เชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาและฟังก์ชั่นพิเศษ

ฉันพยายามเข้าใจการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลากับฟังก์ชั่นพิเศษ ฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาถูกกำหนดเป็น:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

การใช้การขยายอนุกรมของฉันสามารถหาช่วงเวลาทั้งหมดของการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

ฟังก์ชั่นคุณสมบัติถูกกำหนดเป็น:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

$i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
แหล่งที่มา

One important point is that the moment-generating function is not always finite! (See this question, for example.) If you want to build a general theory, say, about convergence in distribution, you'd like to be able to have it work with as many objects as possible. The characteristic function is, of course, finite for any random variable since

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— พระคาร์ดินัล

ความคล้ายคลึงกันในการขยายเทย์เลอร์ยังคงอนุญาตให้หนึ่งอ่านออกจากช่วงเวลาเมื่อพวกเขามีอยู่ แต่โปรดทราบว่าการกระจายไม่ได้ทั้งหมดมีช่วงเวลาดังนั้นความสนใจในฟังก์ชั่นเหล่านี้ไปไกลเกินกว่านี้! :)

— สำคัญ

อีกประเด็นที่ควรทราบคือ MGF คือการแปลง Laplace ของตัวแปรสุ่มและ CF คือการแปลงฟูริเยร์ มีความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างแปลงหนึ่งเหล่านี้มีให้ดูที่นี่

— tchakravarty

ฉันคิดว่า CF คือการแปลงฟูริเยร์แบบผกผัน (และไม่ใช่การแปลงฟูริเยร์) ของการกระจายความสามารถ

— Giuseppe

The distinction is only a matter of sign in the exponent, and possibly a multiplicative constant.

— Glen_b -Reinstate Monica

As mentioned in the comments, characteristic functions always exist, because they require integration of a function of modulus $1$ . However, the moment generating function doesn't need to exist because in particular it requires the existence of moments of any order.

When we know that $E[e^{tX}]$ is integrable for all $t$ , we can define $g(z):=E[e^{zX}]$ for each complex number $z$ . Then we notice that $M_X(t)=g(t)$ and $\varphi_X(t)=g(it)$ .

— Davide Giraudo
แหล่งที่มา