

It was shown by Gnedenko that in the limit $p\to 0$ , the compound geometric distribution approaches a Laplace distribution.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

The density of the $Laplace(a,b)$ is $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

B.V Gnedenko, Limit theorems for Sums of random number of positive independent random variables, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
แหล่งที่มา