อธิบายตัวกรองคาลมานในแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ

ขั้นตอนที่เกี่ยวข้องในการใช้ตัวกรองคาลมานในแบบจำลองพื้นที่ของรัฐมีอะไรบ้าง

ฉันเคยเห็นสูตรที่แตกต่างกันสองสามอย่างแต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับรายละเอียด ตัวอย่างเช่นCowpertwaitเริ่มต้นด้วยชุดของสมการนี้:

Y_{เสื้อ} = F_{เสื้อ}^{^{'}} θ_{เสื้อ} + {โวลต์}_{เสื้อ}

$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$

θ_{เสื้อ} = G_{เสื้อ} θ_{เสื้อ - 1} + W_{เสื้อ}

$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$

โดยที่และ ,เป็นค่าประมาณที่ไม่รู้จักของเราและเป็นค่าที่สังเกตได้ $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$ $w_{t} \sim N(0, W_{t})$ $\theta_{t}$ $y_{t}$

Cowpertwait กำหนดการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง (ก่อนความน่าจะเป็นและการกระจายหลังตามลำดับ):

θ_{เสื้อ} | D_{เสื้อ - 1} ~ ยังไม่มีข้อความ (a_{เสื้อ}, R_{เสื้อ})

$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$

Y_{เสื้อ} | θ_{เสื้อ} ~ ยังไม่มีข้อความ (F_{เสื้อ}^{^{'}} θ_{เสื้อ}, V_{เสื้อ})

$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$

θ_{เสื้อ} | D_{เสื้อ} ~ ยังไม่มีข้อความ ({ม.}_{เสื้อ}, ค_{เสื้อ})

$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$

กับ

\begin{array}{rcl} a_{เสื้อ} & = G_{เสื้อ} {ม.}_{เสื้อ - 1}, R_{เสื้อ} & = G_{เสื้อ} ค_{เสื้อ - 1} G_{เสื้อ}^{^{'}} + W_{เสื้อ} \\ {อี}_{เสื้อ} & = Y_{เสื้อ} - ฉ_{เสื้อ}, {ม.}_{เสื้อ} & = a_{เสื้อ} + A_{เสื้อ} {อี}_{เสื้อ} \\ ฉ_{เสื้อ} & = F_{เสื้อ}^{^{'}} a_{เสื้อ}, Q_{เสื้อ} & = F_{เสื้อ}^{^{'}} R_{เสื้อ} F_{เสื้อ} + V_{เสื้อ} \\ A_{เสื้อ} & = R_{เสื้อ} F_{เสื้อ} Q_{เสื้อ}^{- 1}, ค_{เสื้อ} & = R_{เสื้อ} - A_{เสื้อ} Q_{เสื้อ} A_{เสื้อ}^{^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$

โดยวิธีการที่หมายถึงการกระจายของกำหนดค่าสังเกตถึงT-1สัญกรณ์ที่ง่ายกว่าคือแต่ฉันจะยึดติดกับสัญกรณ์ของ Cowpertwait $\theta_{t}|D_{t-1}$ $\theta_{t}$ $y$ $t-1$ $\theta_{t|t-1}$

ผู้เขียนยังอธิบายการทำนายสำหรับในแง่ของความคาดหวัง: $y_{t+1}|D_{t}$

E [Y_{เสื้อ + 1} | D_{เสื้อ}] = E [F_{เสื้อ + 1}^{^{'}} θ_{เสื้อ + 1} + {โวลต์}_{เสื้อ + 1} | D_{เสื้อ}] = F_{เสื้อ + 1}^{^{'}} E [θ_{เสื้อ + 1} | D_{เสื้อ}] = F_{เสื้อ + 1}^{^{'}} a_{เสื้อ + 1} = ฉ_{เสื้อ + 1}

$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$

เท่าที่ฉันเข้าใจขั้นตอนเหล่านี้เป็นอย่างไรโปรดแจ้งให้เราทราบหากมีข้อผิดพลาดหรือความไม่แน่นอน:

เราเริ่มต้นด้วย , , ที่อยู่, เราเดาค่าสำหรับประมาณการของเรา{0} $m_{0}$ $C_{0}$ $\theta_{0}$
เราคาดการณ์ค่าสำหรับ{0} ว่าควรจะเท่ากับซึ่งเป็น{1} เป็นที่รู้จักกันตั้งแต่{0} $y_{1}|D_{0}$ $f_{1}$ $F^{'}_{1}a_{1}$ $a_{1}$ $a_{1} = G_{1}m_{0}$
เมื่อเรามีการคาดการณ์ของเราสำหรับเราคำนวณข้อผิดพลาด{1} $y_{1}|D_{0}$ $e_{1} = y_{1} - f_{1}$
ข้อผิดพลาดถูกนำมาใช้ในการคำนวณการกระจายหลังที่ต้องและ{1} จะได้รับเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของก่อนค่าเฉลี่ยและข้อผิดพลาด:{1} $e_{1}$ $\theta_{1}|D_{1}$ $m_{1}$ $C_{1}$ $m1$ $a_{1} + A_{1}e_{1}$
ในการย้ำต่อไปนี้เราเริ่มต้นด้วยการทำนายเป็นในขั้นตอนที่ 1. ในกรณีนี้{2} เนื่องจากและคือความคาดหวังของที่เราคำนวณไปแล้วในขั้นตอนก่อนหน้าจากนั้นเราสามารถคำนวณข้อผิดพลาดและค่าเฉลี่ยของการกระจายหลังเหมือนก่อน $y_{2}|D_{1}$ $f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$ $a_{2} = G_{2}m_{1}$ $m1$ $\theta_{1}|D_{1}$ $e_{2}$ $\theta_{2}|D_{2}$

ฉันคิดว่าการคำนวณการกระจายหลังเป็นสิ่งที่บางคนเรียกขั้นตอนการอัปเดตและการใช้ความคาดหวังของเป็นขั้นตอนการทำนาย $\theta_{t}|D_{t}$ $y_{t+1}|D_{t}$

เพื่อประโยชน์ของความกะทัดรัดฉันละเว้นขั้นตอนในการคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

ฉันคิดถึงอะไรเหรอ? คุณรู้วิธีที่ดีกว่าในการอธิบายเรื่องนี้หรือไม่? ฉันคิดว่ามันค่อนข้างยุ่งดังนั้นอาจมีวิธีที่ชัดเจนกว่า

kalman-filter state-space-models

— โรเบิร์ตสมิ ธ
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าสิ่งที่คุณพูดนั้นถูกต้องและฉันไม่คิดว่ามันยุ่ง วิธีการใช้ถ้อยคำเป็นไปได้ที่จะบอกว่าตัวกรองคาลมานเป็นอัลกอริธึมการแก้ไขข้อผิดพลาดซึ่งปรับเปลี่ยนการพยากรณ์ในแง่ของความคลาดเคลื่อนด้วยการสังเกตการณ์ในปัจจุบัน การแก้ไขนี้จะทำในขั้นตอนที่ 4) โดยใช้กำไรเมทริกซ์Ã_t $A_t$

— F. Tusell
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. อาจจะถูกต้อง แต่ฉันต้องการอ่านคำอธิบายที่ละเอียดยิ่งขึ้น (และเป็นธรรมชาติ) ของสิ่งนี้ ฉันอ่านคำอธิบายในหนังสือและสไลด์แล้ว แต่ส่วนใหญ่ไม่ชัดเจนและมีความแตกต่างเล็กน้อย

— Robert Smith