ความเบ้เคลื่อนไหวแบบเอกซ์โพเนนเชียล

มีที่รู้จักกันดีสูตรในบรรทัดสำหรับการคำนวณถ่วงน้ำหนักชี้แจงค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกระบวนการ$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ ... สำหรับค่าเฉลี่ย

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

และสำหรับความแปรปรวน

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

ซึ่งคุณสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้

มีสูตรที่คล้ายกันสำหรับการคำนวณแบบออนไลน์ของช่วงเวลาที่สามและสี่ที่ศูนย์กลางถ่วงน้ำหนักแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลหรือไม่? สัญชาตญาณของฉันคือพวกเขาควรจะใช้แบบฟอร์ม

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

และ

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

ซึ่งคุณสามารถคำนวณความเบ้$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$และ kurtosis $k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$แต่ฉันไม่สามารถหานิพจน์แบบปิดแบบง่ายสำหรับฟังก์ชั่น$f$และG$g$

---

แก้ไข:ข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง สูตรการอัพเดทสำหรับความแปรปรวนการเคลื่อนย้ายเป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับการแปรปรวนร่วมแบบถ่วงน้ำหนักแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งสามารถคำนวณได้ผ่าน

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

ที่และˉ Y nเป็นเคลื่อนที่ชี้แจงความหมายของXและY สมส่วนระหว่างxและy ที่เป็นภาพลวงตาและจะหายไปเมื่อคุณสังเกตเห็นว่าY - ˉ Y n = ( 1 - α ) ( Y - ˉ Y n - 1 )$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

สูตรเช่นนี้สามารถคำนวณได้โดยการเขียนช่วงเวลากลางเป็นความคาดหวังที่ซึ่งน้ำหนักในความคาดหวังนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นเลขชี้กำลังและใช้ความจริงที่ว่าสำหรับฟังก์ชันใด ๆf ( x ) ที่เรามี$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

เป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับสูตรการอัปเดตสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยใช้ความสัมพันธ์นี้ แต่มันพิสูจน์ได้ว่ามีความยุ่งยากมากขึ้นสำหรับช่วงเวลากลางที่สามและสี่

สูตรนั้นตรงไปตรงมา แต่มันไม่ง่ายอย่างที่คิดในคำถาม

Let จะ EWMA ก่อนหน้านี้และปล่อยให้X = x nซึ่งขึ้นอยู่กับสถานการณ์ที่เป็นอิสระจากY ตามคำนิยามที่ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักใหม่คือZ = α X + ( 1 - α ) Yสำหรับค่าคงที่α เพื่อความสะดวกของสัญลักษณ์ชุดβ = 1 - α ให้Fแทน CDF ของตัวแปรสุ่มและϕแสดงถึงช่วงเวลาที่สร้างฟังก์ชันดังนั้น$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

ด้วยKendall และ Stuartให้หมายถึงช่วงเวลาที่ไม่เป็นศูนย์กลางของคำสั่งkสำหรับตัวแปรสุ่มZ; นั่นคือ$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$] เบ้และความโด่งเป็นแสดงออกในแง่ของ$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$สำหรับk=1,2,3,4; ตัวอย่างเช่นเบ้ถูกกำหนดให้เป็นμ3/μ 3 / 2 2ที่$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

คือช่วงเวลากลางที่สามและสองตามลำดับ

โดยผลการทดสอบเบื้องต้น

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

ต้องการที่จะได้รับช่วงเวลาที่ไม่ใช่กลางคูณชุดไฟหลังผ่านการสั่งซื้อที่สี่ในและถือเอาผลระยะโดยระยะที่มีเงื่อนไขในφ Z ( T )$t$$\phi_Z(t)$

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...