ผลรวมของสองผลิตภัณฑ์ปกติคือ Laplace

เห็นได้ชัดว่าเป็นกรณีที่ถ้าแล้ว$X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

ฉันเคยเห็นเอกสารเกี่ยวกับรูปแบบสมการกำลังสองที่กำหนดเองซึ่งส่งผลให้เกิดการแสดงออกที่ไม่ใช่ไคสแควร์ที่น่ากลัว

ความสัมพันธ์แบบเรียบง่ายข้างต้นดูเหมือนจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันดังนั้น (ถ้าเป็นจริง!) ใครบ้างที่มีข้อพิสูจน์เรื่องง่าย ๆ ข้างต้น?

ลำดับขั้นตอนพื้นฐานที่ใช้ความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดีในหมู่ดิสทริบิวชันและเอกลักษณ์เชิงพีชคณิตเชิงโพลาไรซ์อย่างง่ายให้การสาธิตเบื้องต้นและใช้งานง่าย

ฉันพบว่าโพลาไรเซชันเอกลักษณ์โดยทั่วไปมีประโยชน์ในการให้เหตุผลและคำนวณด้วยผลคูณของตัวแปรสุ่มเพราะมันลดพวกมันให้เป็นชุดแบบเชิงเส้นของกำลังสอง มันค่อนข้างเหมือนกับการทำงานกับเมทริกซ์โดยทำให้เส้นทแยงมุมก่อน (มีมากกว่าการเชื่อมต่อผิวเผินที่นี่)

การแจกแจงแบบลาปลาซเป็นความแตกต่างของเอกซ์โพแนนเชียลสองแบบ (ซึ่งทำให้เข้าใจได้ง่ายเนื่องจากการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลคือการกระจายแบบครึ่ง Laplace) (ลิงก์แสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้โดยจัดการกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน แต่ความสัมพันธ์สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การรวมแบบพื้นฐานตามจากคำนิยามของความแตกต่างในฐานะที่เป็นข้อตกลง)

$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

$\chi^2$$2$

ความสัมพันธ์เกี่ยวกับพีชคณิต

$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$