ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการวัดความไม่เท่าเทียมกันความเข้มข้น

ด้วยจิตวิญญาณของคำถามนี้การทำความเข้าใจหลักฐานของบทแทรกที่ใช้ในความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingฉันพยายามทำความเข้าใจขั้นตอนที่นำไปสู่ความไม่เท่าเทียมของ Hoeffding

สิ่งที่เก็บความลึกลับที่สุดสำหรับฉันในการพิสูจน์คือส่วนที่ช่วงเวลาเลขชี้กำลังถูกคำนวณเพื่อหาผลรวมของตัวแปร iid ซึ่งหลังจากนั้นจะใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ

เป้าหมายของฉันคือการเข้าใจ: ทำไมเทคนิคนี้ให้ความไม่เท่าเทียมกันแน่น คำอธิบายทั่วไปหมายถึงช่วงเวลาที่สร้างคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง แต่ฉันก็พบว่ามันคลุมเครือเกินไป

โพสต์ในบล็อกของเต่าhttp://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1-concentration-of-measure/#hoeffอาจมีคำตอบ

ด้วยเป้าหมายนี้ในใจคำถามของฉันคือประมาณสามจุดในโพสต์ของเทาที่ฉันติดอยู่และที่ฉันหวังว่าจะให้ข้อมูลเชิงลึกเมื่ออธิบาย

1. เทาได้รับอสมการต่อไปนี้โดยใช้ช่วงเวลา k-th ถ้านี่เป็นเรื่องจริงสำหรับ k ใด ๆ เขาจะสรุปขอบเขตของเลขชี้กำลัง นี่คือที่ฉันหลงทาง

   $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)$$ $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C \exp( - c \lambda^2 ) \ \ \ \ \ (8)$$

2. Hoeffding แทรกจะนำเสนอ: บทแทรก 1 (แทรก Hoeffding ของ) ให้เป็นตัวแปรสเกลาสละค่าในช่วงเวลาb]} แล้วสำหรับการใด ๆ , โดยเฉพาะ หลักฐานของเลม 1 เริ่มต้นด้วยการคาดหวังจากการขยายเทย์เลอร์ เหตุใดการขยายจึงถูก จำกัด โดยสมการกำลังสองนั้น? และสมการที่ 10 จะติดตามได้อย่างไร${X}$${[a,b]}$${t>0}$

   $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} (1 + O( t^2 {\bf Var}(X) \exp( O( t (b-a) ) ) ). \ \ \ \ \ (9)$$ $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} \exp( O( t^2 (b-a)^2 ) ). \ \ \ \ \ (10)$$ $\displaystyle e^{tX} = 1 + tX + O( t^2 X^2 \exp( O(t) ) )$

3. ในที่สุดการออกกำลังกายจะได้รับ:
   การออกกำลังกาย 1 แสดงว่าปัจจัยใน (10) สามารถแทนที่ด้วยและสิ่งนี้ คม สิ่งนี้จะให้หลักฐานที่สั้นกว่าในการทำความเข้าใจหลักฐานของบทแทรกที่ใช้ในความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingแต่ฉันไม่รู้วิธีแก้ปัญหานี้${O(t^2(b-a)^2)}$${t^2 (b-a)^2/8}$

คำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันหรือเหตุผลที่เราไม่สามารถสืบหาขอบเขตที่แน่นแฟ้นได้อย่างแน่นอน

การใช้ช่วงเวลาอธิบายเป็นขั้นตอนทั่วไปในกระบวนการพิสูจน์ความเข้มข้นของความไม่เท่าเทียมกันของการวัด ความเข้าใจของฉันมีดังต่อไปนี้ 1) การใช้แทนที่จะเป็นคนหนึ่งจับภาพทุกช่วงเวลาของมากกว่าช่วงเวลาแรก ดังนั้นมันก็มักจะได้เปรียบในการที่ถูกผูกไว้มากกว่าผูกพันเป็นมีข้อมูลเพิ่มเติมในอีเอ็กซ์ ทำไมมีข้อมูลเพิ่มเติม คำอธิบายทางการจะได้รับจากความจริงที่ว่าการขยายตัวของเทย์เลอร์อีอย่างที่คุณเห็นพลังทั้งหมดของ$\mathbb{E}e^X$$\mathbb{E} X$$X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E}X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E} e^X$$e^{X}=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\ldots$$X$ที่มีส่วนเกี่ยวข้อง. ดังนั้นเมื่อคุณใช้คุณเป็นหลักจบลงด้วยการวิ่งทุกช่วงเวลาของX $\mathbb{E}X$$X$